数学基礎論・数理論理学のスレッド その7
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0001１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 22:13:5719世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学のスレッド その6
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1265884076/
0437１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 11:07:58.09多項関係の述語を含む関数記号を含まない理論が決定不可能というのは関数記号を多項関係の述語に置き換える（たとえば、関数記号+を和の関係を表す述語に置き換える）結果、それが言えるという意味ですか？
それとも、同一性記号や和の関係を表す述語のような特別な付値を持つ述語（＝11は定理だが、（自由な表れの述語Ａに関して）A11が定理は言えない）は関係なくて、自由な表れの多項関係の述語を持てば理論は決定不能になるという意味ですか
どなたか、お教えください
よろしくおねがいします
0438368
2011/03/19(土) 11:58:48.45> ジェフリー『形式論理学』の決定可能、決定不可能のくだりで
> 多項関係の述語を含む関数記号を含まない理論が決定不可能というのは関数記号を多項関係の述語に置き換える（たとえば、関数記号+を和の関係を表す述語に置き換える）結果、それが言えるという意味ですか？
> それとも、同一性記号や和の関係を表す述語のような特別な付値を持つ述語（＝11は定理だが、（自由な表れの述語Ａに関して）A11が定理は言えない）は関係なくて、自由な表れの多項関係の述語を持てば理論は決定不能になるという意味ですか
> どなたか、お教えください
> よろしくおねがいします
言葉の定義とかも書かないとわからないと思いますよ。
普通の数理論理学のテキストにない用語が多いですから。
0439１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 12:00:34.250440368
2011/03/19(土) 12:07:59.68> ジェフリー『形式論理学』の決定可能、決定不可能のくだりで
> 多項関係の述語を含む関数記号を含まない理論が決定不可能というのは関数記号を多項関係の述語に置き換える（たとえば、関数記号+を和の関係を表す述語に置き換える）結果、それが言えるという意味ですか？
> それとも、同一性記号や和の関係を表す述語のような特別な付値を持つ述語（＝11は定理だが、（自由な表れの述語Ａに関して）A11が定理は言えない）は関係なくて、自由な表れの多項関係の述語を持てば理論は決定不能になるという意味ですか
> どなたか、お教えください
> よろしくおねがいします
付値は命題への真偽値の与え方と考えてよろしいでしょうか？
それから「自由な表れ」とはなんでしょうか？
0441368
2011/03/19(土) 12:09:39.27> なにこの糞数字コテ
どうも！
0442１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 12:34:39.610443368
2011/03/19(土) 13:42:36.350444368
2011/03/19(土) 13:58:43.76strong replacement theorem から
replacement theorem が証明できる。逆は一般に成り立たないね。
fを付値とすれば
strong replacement theorem より
(A←→B)→(C[A]←→C[B])がトートロジーだから、
f((A←→B)→(C[A]←→C[B]))＝Т
一般に
f(⊥→X)＝f(⊥)→f(X)＝Т
f(X→Т)＝f(X)→f(Т)＝Т
が成り立つから、
f(A←→B)＝⊥ ∨ f(C[A]←→C[B])＝Т
replacement theorem の仮定から、
A と B は論理的同値なので、
f(A)＝(B)＝Т ∨ f(A)＝(B)＝⊥
このとき f(A←→B)＝f(A)←→f(B)＝Т であるので、
f(C[A]←→C[B])＝f(C[A])←→f(C[B])＝Т
よって、
f(C[A])←→f(C[B])＝Т ∨ f(C[A])←→f(C[B])＝⊥
なので C[A] と C[B] は論理的同値。
0445368
2011/03/19(土) 14:09:13.52誤：f(C[A])←→f(C[B])＝Т ∨ f(C[A])←→f(C[B])＝⊥
正：f(C[A])＝f(C[B])＝Т ∨ f(C[A])＝f(C[B])＝⊥
0446368
2011/03/19(土) 14:17:43.260447424
2011/03/19(土) 14:23:56.03なんでstrongなのか・・・
ちなみに戸田山和久の『論理学をつくる』ってテキストです
0448368
2011/03/19(土) 14:26:13.99C[A] と C[B] が論理的同値ならば、
A と B が論理的同値でない場合でも成り立つので、明らかに強いですね。
0449１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 14:41:00.370450１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 14:41:41.100451368
2011/03/19(土) 14:44:01.60それじゃあ深い意味はなく、
使いやすい程度の直感的な命名の可能性が高い。
