不等式への招待 第５章
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0001不等式ヲタ
2010/10/24(日) 23:56:56＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
過去スレのミラー置き場：http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
0153１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 01:19:06ｴﾚｶﾞﾝﾄに頼むよ
0154１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 13:18:510155１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 13:21:320156Fランク受験生
2011/02/04(金) 13:43:44〔補題〕
2次の正方行列 A,B について
det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) = det(A+B),
計算しても等号がせいりつしません。
数値計算しても等号が成立しません。
どこがまちがっているのでしょうか
det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) ー det(A+B)＝
a22 b11 + a23 a32 b11 + a33 b11 - a22 a33 b11 - a21 b12 - a23 a31 b12 +
a21 a33 b12 - a31 b13 + a22 a31 b13 - a21 a32 b13 - a12 b21 - a13 a32 b21 +
a12 a33 b21 + a33 b12 b21 - a32 b13 b21 + a11 b22 + a13 a31 b22 + a33 b22 -
a11 a33 b22 - a33 b11 b22 + a31 b13 b22 - a12 a31 b23 - a32 b23 +
a11 a32 b23 + a32 b11 b23 - a31 b12 b23 - a13 b31 + a13 a22 b31 -
a12 a23 b31 - a23 b12 b31 + a22 b13 b31 + a13 b22 b31 - a12 b23 b31 -
a13 a21 b32 - a23 b32 + a11 a23 b32 + a23 b11 b32 - a21 b13 b32 -
a13 b21 b32 + a11 b23 b32 + a11 b33 + a12 a21 b33 + a22 b33 - a11 a22 b33 -
a22 b11 b33 + a21 b12 b33 + a12 b21 b33 - a11 b22 b33
0157１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 13:51:59お前、受験板に帰れよ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
0158１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 13:54:040159１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 14:51:360160１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 18:28:28ということになります。
0161１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 18:44:13ｴﾚｶﾞﾝﾄに頼むよ
0162１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 19:14:142次の正方行列つってんだろが
0163１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 20:39:09正定値対称行列 A,B に対して tA + (1-t)B (0≦t≦1) に対して、
t の関数 f(t) = det (tA + (1-t)B)^{-1} は下に凸であることを示せ。
t det (A) + (1-t) det(B) ≦ det (tA + (1-t)B)．
0164１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 21:11:260165１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 21:13:140166１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 21:42:20det (tA + (1-t)B)． はｎ次の多項式
t det (A) + (1-t) det(B) はｎの一次多項式
主張にムリガあるような気がするのだが？
たとえば ｔ＝～０
(1-t) det(B) ＞＝det ((1-t)B)．ｋｊなぜなら（１－ｔ）＞（１－ｔ）＾ｎ
0167１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 22:04:27> たとえば ｔ＝～０
すまんが、ｔ＝～０ の意味を教えてもらえまいか？
0168１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 22:12:53～０
0169１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 22:18:540170１３２人目の素数さん
2011/02/05(土) 00:51:07det (tA + (1-t)B)． はｔのｎ次の多項式
t det (A) + (1-t) det(B) はｔの一次多項式
主張にムリガあるような気がするのだが？
0171１３２人目の素数さん
2011/02/05(土) 01:42:23多項式の次数が違うことが、不等式が成立しないという根拠にはならんだろ。
例：実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< t^n < t は常に成立します。
0172１３２人目の素数さん
2011/02/05(土) 01:45:160173１３２人目の素数さん
2011/02/05(土) 02:48:24多項式の次数が違うからといって、不等式が成立しないとは言ぇんぜん。
だな。
0174163
2011/02/05(土) 03:46:34確かに主張は間違っていました。
（多項式の次数が違うからというのは理由にはなりません）
[>>163の訂正]
関数 f(t) = det (tA + (1-t)B )^{-1} は逆行列を取っているので、
凸性を表す不等式は（この f が凸であることを示すのが問い）
t f(1) + (1 -t) f(0) ≧ f(t)
これを書き換えると、
t det (A^{-1}) + (1-t) det(B^{-1}) ≧ det (tA + (1-t)B)^{-1}
と逆数を取った式でした。
あるいは、最初から A, B を逆行列 A^{-1}, B^{-1} （これらも正定値対称行列）にして
t det (A) + (1-t) det(B) ≦ det (t^{-1} A + (1-t)^{-1} B)
という不等式を得ます。
0175１３２人目の素数さん
2011/02/05(土) 04:02:00t=0,1 のとき 左辺は０ゆえ、因数定理から
t･det(A) + (1-t)･det(B) - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)f(t;A,B),
(例) n=2 の場合、
t･det(A) + (1-t)･det(B) - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)det(A-B),
0176１３２人目の素数さん
2011/02/05(土) 06:13:39t=0,1 のとき 左辺は０ゆえ、因数定理から
t^n･det{A} + (1-t)^n･det{B} - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)g(t;A,B),
(例) n=2 の場合、
t^2･det{A} + (1-t)^2･det{B} - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)(tr{AB}-tr{A}tr{B}),
0177Fランク受験生
2011/02/05(土) 21:00:57（１）n>=3のばあいは
（２）実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< an t^n+an-1t^(n-1)+,,, < t は常に成立しますか？
0178１３２人目の素数さん
2011/02/08(火) 14:47:14問１．レベル（目糞）---------------------
a、b、c、d≧0 のとき、次式を証明せよ
1/a + 1/b + 4/c + 16/d ≧ 64/(a+b+c+d)
問２．レベル（鼻糞）---------------------
x、y、z≧0、x+y+z=1 のとき、次式を証明せよ
0 ≦ xy + yz + zx -2xyz ≦ 7/27
0179回答ー目糞
2011/02/08(火) 23:58:19q=abcd(a+b+c+d)P の極点をもとめると( 11個）
{(a,b,c,d)=(0,0,c,0),(0,0,0,d),(-d,0,0,d),(a,0,0,0),(a,0,-a,0),....(d/4,d/4.d/2.d)}
どの極点の値もｑ＝０になる。
ｑの形態から 是が最小値になる。
ｑ＞＝０
0180回答ー鼻糞
2011/02/09(水) 00:33:05の局地をもとめて
(L,x,y,z)={(4/9,1/3,1/3,1/3),(1/2,0,1/2,1/2),...}
qの値は｛7/27,1/4,1/4,1/4}になる。
境界の(x､y､z)=(1,0,0) でｑ＝０
０≦ xy + yz + zx -2xyz ≦ 7/27
0181１３２人目の素数さん
2011/02/09(水) 02:29:03問１（目糞）
{a, b, c/2, c/2, d/4, d/4, d/4, d/4} の8個で相加･調和平均あるいはコーシー
だな。
問２（鼻糞）
右側
-1/2 ≦ 1/2 -x, 1/2 -y, 1/2 -z ≦ 1/2, より
-(1/2)^3 ≦ (1/2 -x)(1/2 -y)(1/2 -z) < (1/2)^3,
上限は 3つの因子が同符号(正)のときで、相乗･相加平均より
(1/2 -x)(1/2 -y)(1/2 -z) ≦ {(3/2 -x -y -z)/3}^3 = (1/6)^3,
これを展開する。左側は (ry
0182１３２人目の素数さん
2011/02/09(水) 07:48:14実数 x、y、z が、x+y+z=0 をみたすとき、次式を証明せよ
(|a|+|b|+|c|)^2 ≧ 2(a^2 + b^2 + c^2)
-----------------------------------------------
※ 差を取るのはミジンコでもできるので、エレガントに証明してください
ミジンコといえば…
http://www.yomiuri.co.jp/science/news/20110204-OYT1T00057.htm
※ さらに n乗の場合に拡張できるなら、お願いします
0183１３２人目の素数さん
2011/02/09(水) 07:49:18ごめん、a、b、cをx、y、zで読み替えてください
0184１３２人目の素数さん
2011/02/11(金) 00:21:14問３（耳糞）
ミジンコだが、差を取ってみた。
a+b+c = 0 より 三角不等式が成り立つ。
よって
(左辺) - (右辺) = 2|ab| + 2|bc| + 2|ca| - a^2 - b^2 - c^2
= |a|(|b|+|c|-|a|) + |b|(|c|+|a|-|b|) + |c|(|a|+|b|-|c|) ≧ 0,
0186１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 05:53:59あまりエレガントぢゃねぇが････
6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2,
∴ √6 > 22/9,
(√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9 = (22/7)^2 + 5/(21^2) > (22/7)^2,
∴ √2 + √3 > 22/7,
ところで、
(1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/49 = (1/6)(22/7)^2,
∴ 22/7 > π,
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/187 , 199
東大入試作問者スレ１９
0187１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 06:02:07(14/3)√(5/11) > √2 + √3 を示してくださいです。
0188１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 06:24:28485 > (√484)(√486) = 22(9√6) = 99(2√6),
∴ 485/99 > 2√6,
∴ (14/3)^2･(5/11) = 980/99 > 5 + 2√6 = (√2 + √3)^2,
0189１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 11:06:40Xは正定値なので、小行列式 det(A) >0である。
とくに A は正則行列なので、行列 X は以下のように分解できる。
[A B] ＝ [ I O][A B]
[C D] [CA^{-1} I][O D-CA^{-1}B]．
両辺の行列式を取れば、
det(X) = det(A)・det(D-CA^{-1}B)
ここで X は対称行列なので C=B^t で A^{-1} も正定値行列なので、
det(D-CA^{-1}B) = det (D - B^t A^{-1}B) ≦ det(D)．
よって、
det(X) ≦ det(A)・det(D)
が示された。
0190１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 17:13:26上手いなあ・・・
0191１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:58:06ちっともエレガントぢゃねぇが････
6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2,
∴ √6 > 22/9,
∴ (√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9,
ところで、
(1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/54 = (1/6)(89/9) < (1/6)(√2 + √3)^2,
∴ √2 + √3 > π,
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/187 , 199
東大入試作問者スレ１９
0192１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 00:58:053 + 1/8 < 31^(1/3) < π < 355/113 < 22/7 < √2 + √3 < √10,
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/220-222
東大入試作問者スレ１９
・3 + 1/8 < 31^(1/3) は
(3 + 1/8)^3 = 27 +27/8 +9/64 +(1/8)^3 = 31 -(5 -9/8 -1/64)/8 < 31,
・355/113 = 3 + 16/113 < 3 + 16/112 = 3 + 1/7 = 22/7,
・22/7 < √2 + √3 は >>186
・√2 + √3 < √10 は
y = √x は上に凸: √a + √b < 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)},
あるいは √a + √b = √{2(a+b) - (√a -√b)^2} ≦ √{2(a+b)},
0193１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 14:02:05> 945*(1+1/2^6+1/3^6) = 945 + 945/64 + 35/27 = 945 + (14*64+48+1)/64 + {1+ (27+5)/(27*4)} = 961 + 1/64 + 5/108
> 961 = 31^2 = ([3]√31)^6
0194１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 02:48:13お見事でござる。それでは次を出さねば････
〔補題〕
31^(1/3) < 306^(1/5) < π
左側は
31^3 = 29791 < 29800,
31^5 < 29800*31*31 = 298*310*310 < 306^3, (相乗･相加平均)
ハｧハｧ
0195１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 21:56:14証明すべきことより、(1/6)π^2 = ζ(2) の証明の方が遥かに難しく、証明になっとらんわｗ
ていうか、ここいつから大学入試問題スレになったんだよｗ
糞みたいな問題ばっかりで、詰まらない。
受験生は受験板でやれや
どうせ sin の無限積展開とか知らん奴は (1/6)π^2 = ζ(2) の事実を使うな！
0196１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 21:57:24巣に戻れやボケ！
0197１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 22:23:340198１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 23:09:570199１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 06:26:46あんたこそスレ違い
ここは受験問題のスレじゃない！
しかも、他スレのコピペだし
0200１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 12:29:35>>156
お前、受験板に帰れよ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
0201１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 14:14:52初代スレからの住人としては悲しい限り
0202１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 14:33:46スレの数が減ったために目につきやすくなったからある程度は仕方ないね。
スルーしとけばいいと思うよ。
0203１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 13:53:48入試問題ばかりになっちまったからだろ
スレ住人が塾講師の連中ばかりになっちまったというよ。
0204１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 22:38:590205１３２人目の素数さん
2011/02/19(土) 21:50:20.35http://www.wolframalpha.com/input/?i=Sin%5B23%5E23%5D
と言う他はない。
0206１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 00:42:17.01このレベルの不等式を示すのに (1/93555)π^10 = ζ(10) を使うのはナンセンス。
証明すべきことより、(1/93555)π^10 = ζ(10) の事実の方が遥かに難しいから、証明になっとらんわｗ
とは思いつつ････
π^10 = 93555ζ(10)
= 93555･{1 + (1/2)^10 + ････}
> 93555･(1 + 1/1024)
> 93555･(1 + 1/1155)
= 93555 + 91
= 93646
= 306^2,
0207206
2011/02/20(日) 03:54:59.36π^10 = ････
= ･････
> 93555･(1 + 1/1155)
= 93555 + ８1
= 936３6
= 306^2,
∴ 306^(1/5) < π
0208１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 04:19:51.61y=1/x^6 は下に凸だから
1/k^6 < ∫[k-0.5, k+0.5] 1/x^6 dx = (1/5){1/(k-0.5)^5 - 1/(k+0.5)^5},
これを使って
(1/945)π^6 = ζ(6)
= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + ････
< Σ[k=1,n] 1/k^6 + ∫[n+1/2,∞) 1/x^6 dx
= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + 1/4^6 + 1/5^6 + 1/6^6 + 1/(5*6.5^5) (n=6 とおく)
= 1 + (3^6 + 2^6 + 1)/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
= 1 + 794/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
< 1 + (35431020482 + 508289003 + 133244913 + 35886729)/(113^6)
= 1 + 36108441127/(113^6)
= 1 + 34122476865015/(945･113^6)
< 1 + 34122530050120/(945･113^6)
= (1/945)(355/113)^6,
∴ π < 355/133 ･･････ 密率（「隋書」）
祖沖之（429-500）
0210１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 07:58:37.530211１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 08:02:12.860212１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 11:38:15.55a,b,c>0 のとき a+b+c=s とおくと
a/√(s-b) + b/√(s-c) + c/√(s-a) < (5/4)√s,
casphy - 高校数学 - 不等式スレ 330, 375-376
→ 前スレ.649
0213１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 23:44:56.31正n角形とその内接円・外接円を使うのは、面倒な割に、精度がいまいち････
ζ函数の方が効率がいいし･･･
他にいい方法がないかと思う今日この頃･･･
0214１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 05:15:12.791/2＜a[i]＜1のとき
Π(1-a[i])＞1-2Σ(a[i]/2^i)
(i=2,3,…n)
0215１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 07:19:26.19左辺を P[n] とおくと、
P[n] = P[n-1]･(1-a[n])
= P[n-1] - a[n]･P[n-1]
= ･････
= 1 - Σ[i=1,n] a[i]･P[i-1]
と
P[0] = 1,
P[i] < 1/(2^i) (i≧1)
から。
http://nyushi.yomiuri.co.jp/11/sokuho/kyoto/zenki/sugaku_ri/images/mon4_1.gif
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/253
東大入試作問者スレ１９
0216１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 10:20:07.830 < x < π のとき 次を示せ。
(1) 1/sin(x) - 1/x > x/6,
(2) {1/sin(x)}^2 - 1/x^2 > 1/3,
0217１３２人目の素数さん
2011/02/28(月) 03:57:23.980218１３２人目の素数さん
2011/02/28(月) 06:32:54.58+ +
∧＿∧ +
（0ﾟ・∀・） ﾜｸﾜｸ、ﾃｶﾃｶ…
（0ﾟ∪ ∪ +
と＿_）__） +
0219１３２人目の素数さん
