頂点でx軸に接する放物線y=(1/4)*x^2について、これをx軸上で
滑らないように転がしたときの頂点の軌跡は、sをパラメータとして
x=-1+log(s)+2/(1+s^2)
y=(1/2)*{s+(1/s)}-s/(1+s^2)　(s>0)
で表される。このパラメータ表示から、頂点の軌跡により、実数全体を
定義域とする(1価)関数 y=f(x) を定義できることがわかる。
f(x)は、その作り方から明らかに偶関数で、パラメータ表示から
x>0 において狭義単調増加。
x>0 における f の逆関数 f^(-1) は初等関数となり
z=sinh^(-1)(2/y)=log(2/y+√(1+4/y^2))　とおくと
x=f^(-1)(y)=-1/cosh(z/2)-log(tanh(z/4))　と表示される。
また x が十分大きいときは f(x)〜(1/2)*exp(x+1) で近似できる。

y=(1/4)*x^2 の係数 1/4 に大きな意味はなく、パラメ-タ表示の係数が
比較的綺麗になるものを選んだだけ。
逆関数が初等関数になるあたりが、双曲線関数の類似なのかなという気はする。