0452１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 14:45:21.500453１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 14:46:54.490454368
2011/03/19(土) 14:48:57.61私の間違えですね。訂正します。
：
A→B B
------------
A
：
のとき、A→BはAよりも強いと言いますから、
同値の場合は強いとは言わないかもしれないですね。
0455１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 14:52:51.440456368
2011/03/19(土) 14:56:16.92strong replacement theorem は replacement theorem と同値だが、
C[A] と C[B] が論理的同値 という別の命題があった場合、
strong replacement theorem は 「A と B が論理的同値でない」
場合にも成り立ちますが、
このとき replacement theorem が成立している必要はないという意味で、
「強い」と命名したんじゃないんでしょうか。
ですから>>454でいうような定義での「強い」ではないですね。
まぁその本読んだことないんで知りませんが。
0457１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 14:59:31.770458１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 15:03:58.550459１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 15:09:35.95>>424
証明するために、内包公理が必要かどうか。
>>430
「同値」の階層を混同している。
「論理式が同値」と「命題が同値」は全く異なる概念。
「A←→Bならば、その時に限って、A≡B」が証明できるというだけ。
←→、≡は共に略記だけど、常識の範囲だから定義は略。
完全性定理をきちんと理解するには、この辺の区別は重要。
0460１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 15:11:11.86よいです。
＝が自由な表れでないと言っているのは、∀ｘ（ｘ＝ｘ）のような公理があるために、＝を他の述語と置き換えることは必ずしも自由でないということを言っています
0461１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 15:11:24.830462１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 15:12:31.060463１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 15:16:38.80valuation function: wff→truth value
0464１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 20:46:20.72∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))
が成立しないんじゃないかと思います。
反例として、
箱が二個(箱１、箱２)と玉が一個だけの世界を考えて、
Ｐ(ｘ)、Ｑ(ｘ)がともに、玉が箱ｘに入っているという命題を表すものとします。
このとき、各ｘに対してｙ＝ｘと考えてやれば「∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))」は真になりますよね。
ところがｙ＝１のときはｘ＝２を、ｙ＝２のときはｘ＝１の場合を考えてやればいずれも「Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ)」が成立しないため、「∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))」が偽になりますよね？？
と考えたのですが、間違いがあれば教えてくださいｍ(＿ ＿)ｍ
0465368
2011/03/19(土) 20:58:24.75散歩ついでに読んでみたけど
71ページの辺りの文脈読んでなんとなく推測。
replacement theorem は
A←→B がトートロジーならば C[A]←→C[B] もトートロジーと書ける。
|= C ⇔ C はトートロジー -----------（１）
（１）の書き方に従えば、
|= A←→B ⇒ |= C[A]←→C[B] -----------（２）
また、
strong replacement theorem は、
|= (A←→B)→(C[A]←→C[B]) -----------（３）
（３）からCuttingによって（２）が証明できるが逆は成り立たない。
だからstrongと読んでいるのではないだろうか？
>>459の言うとおりだとしても、
置き換えの定理が出てくるこの時点で、内包公理どころか
集合論の気配は一切ない。
本来のstrong replacement theoremの意味はどうだから知らないが、
少なくともこの本を読んでも、
「強い」が内包公理の要不要に依存しているようには思えない。
0466１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 21:15:27.00>>429は一般に言えることなの？
0467368
2011/03/19(土) 22:19:40.96定理１ T，A |= B ⇔ T |= A→B
のTを空集合とすれば、
A |= B ⇔ |= A→B
定理２（Cutting） T |= A 、A, K |= B ⇒ T, K |= B
のような定理で、TとKを空集合とすれば、
