数学基礎論・数理論理学のスレッド その7
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0001１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 22:13:5719世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学のスレッド その6
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1265884076/
0741１３２人目の素数さん
2011/06/12(日) 11:11:03.470742716
2011/06/12(日) 11:13:54.23> 「なぜそう思ったんですか？」
に対する返答があいまいな状態なのですよ。
何かの錯覚にとらわれているんだろうと自分でも気づき始める。
→その正体がわからない→こういう場所で質問をしてみる→わかったり、わからなかったり
>>738に書いたことはかなり未整理でした。
>>739 > そもそも、何が「追加すべき公理」か、確定できない。
ちょっと戸惑ったけど、complete theoryを作る過程での公理の追加について言ってるんですよね？
してみると、「証明」というものが「well definedで確定しているはず」かどうかは問題点じゃなくて、
理論（公理系）というものが何なのか「立場によって違う」のか・・
何が「追加すべき公理」か確定できないけどcomplete theoryというものは存在するよ。
だからそのcanaonical modelを考えればいいんだよ。
Qそんなもの存在しないって立場は？
A
設問をこう変えればいいのか・・・
0743１３２人目の素数さん
2011/06/12(日) 11:34:54.97http://www.amazon.co.jp/dp/4879999709
証明論も数学の一つに過ぎないってよくわかると思う。
追加追加って言うけど、元の公理系に対して、
追加した公理も、それがないと証明できない定理も同値だから。
どっちを追加してもいい。
0744１３２人目の素数さん
2011/06/12(日) 11:45:16.56> 〇完全性定理に選択公理（の弱いやつ）が必要なことについては、
違う。選択公理とは全く違う弱い公理しか必要ない。上に書いてあるだろう。
0745１３２人目の素数さん
2011/06/12(日) 13:38:32.600746716
2011/06/12(日) 14:31:57.00> 違う。選択公理とは全く違う弱い公理しか必要ない。上に書いてあるだろう。
上に書いてあることをさらってみると・・・
>>133 > 「数学のロジックと集合論」によると完全性定理は選択公理よりもちょっと弱いらしいよ
>>717 > さらに言えば、完全性定理は証明には選択公理が必要。
>>719 > 述語論理の完全性定理なら選択公理より少し弱いもので足りる。
>>723 > 完全性定理の証明に選択公理かそれに近い言明が必要な理由を説明してるんだと思う。
>>736 > 選択公理は必要ない。もっと弱いものでいい。
選択公理（の弱いやつ）、じゃニュアンス遠いんですかね。
0747１３２人目の素数さん
2011/06/12(日) 15:06:32.250748１３２人目の素数さん
2011/06/12(日) 16:27:01.400749716
2011/06/12(日) 19:02:53.66情報どうも。
"弱Konig"でぐぐってみたところ京大のサイトでヒットしましたが、内容はちょっとすぐにはわかりませんね。
>>748
もうちょっと詳しくお願いできないでしょうか。
0750１３２人目の素数さん
2011/06/12(日) 20:12:24.280751716
2011/06/12(日) 20:21:25.22それって前スレかどこかで活躍してたコテでしょ？それとは違いますよ。
同様にうざいよ、というんでしたらごめんなさい。
と思ったらこのスレでも>>599にいたか。
0752１３２人目の素数さん
2011/06/12(日) 20:29:48.85完全性定理を
古典述語論理の論理記号から代数（ブール代数になる）作って、
意味づけする方針で証明すれば、
「ブール代数がある適当な集合代数で表現できる。」ことが必要だと
わかる、これがACから証明できWKLと同じだということで納得できませんか。
肝心なのをひろい忘れてるじゃないか。
>>724 >直感主義述語論理の強完全性定理の証明にはACA0があればおｋ
>>726 >古典論理だとWKL0だから、RCA0 + weak K nig's lemma
0753１３２人目の素数さん
2011/06/12(日) 20:33:01.120754１３２人目の素数さん
2011/06/12(日) 21:02:44.340755１３２人目の素数さん
2011/06/12(日) 21:10:49.16そういやkingってどこ行ったんだ？
0756超越論的数学天使 ◆xKQl9rTMwao4
2011/06/12(日) 21:31:30.64弱ケーニッヒは
