＞「閉論理式の集まりは，ZFCで集合として取り扱えるものではない」
ZFCの枠組みの中で、帰納的に定義された集合について調べよう。その集合はたまたまZFCの公理系と読めるものだ。
というだけの話では？

ZFCに用意された記号、論理式をZFCの考察の対象とすることに
自己言及のような気持ち悪さを感じているのだろうか。
はたまた、さらにそこから新しい記号を導入して、元のZFCから拡張されてしまうことになるから、
拡張された体系は一体何物なんだ、ということか。

そうではなくて、例えば…

自然数1を¬　自然数3を⇒　自然数5を∀
自然数8n+7を関数記号f_n

等とみなして、これら自然数の（帰納的に定義された）特定の列からなる集合を考える。
ということ。
自己言及ではない。

見当違いの指摘だったらｽﾏｿ