|= A 、A |= B ⇒ |= B
となり、replacement theorem が証明される。
|=という記号はこの本の定義（2重ターンスタイルとか書かれてた）に従ったが、
上の定理１と２が常に成り立つかは恐らく証明体系に依存する。
>>429はこの|=のことを証明を表す記号として言っているのでは？
0468１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 22:38:17.87もうちょっとわかりやすくたのむ・・・
strongとそうでないのは、結局、どっちからどっちをも証明できると考えておいてＯＫ？
0469368
2011/03/19(土) 22:40:11.88∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))
が「成立しない」の意味によりますね。
論理式としては成立しますが、これだけでは常に真ではないですね。
最後の方の文章がいまいち理解できませんが、
一応確認しておきたいのですが、
論理式の前半の∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))に出てくる変数ｘとｙは、
後半の∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))の変数ｘとｙとは違うということは
分かっていますか？
0470368
2011/03/19(土) 22:46:39.88strong replacement theorem と replacement theorem という定理は、
メタ理論において定理とみなされていて、
メタ理論において必要十分条件（同値）になっています。
しかし形式体系の中で、論理式として取り扱う際には、
strong replacement theorem から replacement theorem への
論理式の変形は可能ですが、逆への変形は不可能なのです。
つまり形式体系の中で strong だと主張しているのです。
0471１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 22:48:50.08おお、よくわかった。
また質問したいです。よろしければお名前を教えていただけませんか
0472368 ◆jkwVJMjC32
2011/03/19(土) 23:01:35.98仮に368としておきます。
論理学をつくるをざっと眺めたところ、
無駄に冗長なうえに、
今回の意味論とシンタックスの混同のように、
さまざまな罠が張り巡らされているようなので気を付けてください。
0473464
2011/03/19(土) 23:04:43.49ありがとうございます。
すみません、「成立」は述語論理でトートロジーになるという意味です。
僕の読んでいる教科書で、「∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ)) 」をＮＫで証明せよという課題が載っていて、解答がなかったもので。。。
>論理式の前半の∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))に出てくる変数ｘとｙは、
>後半の∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))の変数ｘとｙとは違うということは
それは分かっています。
「∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ)) 」の反例(偽になる場合)があれば教えていただけませんか？
0474１３２人目の素数さん
2011/03/20(日) 00:09:54.48P,Q ともに1変数述語として、対応する部分集合をそれぞれ整数全体、偶数全体
x,y を異なる変数
とすれば、このフレームはモデルとならない。
0475１３２人目の素数さん
2011/03/20(日) 00:13:56.99多項関係の述語記号を持ち関数記号を持たない理論は決定不可能とあったのですが、その理論で算術の定理（例えば、任意の数項に関して、数項と0の積と0と数項の積は同一という算術の定理）は真ですか？
というのが聞きたかった内容です
>>473
あってると思いますよ
∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))は妥当ではないですから
例えば、任意のドメインの要素がＰに含まれあるドメインの要素がＱに含まれ（∀ｘ∃ｙ(Ｐｘ→Ｑｙ)が真）、あるドメインの要素が￢Ｑに含まれる（∃ｘ∀ｙ(Ｐｘ→Ｑｙ)が偽）世界を考えれば、∀ｘ∃ｙ(Ｐｘ→Ｑｙ)→∃ｘ∀ｙ(Ｐｘ→Ｑｙ)の妥当性の反例になると思います
もっとも、教科書が妥当でない式の証明を求めるということはないので、誤植か読み違いが起きてるのでしょう
ｘとｙの順序をｙとｘと読み違えたりすることで式の内容はかわってきますよ
0476１３２人目の素数さん
2011/03/20(日) 02:02:42.880477464
2011/03/20(日) 17:46:21.59ありがとうございます。どうも誤植だった模様です。
正確には∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｙ∀ｘ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))だったようです。
0478１３２人目の素数さん
2011/03/20(日) 18:21:08.09戸田じゃなくて戸田山ね。
あの人は（学部の素朴な）集合論の普通の定理に関しても
この定理は哲学的には問題があるとか良く分かんないこと書いてた気がする。
ゲーデルと20世紀の論理学の彼が書いた記事は面白かったけどね。
0479368 ◆jkwVJMjC32
2011/03/21(月) 10:54:28.93「多項関係の述語記号を持ち関数記号を持たない理論は決定不可能」
