不等式への招待 第５章
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0840１３２人目の素数さん
2011/12/22(木) 23:16:14.96e < g_n < {(2n+1)/2√(n(n+1))}e < {1 + 1/(8n(n+1))}e,
でござるよ。
もっとも、マクローリンを使えば一発だが...
log(g_n) = (n + 1/2)log(1 + 1/n)
= (n + 1/2){1/n - 1/(2n^2) +1/(3n^3) - …}
= 1 + 1/(12n^2) -1/(12n^3) + 3/(40n^4) - …
< 1 + 1/[12n(n+1)] - 1/[288(n^2)(n+1)^2] + …
∴ e < g_n < {1 + 1/[12n(n+1)]}e,
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