「無限の高さを持つ木の枝分かれが有限個なら、
枝の少なくとも1本は無限の高さをもつ」
というイメージ。
0757716
2011/06/12(日) 21:32:59.94> 納得できませんか。
いろいろ質問したあげく申し訳ないのですが、これらの説明をちゃんと理解して
納得するだけの基盤がまだ自分に整ってないと判断しました。
なので納得できるorできない、とか回答できません。
WKLも理解してないんですが、ACと同様に超越的な主張なんですよね？
「ある理論において妥当な式はその理論で証明が存在する」という具体的な主張を
証明するために、どうしても超越的な手段を必要とする、これはなぜだ？
という疑問に対する手っ取り早い回答が得たかったんですが、まだ勉強が足りなかったようです。
0758１３２人目の素数さん
2011/06/12(日) 21:45:09.63>>756
イメージというか定義そのものだな。
0759１３２人目の素数さん
2011/06/12(日) 22:18:12.51とりあえず逆数学勉強することを勧めるよ。
あんたの好きそうな話題を専門的に研究する分野。
0760716
2011/06/12(日) 22:26:53.14ああ、>>756を読む前に書き込んでました。
ACと同じ程度には超越的に感じますけどね。
WKLもACも、それを否定するor使わない、という立場が成り立つと思うんですが。
仮定： 無限の高さを持つ木の枝分かれが有限個
結論： 枝の少なくとも1本は無限の高さをもつ
イメージですが、これは「普通の仮定に対する強い結論」
仮定： ある理論のすべてのモデルに対して式Aが妥当
結論： その理論で式Aの証明が存在する
こっちは、「強い仮定に対する強い結論」というイメージ。
後者を得るために前者が必須になる？
>>759
>>743で紹介されてたやつですか。とりあえず丸善で斜め読みしてみます。安いしｗ
0761１３２人目の素数さん
2011/06/12(日) 23:34:04.59『逆数学と2階算術』安いのはいいけど、
薄くて、高度なことを説明してるので基礎知識がないと読みにくいよ。
数理論理学（数学基礎論）の基礎知識として
新井 敏康『数学基礎論』を買っておく、読み通おせとは言わないから。
齋藤 正彦 『数学の基礎―集合・数・位相』で初歩的なことを確認。
完全性定理なら林 晋「数理論理学』もおすすめ。
0762超越論的数学天使 ◆xKQl9rTMwao4
2011/06/13(月) 00:26:49.61「高さが無限で枝分かれが有限個の木は、
その枝の少なくとも1本の高さが無限」（WKL）
↓
「枝分かれが無限個の木は、
その高さが有限またはその枝の少なくとも1本の高さが無限」
↓
「枝の長さがすべて有限の木は、枝分かれが有限個」
これが、
LKの証明図を下から辿る時に必要になるが
完全性定理の肝と言うわけではない。
0763１３２人目の素数さん
2011/06/13(月) 05:48:12.46ケーニッヒ≠弱ケーニッヒ
0764超越論的数学天使 ◆xKQl9rTMwao4
2011/06/13(月) 07:00:58.822個にしか分かれないのがWKL
いくつにでも枝分かれできるのがKL。
KL→WKL。
3つ以上の論理式から1つの論理式を得るような
推論規則はないためWKLで十分。
0765１３２人目の素数さん
2011/06/13(月) 11:20:14.65> 2個
< 有限個
0766716
2011/06/13(月) 20:43:13.01内容確認できないけどアマゾンで注文しました。
まあ1470円だからいいか。
0767１３２人目の素数さん
2011/06/13(月) 20:45:21.340768１３２人目の素数さん
2011/06/13(月) 21:50:20.44RCA0で完全性定理が成り立つドメインがあると思えば追求してみればいい。
0769703
2011/06/13(月) 22:08:58.52じゃあ「任意の解釈で」みたいな言及はどう扱うの？
ZFCにクラスを「ねじ込んだ」体系ではクラスに関して∀量化子とかは使えないわけだが、
「任意の解釈で論理値trueをもつ」とかいうのはどうやって証明するの？
はじめからクラスと集合の概念があるあの体系（名前は忘れたが）を使うしかないんじゃないか？
0770１３２人目の素数さん
2011/06/14(火) 00:01:21.010771１３２人目の素数さん
2011/06/14(火) 00:49:21.76ZFから無限公理を外した公理系って、何か特別な名前がついていたりしますでしょうか？
無限公理の否定を持つ有限集合ではなくて、単に無限公理が存在しないようなものです。
0772１３２人目の素数さん
2011/06/14(火) 01:15:28.50Nの存在は仮定しても無限公理がないと証明できない定理があるのは知られています。
つまり研究対象になってます。
0773１３２人目の素数さん
2011/06/14(火) 01:33:10.08セマンティクスを全部放棄してシンタックスのみで議論すればよい
0774１３２人目の素数さん
2011/06/14(火) 01:56:01.23サンクスです。