というのBoolosによって示された定理のことでしょうか。
算術の定理に必要な関数記号を論理学の述語で代用するということは、
数学を二階述語論理で直接展開するということでしょうか。
これが真になるというのは、どのような場合なのでしょうか。
私は知りませんが、興味はありますね！
0480１３２人目の素数さん
2011/03/22(火) 18:59:09.84>429は一般に言えることなの？
p を命題変数とする。勝手な論理式 A に対し、
p が証明可能ならば A も証明可能
しかし、p→A は一般にはトートロジーではない。
証明可能の条件をもうちょっと強めると、古典命題論理の範囲では
Mints による定理があって、逆にあたることが成立する。
0481１３２人目の素数さん
2011/03/23(水) 00:53:46.06>数学を二階述語論理で直接展開するということでしょうか。
は、私がそういうことかなと推測した内容で、本が言っている内容かはわかりません
数理論理の内容なので、関数記号を除いたからといって数学の定理が扱えないわけはない
じゃあどうやって？
述語でやろうというのか？しかし・・
という感じで質問に来ました
0482１３２人目の素数さん
2011/03/23(水) 23:44:06.57Modal logic
Classical modal logic
Regular modal logic
Normal modal logic
Modern modal logic
Temporal logic
Propositional dynamic logic
Linear temporal logic
Interval temporal logic
Graphical interval logic
Signed interval logic
Future interval logic
Kinetic logic
Dynamic logic
Propositional dynamic logic
Multimodal logic
Hennessy-Milner logic
Epistemic modal logic
Public announcement logic
Product update logic
Deontic logic
Dyadic deontic logic
Imperative logic
0483１３２人目の素数さん
2011/03/23(水) 23:44:42.49Algorithmic logic
Branching-time logic
CTL*
Computational tree logic
Tense logic
Computational verb logic
Hybrid logic
Quantum logic
Many-valued logic
Fuzzy logic
T-norm fuzzy logics
Monoidal t-norm based logic
Product fuzzy logic
Nilpotent minimum logic
Lukasiewicz logic
Godel-Dummett logic
Basic fuzzy logic
Post logic
Kleene logic
Provability logic
Interpretability logic
0484１３２人目の素数さん
2011/03/23(水) 23:45:10.90Bayesian logic
Probabilistic logic
Subjective logic
Combinations logic
Substructural logic
Relevant logic
Linear logic
Strict logic
Full linear logic
Modern Lambek calculus
Non-commutative logic
Cyclic linear logic
Pomset logic
BV
NEL
Bunched logic
Affine logic
Direct logic
Full affine logic
0485１３２人目の素数さん
2011/03/23(水) 23:45:50.52Paraconsistent logic
LP
FDE
Doxastic logic
Floyd-Hoare logic
Description logic
Minimal logic
Independence-friendly logic
Dependence logic
branching quantifier logic
Non-monotonic logic
Default logic
Autoepistemic logic
Free logic
Connexive logic
Combinatory logic
Categorical logic
Q0 Logic
Ω-logic
Separation logic
：
：
0486１３２人目の素数さん
2011/03/24(木) 00:05:02.46まぁ私は全て知っていましたけど。
0487１３２人目の素数さん
2011/03/24(木) 00:49:54.63それらを(ある程度)統一した強力な体系とかあるんでしょうか？
0488１３２人目の素数さん
2011/03/24(木) 07:37:33.200489368 ◆jkwVJMjC32
2011/03/24(木) 08:08:58.26> 数理論理の内容なので、関数記号を除いたからといって数学の定理が扱えないわけはない
> じゃあどうやって？
> 述語でやろうというのか？しかし・・
> という感じで質問に来ました
述語論理で必ずしも算術をする必要があるのでしょうか？
Boolosの定理は算術の存在を仮定しなくても、成り立つように思えます。
一般的な論理と数学に必要な論理は分離していった歴史がありますから。
0490１３２人目の素数さん
2011/03/24(木) 21:08:48.47矛盾許容論理...
