よろしくお願いします。

白球15個と赤球4個が箱に入っている。この箱から球を1個取り出す操作を繰り返す。
ただし、取り出した球は元に戻さない。
n回目に取り出した球が3個目の赤球である確率をp[n]とする。p[n]が最大となるnを求めよ。
何とか答え13を出したのですが、とんでもない時間がかかりました･･･


1枚の硬貨を繰り返し投げる反復試行を行い、表が500回続けて出たときに終わるものとする。
nを500以上の自然数とするとき、この反復試行がn回で終わる確率をp[n]とする。
(1)501≦n≦1000のとき、p[n]はnに関係なく一定の値になることを示し、またその値を求めよ。
(2)p[1002]-p[1001]の値を求めよ。
(3)1002≦n≦1500のとき、p[n+1]-p[n]の値を求めよ。


n本(1≦n)のロープがある。したがってロープの端は2n個ある。この2n個の端を2個づつn組のペアに分け、
すべてのペアについてペアとなった端同士を結ぶ。結果として端はなくなり、ロープの輪が何個かできる。
「n組のペアへの分け方」の総数をA[n]、そのうちで「ペアとなった端同士を結ぶとn本のロープがすべてつながって1つの輪となる分け方」の総和をB[n]とする。
例えば、A[1]=B[1]=1、A[2]=3、B[2]=2である。
(1)A[3]、A[4]を求めよ。
(2)A[n]=αA[n-1]、B[n]=βB[n-1](2≦n)が成り立つα、βを求めよ。
(3)n=4のとき、8個の端を無作為に4組のペアに分け、ペアとなった端同士を結ぶとき、
輪が4個、輪が3個、輪が2個それぞれできる確率を求めよ。

長くなってしまいましたが、解説とともにお願いいたします。