無限を嫌う人が多いので無限公理を外した公理系も整備されているかと思ったのですが、
そうではないようですね。
0775１３２人目の素数さん
2011/06/14(火) 07:00:58.96集合としてのモデルが存在することと無矛盾性が同値だというのが完全性定理なので。
クラスに対する操作は若干制限されているから集合と同様に扱う事は出来ない。
0776１３２人目の素数さん
2011/06/14(火) 07:04:34.40セマンティクスを全部放棄したら、文字列だけになるから、意味がなくなり
何をやっているかわからなくなる。
0777１３２人目の素数さん
2011/06/14(火) 09:37:04.89整備？
研究されてます。
0778１３２人目の素数さん
2011/06/14(火) 13:12:27.11シンタックスだけで解決できるなら、どんなセマンティクス持ってきても
当然（シンタックスのレベルで）解決されるということで、任意の解釈云々は
そもそもそういう話だ、と言ってる。
0779１３２人目の素数さん
2011/06/14(火) 20:40:49.33よく考えればわかることだが、シンタックスはそれを信じる人の間
で成り立つことである。一方、セマンティクスは一人の人間が信じる
ことで成り立つことが基本だ。シンタックスにしがみつき一人でも
そのシンタックスを固守する人は存在する。数学のできない人間に
多い。
0780１３２人目の素数さん
2011/06/14(火) 20:53:50.41同じ強さだと思って良い
Kunenに書いてあるし直観的にも結構明らか
0781１３２人目の素数さん
2011/06/14(火) 21:06:38.78ぜんぜん面白くないぞ。
0782１３２人目の素数さん
2011/06/14(火) 22:05:45.93そういわれれば確かにそんな感じもするね。
全順序と半順序の違いくらい？
0783１３２人目の素数さん
2011/06/15(水) 06:41:11.51どうも、「M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。
例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(¬Ｑ⊃¬Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。そして
M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［¬Ｑ(ｘ)⇒/x/¬Ｐ(ｘ)］
こそが、対偶律を正しく捉えてたものと考えられる。
M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する「論理革命」は、おそらく、世界を席巻
することとなろう。
0784１３２人目の素数さん
2011/06/15(水) 06:44:06.05http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html
0785１３２人目の素数さん
2011/06/15(水) 08:54:40.350786１３２人目の素数さん
2011/06/15(水) 08:56:09.790787１３２人目の素数さん
2011/06/15(水) 09:42:24.67ゆえに、常に正しい。
0788官軍（一兵卒(^o^)）
2011/06/15(水) 11:29:41.40今度こそはと
想ってみても
無駄飯よ
すんごクン
爆笑
0789１３２人目の素数さん
2011/06/15(水) 12:45:44.050790１３２人目の素数さん
2011/06/15(水) 13:22:26.720791官軍（一兵卒(^o^)）
2011/06/15(水) 14:43:54.02次の命題を「証明」せよ：−
官軍は、常に、勝つ
0792１３２人目の素数さん
2011/06/15(水) 17:42:46.870793１３２人目の素数さん
2011/06/15(水) 20:10:06.43の証明と同レベル
0794１３２人目の素数さん
2011/06/15(水) 20:16:41.19nを求めよ
0795１３２人目の素数さん
2011/06/16(木) 01:53:02.890796１３２人目の素数さん
2011/06/16(木) 06:18:45.020797１３２人目の素数さん
2011/06/16(木) 21:54:48.22これを論理回路で表すときなるべく論理素子の数を少なくしたいんですが
これ以上簡略化されますかね
0798１３２人目の素数さん
2011/06/17(金) 02:00:26.65このスレッドは終了いたすますた。 軽薄。 マツシン
／:::::::::::::::::::::＼
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|＿|＿ノ∪ ＼,, ,,／ ヽ
|::（ 6 ー─◎─◎ ）
|ﾉ （∵∴∪（ o o）∴）
| < ∵ ３ ∵>
／＼ └ ＿＿_ ノ
.＼＼U ＿＿＿ノ＼
＼＼＿○○＿） ヽ
0799官軍（一兵卒(＾o＾)）
2011/06/17(金) 14:48:04.17／ ＼