もう何でもありだな。
0491368 ◆jkwVJMjC32
2011/03/24(木) 21:56:46.43興味のあるものや、詳しく知りたいものがあったら
言ってもらって結構です。
大抵答えられます。
0492１３２人目の素数さん
2011/03/25(金) 16:41:52.800493368 ◆jkwVJMjC32
2011/03/25(金) 23:47:24.56直観主義論理は上記リストから見ると、
ちょっと古いのではないでしょうか。
古典論理から中間論理、直観主義論理、そして超直観主義論理までの
意味論はクリプキが可能世界の導入によって自然に拡張しましたから、
当然、上の非標準論理の基礎にはなっています。
しかし上のリストは恐らく、
様相論理を基本的な枠組みとして取り入れた
論理を紹介する意図があったのではないでしょうか。
いずれにしろ、個人の仕事なのですから
上記リストに抜けがあることは致し方ないでしょう。
それよりも良い検索キーワード集を提供してもらえたことに感謝しましょう。
0494１３２人目の素数さん
2011/03/26(土) 18:29:03.87どういうことをやるんだろう？
Taoのblogに載ってたようなcommon knowledge的な話とかかな？
あとInterpretability logic とΩ-logic について宜しく
0495１３２人目の素数さん
2011/03/26(土) 19:45:59.19368の過去レスを見るとそんな偉そうな総括が言える力量とは思えない
おそらくハッタリであろう
0496１３２人目の素数さん
2011/03/26(土) 20:33:19.56それが日本最高峰の教科書と言っちゃうくらいだからな>>188
0497368 ◆jkwVJMjC32
2011/03/26(土) 22:32:27.30正確にははじめてではないですね。
知識と信念の論理という本がはじめてですね。
この本で命題論理・述語論理から
様相論理、デフォルト論理やメンタル・スペース理論まで
まとめて学習しました。
理解できない部分は論理と計算のしくみという本で補填しました。
またこの本で完全性定理や不完全性定理を学習しました。
0498368 ◆jkwVJMjC32
2011/03/27(日) 08:26:17.10動的認識論理DEL（Dynamic Epistemic Logic）の一種で、
公開告知やプライベートなどの多種の言語伝達に依存して
エージェントたちの認識状態が変化するというアイデアによる。
様相論理を基礎にしている。
例
APLにおける文φの意味の公開告知の型がφ！であるとき、
様相演算子を[φ！]、<φ！>と置く。さらに命題ξに対して、
公開告知の後、[φ！]ξが真する。
ξが「K_aχ：エージェントaがχを知っている」で定義されるとき、
公開告知によって[φ！]K_aχが真。
これは公開告知による知識の変化を記述している。
おっしゃられる通り、common knowledge やmutual
knowledge への拡張もされています。
また認識論理の代わりに義務論理を選択することで、
指令論理ECL（Eliminative Command Logic）なども作られました。
関連
DEUL (Dynamic Epistemic Upgrade Logic）
DDEPL（Dynamic Deontic Epistemic Preference
Logic）
Arbitrary Public Announcement Logic (APAL)
Future Event Logic（FEL）
カテゴリ
数理論理学｜計算機科学
0499368 ◆jkwVJMjC32
2011/03/27(日) 09:08:57.64証明可能性論理GLを拡張したもので、さまざま種類があります。
算術的に完全なILMやモンターギュの公理を加えた最小論理IL、
持続公理をILに加えたILPなど。
p、q...は束、
∧、∨、→、⇒は様相論理のオペレータ
定義1
d(p)＝1
d(⊥)＝0
