＞＞対象領域の集合とか、関数記号の解釈とかはやはり、帰納的に構成されるものでなければならないのか？
＞そんなこと無いけど。

じゃあ対象領域とか関数記号の解釈はどういった方法で決定（定義）するの？

そもそもこの解釈の存在で恒心、充足可能とか定義することにどれだけの意味があるんだ？
そのような用語を導入すると、何かいいことでもあるの？
どうせ、すべての解釈で命題が真になるかどうかなんて議論できないわけだし。
純粋形式的に推論規則で何かの論理式が導出できるか、できないかで論じればいいんじゃないの？