E-PRA^ω+QF-AC^(1,0)などの高階逆数学などがあるそうですね。
高階算術を高階逆数学と直せば良いと思います。

逆数学━┳━高階逆数学━━高階算術
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□□□□□□┣━無限ゲーム決定理論
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□□□□□□┣━構成的逆数学 
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□□□□□□┗━計算論的逆数学公理的集合論━━━連続体仮説