うん、あらゆるものの集合を考えたところに問題点があるのであって、部分写像を考えたところには問題点は無い。

 部分写像を射として合成の存在が保証されていないものを元と呼ばないのは、慣習(や有用性)の問題であって、部分写像を射とするものを拡張された圏と定義しても、それ自体に問題があるわけでは無い。

例えば、対象を、点付き集合(集合とその元の組)、射を部分写像とし、
f:(A,a)->(B,b)
g:(B,b)->(C,c)
の合成gf:(A,a)->(C,c)
を通常の合成とする、ただし、
あるf(a')でgが定義されていないときはgf(a')=cとおく。

とすれば、普通の意味の圏になりますよね。