d(A∧B)＝d(A∨B)＝d(A→B)＝d(A⇒B)＝d(A)+d(B)+1
公理2
略
自分よりも弱い理論の文を自分の中に置き換えて
数学的な性質を比較するという感じでしょうか。
0500368 ◆jkwVJMjC32
2011/03/29(火) 23:09:07.72GL＋述語記号△
二項様相演算子△を以下のように定義する。
理論Tにおける、A△Bの算術的な実現は
TにBの実現を加えたものは、TにAの実現を加えたものを解釈可能である。
つまり、Tの言語の論理式で、
T＋B |― C implies T＋A |― f(C)
となるような比較解釈可能関数ｆが存在する。
定義１
式Aの次数d(A)を次を満たす。
・d(p)＝1
・d(⊥)＝0
・d(A∧B)＝d(A∨B)＝d(A→B)＝d(A⇒B)＝d(A)+d(B)+1
定義２
ILの公理
K:□(p→q)→(□p→□q)
L:□(p→p)→□p
J1:□(p→q)→(p△q)
J2：(p△q)∧(q△r)→(p△r)
J3:(p△r)∧(q△r)→((p∨q)△r)
J5:(◇p)△p
ILの推論規則
MP
0501368 ◆jkwVJMjC32
2011/03/29(火) 23:09:26.37ILPの公理
ILの公理に以下の公理を加えたもの
P:(p△q)→□((p△q) (永続公理)
定義４
論理式Aと論理Lについて、L+Aとは、
L∪{A}を含む論理式の最小の集合で、
様相論理のMP、置換、必然性の3つの規則において閉じている論理。
定義５
IK4とは、
K、J1、J2、J3、J5に、
4：□p→□□p
を加えた6つの公理とすべてのトートロジーを含む最小の論理式の集合で、
様相論理のMP、置換、必然性の3つの規則において閉じている論理。
定理１
IK4 ⇔ △-free fragment が様相論理K4となるILの部分論理。
定理２
IK4＋PはILPの部分論理。
定理３
IL＝IK4＋L
ILP＝IL＋P＝IK4＋P＋L
定理４
IL、ILPはクリプキ構造で完全。
0502368 ◆jkwVJMjC32
2011/03/30(水) 19:18:55.66Γ_A≡Γ－{A}を論理式の集合、
◎∈{□,◇,￢}を接頭辞としたとき、
◎Γ≡{◎A｜A∈Γ}
Γ△⊥≡{A△⊥｜A∈Γ}
と表現し、推件式は以下のように表現する。
Γ→⊿
定義７
推件式GIK4Pの公理
A→A
⊥→
0503368 ◆jkwVJMjC32
2011/03/30(水) 21:24:29.35論理式Aの部分論理式の集合をSub(A)
Γ∪∆の各論理式の部分論理式の集合をSub(Γ → ∆)で表す。
定義９
GIK4Pの推論規則。
(T→)Γ→∆：A,Γ→∆
(→T)Γ→∆：Γ→∆,A
(cut)Γ→∆,A、A,Π→Λ:Γ,ΠA→ ∆A,Λ
(∧→i)Ai,Γ→∆：A1∧A2,Γ→∆
(→∧)Γ→∆,A、Γ→∆,B：Γ→∆,A∧B
(∨→)A,Γ→∆、B,Γ→∆：A∨B,Γ→∆
(→∨i)Γ→∆,Ai：Γ→∆,A1∨A2
(⊃→)Γ→∆,A、B,Γ→∆：A⊃B,Γ→∆
(→⊃)A,Γ→∆,B：Γ→∆,A⊃B
(△K4P)A,{B,X1,···,Xn}△⊥,Σ→B,X1,···,Xn、Σ→Y1△B、…、Σ→Yn△B：
X1△Y1,···,Xn△Yn,Σ→A△B
0504368 ◆jkwVJMjC32
2011/03/30(水) 21:29:12.26シーケンス計算は、
証明図が奇抜な形をしているため
掲示板に書くことはできませんでした。
0505１３２人目の素数さん
2011/04/03(日) 01:45:35.55これのメリットって何があるの？
0506論理体系の表現能力
2011/04/03(日) 12:08:08.76↑
様相論理（時相論理・認識論理・信念論理...）
↑
中間論理
↑
超直観主義述語論理
↑
超直観主義命題論理
↑
直観主義述語論理
↑
直観主義命題論理
↑
部分構造論理(ランベック計算・線形論理、矛盾許容論理、ウシュカヴィッチ多値論理、ファジー論理、適切論理...)
↑
↑ひくい
大体こんな関係じゃないでしょうか？>>487
0507１３２人目の素数さん
2011/04/05(火) 19:08:36.22今夜からΩ-論理の説明をはじめましょう。
0508１３２人目の素数さん
2011/04/05(火) 20:39:42.43勉強したら答えられるようになりますって意味だったの？
勉強したての人間の説明は何が本質的なのか全然分かんないから勘弁してほしい
0509１３２人目の素数さん
2011/04/05(火) 21:28:09.34上記のリストにΩ-論理はない。
0510１３２人目の素数さん
2011/04/06(水) 10:18:46.30http://hatsukari.2ch.net/test/read.cgi/news/1302019119/l50
0511１３２人目の素数さん
2011/04/06(水) 11:09:08.03凄い発見だな！僕は自分の人生さえ割り切りが付かないぞ！
0512１３２人目の素数さん
2011/04/06(水) 22:33:49.350513１３２人目の素数さん
2011/04/06(水) 23:42:36.65現在仏教論理は主流ではないですね。
量化が特殊なので非常に研究が難しい。
イスラエルでマルグリス（超剛性定理で有名な）らにより
研究されているキリスト教的論理学との関連が指摘されています。
キリスト教的論理学の推論規則ではほとんどの仮定が落ちません。
0514１３２人目の素数さん
2011/04/07(木) 08:01:16.270515１３２人目の素数さん
2011/04/07(木) 08:03:17.550516１３２人目の素数さん
2011/04/07(木) 13:06:25.300517１３２人目の素数さん
2011/04/08(金) 20:06:05.60> Taoのblogに載ってたようなcommon knowledge的な話とかかな？
え？
テレンス・タオってロジックにも進出しているの？
天才に来られると萎縮するわ...
0518１３２人目の素数さん
2011/04/09(土) 19:12:13.38N型推論図（フレーゲ流）はNKなどの公理を持たない体系で、
仮定を落とすのを記述するのに使われることが多いです。
L型推論図はシーケント計算など仮定がない体系で使われます。
一般的な数学はNKのN型推論図などを用いると表現しやすいです。
シーケント計算のL型推論図は様々な論理式を
証明するのに下から辿れるので使いやすいです。
本によっては → が |― と書かれていたりしてまちまち。
またHKは仮定がないのでL型で書かれることが多いです。
（HKは公理の変形が複雑だが部分構造論理で使われるそうな）
それから論理式の左側にtermと呼ばれるものをつけて、
証明の経路を辿れるようにしたものもありますね。
この際、NKの仮定をラムダ項に対応させることが出来、
カリー・ハワード対応と呼ばれることもあります。
仮定の落ちる回数に制限を設ける論理もあったと思います。
0519１３２人目の素数さん
2011/04/09(土) 19:16:06.90答えられるので何でも聞いて良いですよ。
0520１３２人目の素数さん
2011/04/10(日) 21:52:24.80これを知らないから無駄な努力をしてしまう。
0521１３２人目の素数さん
2011/04/13(水) 23:51:38.10岩波書店5月 『数学基礎論』新井敏康 著
ttp://www.iwanami.co.jp/hensyu/science/next.html
気合入ってるなあ 楽しみ
みすずから出たトルケル・フランセーンの本もかなり良いよ。
ロジック専攻というレベルじゃなくて不完全性周りが
まさに著者の専門だからかなり細かいことまで徹底的に書いている。
但し著者独自の主張じゃないか、と思うようなことも無いではないけどね。
訳者の田中先生って今どうしてるんだろうか。
今年春に東工大で講演会やるみたいな話あった気がするけどどうなってるのかな。
0522１３２人目の素数さん
2011/04/14(木) 07:08:42.36メドベージェフ次数が日本に紹介されるまではまだかかるでしょうね。
0523１３２人目の素数さん
2011/04/14(木) 08:18:58.100524１３２人目の素数さん
