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数学基礎論・数理論理学のスレッド　その7

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0001１３２人目の素数さん

2010/11/11(木) 22:13:57

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論・数理論理学のスレッド　その6
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1265884076/

0002１３２人目の素数さん

2010/11/11(木) 22:17:05

0003１３２人目の素数さん

2010/11/11(木) 22:17:25

以降こちらでどうぞ。
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1288001068/

0004１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 00:41:01

>>0' 乙

0005１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 00:41:36

>>1
乙

復活祝。

0006１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 01:56:07

猫に小判、まで読んだ。

0007１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 03:10:13

>>3
数学板名物　強迫観念的過剰整理集約者

0008１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 07:21:26

Well-Pointed 付き圏が形成するような、
ZFC、GBなどの代替2階述語空間では
バベリアン・ライブラリ圏を定義できます。
これはバベルの図書館的情報海をヒントに作られた
表現可能宇宙全体をスタックとして移動していきます。
つまるところ定義自体が定義の生成圏となっています。

0009１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 07:38:54

>>8
隔離スレへ帰れ！ハウスハウス！

0010１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 07:44:02

無限集合論のアーレフなんかも
数種類知られているが、
キリスト教徒による無限の解釈は
濃度の非切断性による圏論的定式化だったといわれている>>8

0011１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 07:46:46

荒らしに何言っても無駄だとは思うが、とりあえず圏論はスレ違いってことで。

0012１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 08:46:56

こんだけ無内容なレスできるのも一種の
ポストモダン的な才能だな

0013１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 13:04:51

モデル理論は、何を研究するの？

0014１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 19:08:54

>>13
数学全体の基礎に述語論理があるけども、
モデルというのはススリンの木によるダイアモンド原理を
実現するためにクリプキによって導入された理論。
基本的にはドゥルーズ以前の樹形図による発展的論理学。
ポストの定理が証明されてからはリゾームへ移行している。

0015１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 19:17:49

隔離スレ池谷カス

0016１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 19:35:11

Model theory is the geography of tame mathematics. (Hrushovski)

0017１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 20:03:08

>>14
で、何を研究すんの？

0018１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 20:20:56

397 ：23世紀の論理学の提唱：2010/04/25(日) 11:16:36
さて、スペンサーブラウンが提唱した形式の法則であるが、
これはCalculusに基くブール代数の構成を可能にした「区別」と
呼ばれるシステムの自己観察機能による再循環－これは
マトゥラーナ＝ヴァレラ図式によるもの－に「拡大」可能となっている。
例えば「横断」による算法、これは自己同型写像による対象aの分布関数
R：Spec(農N0)；B(a,ε)→Vll(-<>r)
を意味するもので、primary algebra の公理からアイオーンの時間の固体化、
即ちリンデンバウム補数の位相が閉であること(ArrX/R)、
また複素散乱ウカシェベッチ型ベクトルの縮減対応から得られる
「埋め込み」が線型写像であること⇔Θ：ξ(Asc(3))ΛΓ(A_0)→Γ(A_0)の作用が存在する。
直線的被覆が「シミュラークルの質料」というXの規定、これが即ち論理学である。

山之内　彰

0019１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 20:24:55

◆ 略　歴 ◆
　山之内　彰（やまのうち・あきら）八戸市出身。
保健体育教諭。八戸高―早大。
卒業後に教員となり、八戸工高、八戸南高などを経て、９６年に八戸高に赴任。

0020１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 20:29:54

　model theory = universal algebra + logic
by Chang & Keisler "Model theory"
　algebraic geometry - field = model theory
by W. Hodges by "A shorter model theory"
らしいよ。universal algebraは知名度的に微妙にマイナーだから
後者の方が分かりやすいと思う。
代数幾何は体Fに対して代数式で定義されるようなF^n内部の「図形」を
研究する。もっと一般的に対象領域Dがあるときに、
論理式（代数式、不等式なども含むけど量化論理式なども含む）で
定義されるようなD^n内の「図形」を研究するのがモデル理論だと思っとけば良い。
だから代数幾何には応用しやすくて、実際に代数幾何の定理が
モデル理論を用いてどんどん証明されていたりするわけだ。

0021１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 20:33:18

代数幾何学が盛んな筈の日本で、モデル理論知らんて代数幾何学の研究者が殆どなのは何故？

0022１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 20:59:31

小耳に挟んだことくらいはある方が普通だと思うけど。

0023１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 21:21:15

乞食が殺到する程の有効性が無いのだろう

0024１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 21:32:12

極小モデル理論とは関係ないの？

0025１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 21:59:41

以前書いたが例えば
ヒルベルトの既約性定理をモデル理論で証明
するより、Puiseux級数を使ったりして、
具体的な構造を見る方が重要なんだって。

0026１３２人目の素数さん

2010/11/12(金) 22:01:16

基礎論を学ばない言い訳w

0027１３２人目の素数さん

2010/11/13(土) 00:33:40

>>22
同意
日本でだって、『幾何的モデル理論入門』 by 板井昌典　（日本評論社）なんて教科書まで一応は出てるんだし
その本にも出てるHrushovskiの仕事ぐらいは知ってる代数幾何屋は少なくないんじゃないの？

