>>662
∫exp(-x)sinπxdx=-exp(-x)/2π^2*(sin(πx)+πcos(πx)) ですから、
S=∫[0,1]exp(-x)sinπxdx=e(1-e)/2πe(e-1)で、

1+exp(-2)+exp(-3)+…exp(-n)+…は、初項1、公比exp(-1)の無限等比数列で、その和は、e/(e-1)

だからS*(1+e^(-1)+e^(-2)+…e^(-n)+…)=e(1-e)/2πe(e-1) となってしまいます…（計算間違いの可能性は大ですが)


自分ももう少し考えてみました。

S=∫[0,n] exp(-x)｜sin(πx)｜dx　とおく
y=πxとおくと、dx=dy/π　　x:0→n のとき、　y:0→nπ　よって
S=1/π*∫[0,nπ] exp(-y/π)｜sin(y)｜dy
=1/πΣ[k=1,n]∫[(k-1)π,kπ] exp(-y/π)｜sin(y)｜dy
z=y-(k-1)πとおくと、　dy=dz y:(k-1)π→kπ　のとき、　z:0→π　よって
S=1/πΣ[k=1,n]∫[0,π] exp(-{z+(k-1)π}/π)sin(z)dz
=1/πΣ[k=1,n]exp(1-k)∫[0,π] exp(-z/π)sin(z)dz

ここから先がどうやったら良いのか…さっぱりです。