数学基礎論・数理論理学のスレッド その7
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0001１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 22:13:5719世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学のスレッド その6
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1265884076/
0267１３２人目の素数さん
2011/02/12(土) 19:54:57無知乙。
インチキ扱いされるのは、
無限、宇宙、数学の基礎というワードに電波が群がっているから。
0268１３２人目の素数さん
2011/02/12(土) 22:15:21突然ですいませんがこれなんですか。
∀とか∃とかなんですか
テストなんです。助けて下さい
0269１３２人目の素数さん
2011/02/12(土) 22:57:02ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
教科書読め。
0270１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 03:57:530271１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 04:32:230272１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 15:16:36[A]B⇒A
[B]A
この流れが全く分かりません。多分法則とか公式分かればとんでもなく簡単なんだろうけど。
明日本屋で勉強しようと思うんだが、なんかオススメの本ありますか？
0273１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 17:26:21「恒真式、真理表」を速攻理解しろ。
0274１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 19:03:51公理型に¬なんて含まれてたっけ？
0275１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 19:18:05公理図式の組にはバリエーションがあって、¬を含むタイプのもある。例えば
ルカシェヴィツの公理系L
公理１ A⊃（B⊃A）
公理２ （A⊃（B⊃C））⊃（（A⊃B）⊃（A⊃C））
公理３ （¬A⊃¬B）⊃（B⊃A）
推論規則１ A, A⊃B → B （MP）
0276１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 19:21:520277１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 19:22:07(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
(¬B→¬A)→((¬B→A)→B) 背理法
A→(B→A)
(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
(¬B→¬A)→(A→B) 対偶律
A→(B→A)
(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
⊥→A
¬¬A→A 二重否定除去（ただし¬AはA→⊥の略記）
A→(B→A)
(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
⊥→A
((A→B)→A)→A パースの法則
etc...
0279１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 19:31:390280１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 20:20:540281１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:05:060282１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:38:410283１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:41:480284１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:44:020285１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:44:570286１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:48:39あ、そうか。サンクス。
0287１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:22:27> 自分が習った体系しか無いと思うとは、おめでたいやつだ。
他にあるってこと自体は知っていた。
ただ俺はHKといった。
HKは普通、
公理１ A→B→A
公理２ (A→B→C)→(A→B)→A→C
公理３ ((A→B)→A)→A
公理４ ¬→A
推論規則１ A, A⊃B → B （MP）
だろう？
今はBCIとかBCKとかBCKW...とか言われてるのを知らのか？
0288１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:27:43数学畑の人と哲学畑の人と両方教えて
0289１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:44:54集合論ならいるけど。
0290１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:49:33一応教えてください
0291１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:59:25ttp://twitter.com/#!/kururu_goedel
0292１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 23:59:220293１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 00:07:390294１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 00:09:130295１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 00:18:58DIAMOND: A PARADOX LOGIC (2ND EDITION) (Series on Knots & Everything)
http://www.amazon.co.uk/DIAMOND-PARADOX-LOGIC-Knots-Everything/dp/981428713X
この本で扱ってるDiamondって様相論理の可能性演算子と、
連続体仮説の一般化の方のとどちらでしょうか？
0296１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 01:14:20ドイツ語の頭文字をとって一部の教科書がそう読んでるだけじゃないの？
BCKとかのBとかCとかはそれぞれ一つの公理図式の名前だけどHKはそうじゃないでしょ。
松本和夫の本とかにもHKとか名付けてあるけど当時BCK論理とかがあったはずもないし。
一般的には、ほとんどの規則を推論規則として定式化する
Gentzenの自然演繹とかシーケント計算とかに対して
modus ponensとか汎化規則とかしか推論規則が無くて、
あとは公理として規則を立てるような体系のことをHilbertスタイルというように思う。
というか
＞公理４ ¬→A
これ意味分からんのだが。論理式になってないし。
0297１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 02:14:03> これ意味分からんのだが。論理式になってないし。
否定ではなくて、矛盾のつもりなのでしょう。
