無矛盾ってのはφ ∧ not φがどちらとも証明できてしまうようなことが起きない、
ということなのだから、構文論的にはある記号変形手続きが存在しないことで、
すべての自然数が〜〜を満たさない、程度のことは扱える必要があるけど
無限集合を扱う必要はないと思うけど。
だいたい完全性定理を前提にしない限り、モデルと無矛盾性は直接関係無い。

とりあえず完全性定理の証明を良く読んで
自分で証明を再構成できるようになるのが一番の近道な気が