>>460
適当に思いついた概略だけ. 正当化および精密化は自分でやって.

X=M,g=idとして,Mの各元mに対してφ_m:A->Bを
φ_m(a):=e(a,m)で定めれば,
φ(m)=&phi_mと置くことによりφ:M->Map(A,B)が得られる.
また、X=Map(A,B)としてeの普遍性によって得られるgを改めて
ψ:Map(A,B)->Mと書くことにする.すなわちh∈Map(A,B)に対して
(a,h)->h(a)で定まるfに対してeの普遍性を適用してh(a)=e(a,ψ(h)).

このとき,h∈Map(A,B),a∈Aについて
φ(ψ(h))(a)=e(a,ψ(h))=h(a),
すなわちφ(ψ(h))=h[あるいはφψ=id].
またm∈Mとすれば,
e(a,m)=φ_m(a)=e(a,ψ(φ_m))=e(a,ψ(ψ(m)))
mおよびaは任意なのでm=ψ(ψ(m))[あるいはψψ=id].