自然数の0のことを 0: = Ø = { } と定義しちゃったら
空集合と0を区別して使いたい場合に困るじゃないか、
仮に0を退避させてもその先で用途が今後被るかも知れないじゃないか、
っていうことは公理的集合論を勉強し始めたときに気持ち悪い点の一つだと思う。
順序対の定義とかもそうだけど、最初に集合論を勉強し始めたら
結構な人が違和感を持つんじゃないだろうか。

これは、これこれの対象と関数と述語が存在して
自然数論の公理を満たす構造になっている、
という公理系 T を別に考えて理論の合併 ZFC ∪ T を考えれば良くて、
ZFC ∪ T では0=Øみたいな式が証明されることは絶対無いので
実際に数論とかの数学をやるときはこっちのほうが自然。
でも集合論の公理系のことを主に考えている場合は
T の∃z 〜〜 とかは実はZFCの公理から普通に証明できるので、
敢えて公理にする必要無いよねって話だと思うと良い。

人間が読めば文脈で区別できます、みたいな返答はあんまりじゃないかなあ。
そりゃそうだがそんなこと言ってるんじゃないだろうよ。