／ ＼
| ∪ ／,, ,,＼ ヽ
| （ 6 ー─◎─◎ ） 白豚って、エムスラじゃなくて、確(た〜す)か、ワスのことですたよ、ネッ！
| （∵∴∪（ o o）∴） 因幡に行って、雌豚おっかけ、精神病院(せいすんびょういん)に収容されますた。
| < ∵ ３ ∵> （＾＾;） 意味わからんッス ---- ワス（涙
／＼ └ ＿＿_ ノ
.＼＼U ＿＿＿ノ＼ 追伸：正装すてなくて、ゴメンさい。 何せ、どこに脱いでおいたのか、わからん様に
＼＼＿ ＿） ヽ なっつまったもんで（＾＾；）
敬白 マツシン(鉄道総研) 亡霊
0800１３２人目の素数さん
2011/06/17(金) 14:51:25.45ﾜﾛﾀ
0801仙石６１
2011/06/17(金) 17:01:50.91AND OR の2段なら（古典的教科書的？） これ以上はムリかな
しかし最近はFGPAはメモリとおなじだから 気にせずコンテンツを書き込めばいい。
速度？ 最近はあまりかわらんよ
実装技術もかんれんするからね
0802べ
2011/06/17(金) 17:17:34.44荒らすな
0803１３２人目の素数さん
2011/06/17(金) 18:56:49.06俺、行きたかったんや、義勇兵(Volunteer)として。
すかす(Shikashi)、行けん。 広島からは、遠い！！！！
だもんで、義援金を送った。 小額(\4,000)や。。。。情けない（涙
でもな、日本国民*全員*が \4,000 送ってみろ。
概算で、約４千億や！！！！
0804１３２人目の素数さん
2011/06/17(金) 20:12:33.50メドヴェージェフ次数を考えれば、
ZF-InfとPAは同型であることが証明されている。
また自然数NとPAとロビンソンのQなども同型なのである！
0805１３２人目の素数さん
2011/06/17(金) 21:36:32.56べ は理解できないんだ
0806１３２人目の素数さん
2011/06/17(金) 21:43:19.83もしかして60歳からの数学スレの仙石６０さん？
コンピューターの開発やっていらしたんですっけ？
いつの間にか仙石61になっていますね...
0807１３２人目の素数さん
2011/06/17(金) 22:00:31.390808あんでぃは単細胞 ◆AdkZFxa49I
2011/06/17(金) 22:12:49.49あんでぃ
0810べ
2011/06/18(土) 03:24:28.45謝罪と賠償を求めます
0811１３２人目の素数さん
2011/06/18(土) 06:51:29.53俺、行きたかったんや、義勇兵(Volunteer)として。
すかす(Shikashi)、行けん。 広島からは、遠い！！！！
だもんで、義援金を送った。 小額(\4,000)や。。。。情けない（涙
でもな、日本国民*全員*が \4,000 送ってみろ。
概算で、約４千億や！！！！
0812Volunteer
2011/06/18(土) 06:57:01.18こんちには みさなん おんげき ですか？ わしたは げんき です。
この ぶんょしう は ＵＫ の ケブンッリジ だがいく の けゅきんう の けっか
にんんげ は もじ を にしんき する とき その さしいょ と さいご の もさじえ あいてっれば
じばんゅん は めくちちゃゃ でも ちんゃと よめる という けゅきんう に もづいとて
わざと もじの じんばゅん を いかれえて あまりす。
どでうす？ ちんゃと よゃちめう でしょ？
ちんゃと よためら はのんう よしろく
Daitai Yomeru GA, はのんう よしろく no はのんう ga Wakaran !!!!
0813官軍（一兵卒(＾o＾)）
2011/06/18(土) 07:17:02.09>>812 ：Volunteer：2011/06/18(土)18_vi_2011 06:57:01.18; JMT
>>31 ：１３２人目の素数さん：(土)13_xi_2010 14:38:01; JMT
＞ こんちには みさなん おんげき ですか？
Welcome to YOU ! and Nice to hear YOU.
Wareware-wa mi-te no tohri, Genki-desu Yo!
TOH-HOKU no Pacific Ocean no HouMen wa
TAIHEN da kedo ne.....。(namida
わしたは げんき です。
Very very very Very Nice.
この ぶんょしう は ＵＫ の ケブンッリジ だがいく の けゅきんう の けっか
にんんげ は もじ を にしんき する とき その さしいょ と さいご の もさじえ あいてっれば
じばんゅん は めくちちゃゃ でも ちんゃと よめる という けゅきんう に もづいとて
わざと もじの じんばゅん を いかれえて あまりす。
じんばゅん ----> 順番
どでうす？ ちんゃと よゃちめう でしょ？
ちんゃと よためら はのんう よしろく
Daitai Yomeru GA, はのんう よしろく no はのんう ga Wakaran !!!!
