完全性定理はじめ、モデル理論の定理は全部通常の数学を前提にしてるよ。
さらに言えば、完全性定理は証明には選択公理が必要。

デデキントの実数論に相当する論理式が
実数体Rという議論領域での解釈で恒真になるからRをモデルと呼ぶだけだよ。