2011/02/28(月) 10:19:21.16http://nyushi.nikkei.co.jp/honshi/11/ha1-21p.pdf
0220Fランク受験生
2011/03/03(木) 00:49:07.67(1)
S(a)=(1/2)(a^2+1)^(n-1)
(2)
a=4 のときｘ＝１．７６になる
0221１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 23:48:54.04全然難問じゃないじゃん。
大数で言うと C*** クラス。
0222１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 02:52:40.020223１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 08:37:16.000224１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 08:47:21.330225１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 09:37:23.59／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） ＜おっとそこまでだ
. | （__人__）＿＿＿_
| ｀ ⌒／ ─' 'ー＼
. | ／（ ○） （○）＼
. ヽ ／ ⌒（n_人__）⌒ ＼
ヽ |、 （ ヨ |
/ `ー─－ 厂 ／ ←>>224
| ､ ＿ __,,／ ＼
0226１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 10:49:02.960227１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 12:42:07.49http://kotonoha.cc/no/54040
0228１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 21:32:08.200229１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 21:46:33.460230猫は廃人 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/08(火) 13:50:17.700231猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/08(火) 19:29:40.790232１３２人目の素数さん
2011/03/08(火) 19:36:06.980233猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/08(火) 19:40:50.01猫
0234１３２人目の素数さん
2011/03/14(月) 01:35:56.47http://www.kyoritsu-pub.co.jp/series/kandokoro.html#zokkan
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ こ、こりゃたまらんっ！
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
0235１３２人目の素数さん
2011/03/17(木) 15:37:44.25(a-1)(3a-7)+(b-1)(3b-7)+(c-1)(3c-7)+(d-1)(3d-7)≧0
を証明せよ。
0236１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 01:36:36.10(左辺) = f(log(a)) + f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)),
ここで
f(x) = (e^x - 1)(3e^x - 7) = 3(e^x - 5/3)^2 - 4/3 ≧ -4/3,
とおいた。
f "(x) = 12{e^x - (5/6)}e^x > 0, (x≧0)
ゆえ、
x≧0 では f は下に凸。
f '(0) = -4,
k = -0.64298265 = log(0.5257220384) < x < 0 では f(x) > -4x,
そこで
F(x) = f(x), x < k, 0 < x
= -4x, k ≦ x ≦ 0
とおく。(函数凸包、function convex hull)
F(x) は x ≧ k で下に凸（広義）である。
(1) a,b,c,d ≧ e^k のとき、凸不等式より
(左辺) ≧ F(log(a)) + F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
≧ 4F(log(abcd)/4) = 4F(0) = 4f(0) = 0,
(2) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが1つだけある(a)とき、凸不等式より
f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)) ≧ F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
≧ 3F(log(bcd)/3) = 3F(-log(a)/3) = 3f(-log(a)/3)
(左辺) ≧ f(log(a)) + 3f(-log(a)/3) ≧ f(k) + 3f(-k/3) = 0.21780074,
(3) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが2つ以上ある(a,b)とき
f(log(a)) ≧ f(log(b)) ≧ 2.5719306, f(log(c))≧-4/3, f(log(d))≧-4/3,
により成立。
0237１３２人目の素数さん
2011/03/22(火) 06:15:56.83Problem 365.
http://www.math.ust.hk/excalibur/v15_n4.pdf
0238１３２人目の素数さん
2011/03/22(火) 06:18:57.91http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
0239１３２人目の素数さん
2011/03/25(金) 23:48:58.94Problem 365.
