2002年の京都大の問題なんですが。
半円周上に3点A,B,Cをとり、△ABCをつくる。
∠Aが鈍角になるようにとり、AB^2+BC^2+CA^2≦8を証明したいのですが、
私は半円の中心をOとおき、∠AOB=α,∠AOC=β,∠BOC=α+βとおいて、余弦定理を用いて
AB^2=2-2cosα
BC^2=2-2cos(α+β)
CA^2=2-2cosβ
∴AB^2+BC^2+CA^2=6-2(cosα+cos(α+β)+cosβ)
ここから、AB^2+BC^2+CA^2≦8を証明するのは無理でしょうか。