とりあえず逆数学の勉強してみれば?
http://www.amazon.co.jp/dp/4879999709
証明論も数学の一つに過ぎないってよくわかると思う。

追加追加って言うけど、元の公理系に対して、
追加した公理も、それがないと証明できない定理も同値だから。
どっちを追加してもいい。