0814あんでぃは単細胞 ◆AdkZFxa49I
2011/06/18(土) 11:44:51.70あんでぃ
0815１３２人目の素数さん
2011/06/18(土) 12:16:10.05http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html
http://www.age.ne.jp/x/eurms/Kaku-Mokuji.html
0816１３２人目の素数さん
2011/06/18(土) 12:31:49.82どうも、「M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。
例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(¬Ｑ⊃¬Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。そして
M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［¬Ｑ(ｘ)⇒/x/¬Ｐ(ｘ)］
こそが、対偶律を正しく捉えてたものと考えられる。
M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する「論理革命」は、おそらく、世界を席巻
することとなろう。
0817１３２人目の素数さん
2011/06/18(土) 12:37:31.55［ＰはＱを内含する］： ［ライオンは哺乳動物である は ライオンもクジラも 共に哺乳動物であるを内含する］
------ 明らかに、これは偽です。
［Ｐでないか又はＱである］： ［ライオンは哺乳動物でないか 又は ライオンもクジラも 共に哺乳動物である］
------- こちらは真です。
一方は偽であり、他方は真であるような二つの命題 が 同義であるはずはありません。
0818１３２人目の素数さん
2011/06/18(土) 12:40:49.12他方でA⇒A∧Bがあるvaluation（現実ではたまたまそういう値）ではtrueとなることをもって「真」
として対比することに何の意味があるのか
まさか、形式的な論理だけで生物学の問題が解決すると思っているわけでもあるまい
0819１３２人目の素数さん
2011/06/18(土) 12:49:14.280820べ
2011/06/18(土) 20:30:02.39あなたのカキコを読んで私は怒りました
したがって謝罪と賠償を求めます
0821１３２人目の素数さん
2011/06/18(土) 20:35:45.380822不正義屑猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/06/18(土) 23:25:25.62貴殿の頭の悪さと無能さに立腹致しました。従って賠償だけを求めます
ので５０００００００００００００００ユーロをご準備戴きます。尚、
貴殿の知性の低さを鑑みて謝罪は求めません。どうせ不可能でしょうし。
猫
0823あんでぃは屑 ◆AdkZFxa49I
2011/06/18(土) 23:27:00.290824べ
2011/06/19(日) 00:47:26.69あなたのカキコを読んでさらなる激怒を得ました
したがってあなたに賠償責任が生じます
賠償責任を果たされますよう、どうぞよろしくお願い致します
0825猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY
2011/06/19(日) 00:54:04.54オウ、やっと釣れたがな。そやしオマエがワシを訴えろや。ワシがオマエ
を法廷で八つ裂きにしたるがな。
猫
0826あんでぃは屑 ◆AdkZFxa49I
2011/06/19(日) 01:01:49.27あんでぃ
0827べ
2011/06/19(日) 01:02:11.80あなたがそのようなレスをするのは想定内でしたね
なので私はあなたを『釣った』ことになりますね
まああなたの狼狽具合をじっくり監視させてもらいますよ
どうぞ楽しませてくださいな
0829べ
2011/06/19(日) 01:07:25.96ではあなたに聖戦（ジハード）を宣告することになります
大変お気の毒ですけどもね…
0830猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY
2011/06/19(日) 01:10:18.80全然気の毒ではアリマセンから、どうぞ宣言して下さい。当然の事として
私も全力で逆襲を行いますので。そやしナンボでも攻撃しなはれや。
アンタの攻撃を待ってるさかいナ。
猫
0831べ
2011/06/19(日) 01:15:06.33★ALERT★
WE NEVER FORGIVE YOU.
★ALERT★
0834猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY
2011/06/19(日) 02:11:17.52今夜は放置したるさかい、朝までにタップリと馬鹿無能を晒しとけや。
ワシが精読して分析し、思いっきり撲滅したるがな。頭使えよナ。
猫
0835べ
2011/06/19(日) 04:33:22.82覚悟を決めてください。
0837猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY
2011/06/19(日) 04:36:32.23ケッケッケ猫
0838猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY
2011/06/19(日) 04:37:48.16猫
0839１３２人目の素数さん
2011/06/19(日) 04:38:43.89アンタのその屑頭をフルに活用した所であんでぃすら潰せんよｗ
0840猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY
2011/06/19(日) 04:43:49.04いやいや、おだてて馬鹿を躍らせたら、どうせ失敗をスルので、ソコを
思いっきり叩けば宜しい。そやし皆で『「べ」の高い知性』を讃えまし
ょうや。ほして調子に乗って大失敗した所でトドメを刺すのが一番有効
な処分の仕方ですワ。
猫
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