0298１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 23:24:240299１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 07:29:29・素朴集合論
・線形代数学
・位相空間論
・一階述語論理学
・グラフ理論
・群/体
・ルベーグ積分
・公理的な確率/統計
・関数論
などだ。難しいと感じるかは当人のセンス次第だ。
0300１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 09:25:54「難しい」と書いて「たのしい」と読むんだぞ
0301１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 09:27:020302１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 09:28:300303１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 11:44:47シェラハというイスラエルの爺さんの頭脳レベルを調べてみなされ。
0304１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 12:09:530305１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 12:14:05この文脈では、論文を量産できるほど簡単な分野であるかのようではないか
0306１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 12:15:20http://ja.m.wikipedia.org/wiki/サハロン・シェラハ?wasRedirected=true
0307１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 17:45:24「ラッセルのパラドックス」を解決した「グロタンディーク宇宙」とはどんなものなんですか？
ウィキ読んでもさっぱりわかりませんでした(笑)
0308１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 21:02:17どこで読んだのそれ？
0309１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 21:09:380310１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 21:11:35普通のZFでもラッセルのパラドクスは構成できないよ。
0311１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 21:24:20今ではそれに付け加えて、
・数論
・代数的トポロジー
・モデル理論
・チューリング/メドベージェフ還元
・計算量複雑性・再起理論
・不完全性定理（四則演算並みの頻度で多用）
・論理学の代数化定理周辺
までが求められる。
シェラーとかいう人は確か特異基数仮説周辺で有名な人じゃなかったっけ？
（私も全然ついていけてないです...
0312１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 21:29:100313１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 21:43:42なんで集合論に確率が必要なん？
てきとうに挙げただけちゃう？
0314１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 21:46:32カントール空間とかポーランド空間とか使うからでしょ。
メドヴェージェフ還元に＾＾
0315１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 21:57:460316１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 22:02:03メドベージェフ次数のおけるプールエルクリプキの定理に該当！
0317１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 22:19:310318１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 23:23:440319１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 23:27:250320１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 07:20:38シュプリンガーから
Kripke Models, Distributive Lattices, and Medvedev Degrees
Sebastiaan A. Terwijn
が出てる。
紙媒体は多分まだない。
0321１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 10:59:40ありがとうございます！
0322１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 17:43:46rankとdegreeについての二重帰納法を用いるものがありますよね？
証明図の変形によるrankとdegreeの減少を精密に評価することで、
何ステップ以内に変形が終わるか、あらかじめわかるのではないかと思ったのですが、
どうも無理な気がしてきました。
実際どうなんでしょうか？
よろしければお知恵をお貸し下さい。
0323１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 19:03:27Girard の Proof theory and Logical comlpexity には
その方法で評価がされています。
また、もっとスマートに二重帰納法を回避する方法ですが Gentzen の
自然数論の無矛盾性証明の論文の最後の方に、数学的帰納法がなければ
ωを 3 に置き換えればよいというようなことが書いてあったと思います。
0324１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 20:36:27ご回答ありがとうございます。図書館で調べてみます。
＞ωを 3 に置き換えればよい
というのは、無矛盾性証明において証明図に順序数を対応させたのと同様に、
LKのカット除去でも証明図に、例えば自然数3＾（3＾（1+1））を対応させる、ということでしょうか。
この方針で試みてみようと思います。
0325１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 23:25:04あれ、ということはロビンソン算術の無矛盾性は有限の立場で示せるということ？
0326１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 13:37:43なんでx=y→x'=y'じゃなくて
x'=y'→x=yなのか教えてください
0327１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 13:57:580328１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 15:47:050329１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 15:54:02演繹するか公理で仮定することになる。
0330１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 15:58:300331１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 16:28:40なにがいいの？
0332１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 16:43:54？
0333１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 16:47:140334１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 17:22:53〜じゃだめなの？＝〜でいいだろ。