2011/04/14(木) 19:12:25.74後は英語の世界。
0525１３２人目の素数さん
2011/04/14(木) 19:20:30.70内容は Shoenfield のと同じようなもん？
0526１３２人目の素数さん
2011/04/14(木) 20:55:12.37Shoenfield は証明論がなかったですよ。
それから計算理論が何を指しているのかが分かりません。
ページ数が気になりますね。
解説を読む限り強制法にも触れてそうですね。
ただメドベージェフ還元まではいかないと思いますね。
0527１３２人目の素数さん
2011/04/14(木) 21:34:06.560528１３２人目の素数さん
2011/04/14(木) 21:39:51.30ゲーデルが証明したのに近い不完全性定理を導入するってことですか。
算術的階層やペアノ算術までいくShoenfieldよりは進まないということかな。
0529１３２人目の素数さん
2011/04/14(木) 22:15:29.27入門篇で原始帰納関数、基礎編で超限帰納法やるんじゃないだろうか。
0530１３２人目の素数さん
2011/04/15(金) 00:58:48.51新井先生の専門とかから考えるなら、
再帰的Mahlo順序数とかを使うKP（ZFの断片）に対する順序数解析とかに
触れたりして現代の証明論を紹介したいのかな、とか思ってるんだけど。
PohlersのProof Theory: The First Step into Impredicativity（11章）とか
RathjenのThe art of ordinal analysis
www.icm2006.org/proceedings/Vol_II/contents/ICM_Vol_2_03.pdf
とかの後半（2.2. Set theories.以降）とか。
新井先生のhttp://arxiv.org/abs/1102.0596で言うなら4 Jäger以降の内容。
ちょっと希望的観測過ぎるか。
0531１３２人目の素数さん
2011/04/15(金) 20:27:40.850532１３２人目の素数さん
2011/04/16(土) 01:08:11.68モデル理論とはどのようなものなんでしょうか
ゲーデルあたりの研究成果を元に生まれたとは聞いたんですが
0533１３２人目の素数さん
2011/04/16(土) 07:46:53.790534１３２人目の素数さん
2011/04/16(土) 17:24:57.55タルスキが最初だよ。
ゲーデルと並行して研究されてた。
0535１３２人目の素数さん
2011/04/16(土) 22:55:12.90>>534
なるほど
「モデル」がどういう意味なのか分からなくて困ってましたが
要は意味論のことなんですかね
ありがとうございました
0536１３２人目の素数さん
2011/04/16(土) 23:57:38.441階述語論理の意味論は構造と呼ばれており、
この構造である理論のどんな論理式を解釈しても、
真になれば構造が理論のモデルになるとされますね。
つまりある理論を「まともに」解釈できる構造のことですね。
無矛盾な理論はモデルをもつ。
という完全性定理がモデル理論の初期の研究成果です。
それからコンパクト定理とレーベンハイム・スコーレムの定理は
どんな本にも載っていますね。
例えば、
可能世界で有名なクリプキ構造は様相論理のモデル、
チューリング・マシンはある計算理論のモデル、
2^ωが型なしラムダ計算のモデルになったりしますね。
ハインティング代数やブール代数などの代数的構造を
モデルにすることで、論理学を代数にする手法もあります。
モデル間の同型写像を考えて構造同士の関係・分類もできます。
連続体仮説のZFCからの独立性を証明する強制法のアイデアも
提供しておりますし、モデル自体をZFC上で形式化する研究もあります。
また様々な階数の述語論理を計算の複雑さの階層
（EXPとかPSPACEとかNPとか...）に対応させ、
算術的階層などと組み合わせて現代数学の全体像を浮かび上がらせる
記述計算量理論というものにもアイデアを提供してます。
大雑把にいって証明論に対して存在しているようにも思われます。
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