少なくともモデル理論は基礎論極右というか基礎論原理主義者の巣窟の証明論よりは
普通の数学者(Mac Lane風に言えば working mathematicians、「現場の数学者」とでも訳すのが正解かな？)にも
「数学の分野として存在意義アリ」と認知されてるんじゃないの？

その点、証明論はなあ
最近は "Applied Proof Theory"なんて本も出てるみたいだけど、コンピュータサイエンスの理論屋にはともかくとして
普通の数学者からはどこまで存在意義を認められてる事やら

0028１３２人目の素数さん

2010/11/13(土) 00:53:51

working mathematician は職業数学者じゃねーの？

0029１３２人目の素数さん

2010/11/13(土) 02:23:02

今読んでる本にλ計算というのが出てきたんだが、何だこの記号…すげえ見辛い…

0030１３２人目の素数さん

2010/11/13(土) 02:51:33

λカリキュラスなんて、あんなもんやってもなあ・・・

0031１３２人目の素数さん

2010/11/13(土) 14:38:01

こんちにはみさなんおんげきですか？　わしたはげんきです。
このぶんょしうはいりぎすのケブンッリジだがいくのけゅきんうのけっか
にんんげはもじをにしんきするときそのさしいょとさいごのもさじえあいてっれば
じばんゅんはめくちちゃゃでもちんゃとよめるというけゅきんうにもづいとて
わざともじのじんばゅんをいかれえてあまりす。
どでうす？　ちんゃとよゃちめうでしょ？
ちんゃとよためらはのんうよしろく

0032１３２人目の素数さん

2010/11/13(土) 16:34:39

>>25
一般的には具体的な計算が困難（実際的には不可能）だから非構成的な証明が考案されるわけでしょ。
ゴルダンに戻るわけ？

0033１３２人目の素数さん

2010/11/13(土) 17:01:18

ヒルベルトの神学、なんて言われた時代もあったんだってねえ

0034１３２人目の素数さん

2010/11/13(土) 17:18:02

数学を形式的に記述していって、例えば実際に微積分まで形式化した人はいるんでしょうか
プリンキピア・マテマティカでさえ実数論までだと聞いていますが

0035１３２人目の素数さん

2010/11/13(土) 17:39:00

>>34
ツァリス（ツァリス・エントロピーの考案者）が、
多重線形積分まで形式化した。
トラック・サンジャイロ構成や第3層制限解釈によって
分裂しやすい論理学を生成してからカリー・ハワード対応を与えることで。

0036１３２人目の素数さん

2010/11/13(土) 19:43:32

Coq http://coq.inria.fr/ などのアプローチは
>>34 に該当するだろうか
ライブラリには derivative の文字も見えるが

0037１３２人目の素数さん

2010/11/28(日) 22:50:53

バートランド・ラッセルのプリンキピア・マテマティカと
ヒルベルトの形式系はどの点で違うんでしょうか？

素人向きの解説書、どなたかご存じありませんか？

0038１３２人目の素数さん

2010/11/28(日) 23:03:46

プリンキピア・マテマティカは型付きの体系なのが一番の違い
解説書としては「確かさを求めて」とか

0039１３２人目の素数さん

2010/12/17(金) 05:16:50

超数学と数学基礎論の違いを教えてください。

全く異なる分野なのですか,
それとも片方が他方の一分野の関係になっているのでしょうか?

0040１３２人目の素数さん

2010/12/18(土) 01:16:09

『算術的命題、すなわち一階算術で記述可能な命題に関しては、
選択公理を使った証明があればそれを使わなくても証明できる。』

この定理の証明が載っている文献をどなたか御存知ありませんか？

0041１３２人目の素数さん

2010/12/20(月) 16:53:54

多くの公理的集合論の本に載っている有名な基本的な定理の系。
オリジナルに近いものを読みたいならば、Goedel の本をどうぞ。
Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory.
Princeton University Press

0042１３２人目の素数さん

2010/12/20(月) 17:59:37

>>41
ありがとうございます。
趣味で基礎論を勉強している身ですが、やっと公理的集合論に取り掛かる決心がつきました。

0043１３２人目の素数さん

2010/12/23(木) 15:45:33

俺もやるよ。

0044１３２人目の素数さん

2010/12/29(水) 10:14:23

初歩的な質問で申し訳有りませんが2つ質問させてください
1.
命題論理や一階述語論理よりも基本的な公理系はありますか？
あるのでしたら教えてくださいませんか？
2.
公理的集合論は一階述語論理の上に定義されるから
"公理系"の"系"って公理的集合の一種にはなりませんよね？
だとすると"系"っていったい何なんですか？
"系"を組み立てるための"公理系"が存在してしまったら循環論法になりませんか？
あるいは「まず素朴に定義しておいて、後に公理的集合論を定義したあと、
その素朴な定義が、公理的集合論と矛盾しないことを示す」
みたいな回避方法を取るのでしょうか

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数学基礎論・数理論理学のスレッド その7

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