ということだから、いいってのはどういう意味でいいっていってんのかってこと。
0335１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 19:20:420336１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 19:34:060337１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 19:39:50そんなうまく質問できるくらいなら質問してない
初めてペアノの公理見たんだよ
なんでx=y→x'=y'じゃなくてx'=y'→x=yなのかわかるように教えてください
0338１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 19:47:260339１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 19:48:08これは後者関数の単射であることを意味する。
ペアノの公理からこれを除くと、ループを許すことになる（例えばこんなの↓）。
0→1→2→3→1→2→3→1→2→3→…
形式的な話をすれば、体系内で帰納的関数を構成する際などにこの公理を用いる。
もちろん、それ以外の場面でも。
上でも指摘されてるけど、
x=y→x'=y
これ↑は単なる代入可能性を意味する、等号の公理の一部。
0340１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 20:00:42x=y → x'=y'
ならば、
0→1→2→3→4
となるんじゃない？3の次は3'(=4)だけでしょ？
0341１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 20:06:45x'=y'→x=yを仮定しないと、3' が 1 になり得るという話
0342１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 20:12:23それだけだと、
3'のまえが3じゃないとこから複数本繋がってきてもいい。
0343１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 20:13:21新しく生まれる自然数が、先に生まれた自然数のいずれとも異なるように、
言い換えれば、自然数を一直線に並べるために必要な公理なんだよ
もし単射でなかったら、直前の世代にあたる自然数が一通りに決まらない
例えば、1の直前が 0 と 0''' ということもあり得る。
0344１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 20:22:270345１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 20:22:34x'=y'→x=yがなくてその逆だと
Z/nZでも条件満たしちゃうでしょ。
Z/nZが何なのか分からないなら先に初等整数論を勉強してね。
0346１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 20:51:38やっぱり皆の言うようにやらないとダメだ
ただどっちも似たような話で、
0'=1，1'=2，2'=3，……，〜'=n、n'=1みたいな状況が生じちゃうってこと
0347１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 20:57:05x≠yのときについては何の制約も掛けて無いから。
0348１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 20:58:58a=b だからって、a と b が「記号列として同じ」であるとは限らない
等号の公理：反射律および代入可能性を満たす限りにおいて、a と b が異なる記号列であってもよい
だから、1の直前が 0 と 0''' である、つまり論理式 0=0''' が証明可能、という状況もある（かもしれない）
0349１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 20:59:18まず「単射」という概念を理解した方がいい。
ググればいくらでも出てくるだろう。予備知識は必要ない。
それでも分からなかったらここで聞いても無駄。
0350１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 21:03:00その条件は3の後はかならず3'にしかいかないということを言ってるだけで
3'の前がかならず3になってるとは言ってないからだよ。
後者の条件はお前がどうしても外したがってるx'=y'→x=yのほう。
0351１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 21:24:25またこの流れか。
0352１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 21:28:40芯の通った思想を感じる本だね。楽しくなってくる。
0353１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 21:53:00竹内の本がありがたく感じる。
もちろん良い本だけど。
0354１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 21:54:39どのみち、分からん君が置き換えたがってる等号公理からは出ないが。
0355１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 21:57:11それだったら同じ理屈で、x'=y'→x=y だと
1の次が2だったり3だったりしてしまうのでは？
0356１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 22:04:20∀x x'≠0という公理があるから特に0≠0'=1。
ところが1'=1'' だとすると1'=(1')'→1=1'だから1=1'、
つまり0'=(0')'となって同様にして0=0'となって矛盾する。
0357１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 22:14:38まじで？
0358１３２人目の素数さん
2011/02/19(土) 05:24:220359１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 00:33:29.67島内さんの「数学の基礎」をよめばどうかな。
基礎論の初歩的なところを手取り足取り進めてくれるから。
中学生でも理解できるような歩みで。
0360１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 01:00:24.590361１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 07:25:58.310362１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 08:21:03.83p→qとその逆のq→pを混同してるかもしれないレベルなのに。
0363１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 17:07:35.54いや、それどころか自然数の公理系まで入ってるけど。
0364１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 17:19:04.08その本の目的がいまいちぴんと来ない。
読みてはどんな人がターゲット？
0365１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 23:51:21.860366１３２人目の素数さん
2011/02/22(火) 17:07:57.67>>326に勧めてるじゃんw
0367１３２人目の素数さん
2011/02/22(火) 23:35:42.32■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています