>>325

対称式なので、いつものように a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおいて通分する。
　(左辺) = {(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca) + [(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]}／{(a+b)(b+c)(c+a)}
　　= {(s^2 -2t)t + (t^2 -2su)}／(st-u)
　　= {2(s^2 -2t)t/3 + (s^2 -2t)t/3 + (t^2 -2su)}／(st-u)
　　≧ {2(s^2 -2t)t/3 + (9/32t)(st-u)^2}／(st-u)　　　(←補題)
　　≧ {(√3)/2}√(s^2 -2t)　　　　(←相加･相乗平均)
　　= (右辺),

〔補題〕
　(s^2 -2t)t/3 + (t^2 -2su) ≧ (9/32t)(st-u)^2,

(略証)
　(左辺) - (右辺) = (1/3)(t^2 -3su) + (7/144)s(st-9u) + (1/288t){(st)^2 -81u^2} ≧0,

しかし、基本対称式を使うやり方は、どうもマンドクセ.....