負でない実数 a,b,c が ab+bc+ca = 1 を満たすとき、
1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) - 1/(a+b+c) ≧ 2,
を示せ。
0240１３２人目の素数さん
2011/03/26(土) 01:40:10.75俺もこれが面白いと思った
まだ解けぬ～
0241１３２人目の素数さん
2011/03/27(日) 23:30:24.83附帯条件から考えて、a→cotα, b→cotβ, c→cotγ と置いてみる･･･
α+β+γ = π より,
(左辺) = 1/(cotα+cotβ) + 1/(cotβ+cotγ) + 1/(cotγ+cotα) - 1/(cotα+cotβ+cotγ)
= (sinα･sinβ)/sin(α+β) + (sinβ･sinγ)/sin(β+γ) + (sinγ･sinα)/sin(γ+α) - (sinα･sinβ･sinγ)/(1-cosα･cosβ･cosγ)
= (sinα･sinβ)/sinγ + (sinβ･sinγ)/sinα + (sinγ･sinα)/sinβ -2(sinα･sinβ･sinγ)/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]
= (sinα･sinβ･sinγ){(1/sinα)^2 + (1/sinβ)^2 + (1/sinγ)^2 - 2/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]}
= 2⊿･{(1/a')^2 + (1/b')^2 + (1/c')^2 -2/[(a')^2 + (b')^2 + (c')^2]}
= ････
ここに、 a'=2R･sinα, b'=2R･sinβ, c'=2R･sinγ, ⊿ = 2R^2･sinα･sinβ･sinγ,
まだ解けぬるぽ～
0242１３２人目の素数さん
2011/03/28(月) 07:26:05.27=1/x+y+z*(z/x+y+x/y+z+y/z+x)+2/x+y+z
>=1/x+y+z*(x+y+z)^2/2(xy+yz+zx)+2/x+y+z
=x+y+z/2+2/x+y+z>=2 Q.E.D.
0243１３２人目の素数さん
2011/03/28(月) 08:37:32.00エスパー検定３級の俺には、どれが分母なのか読み取れねぇ・・・
0244１３２人目の素数さん
2011/03/28(月) 09:52:08.742行目から3行目に何を使ったのか分からない
1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 1/(x+y+z)
= 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 3/(x+y+z) + 2/(x+y+z)
1/(x+y+z)で括る
= {1/(x+y+z)}*{(x+y+z)/(x+y) + (x+y+z)/(y+z) + (x+y+z)/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{1 + z/(x+y) + 1 + x/(y+z) + 1 + y/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
後は頼んだ>243
0245243
2011/03/28(月) 10:52:27.443(x^2 + y^2 + z^2) - (x+y+z)^2 = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 ≧ 0
∴(x^2 + y^2 + z^2) ≧ (1/3)*(x+y+z)^2
z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)
＝ z^2/(zx+yz) + x^2/(xy+zx) + y^2/(yz+xy)
≧ z^2/(xy+yz+zx) + x^2/(xy+yz+zx) + y^2/(xy+yz+zx)
＝ (x^2 + y^2 + z^2)
≧ (1/3)*(x+y+z)^2
>>242の４行目から
＝ {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
≧ (x+y+z)/3 + 2/(x+y+z)
≧ 2√(2/3)
うむ、失敗したようじゃ…
0247１３２人目の素数さん
2011/03/29(火) 02:54:50.22鋭角△に限定しなければならぬ～
(a')^2 + (b')^2 ≧ (c')^2, etc.
0248１３２人目の素数さん
2011/04/03(日) 15:07:21.35M1852.
f∈ C^1([0,1]) で f(0) = f(1) = -1/6. のとき次を示せ。
∫[0,1] {f '(x)}^2 dx ≧ 2∫[0,1] f(x) dx + 1/4,
0249１３２人目の素数さん
2011/04/03(日) 15:38:26.07部分積分により
(右辺) = 2[ (x - 1/2)f(x) ](x=0,1) -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x)dx + 1/4
= f(0) + f(1) + 1/4 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx
= -1/12 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx,
∫[0,1] (x - 1/2)^2 dx = [ (1/3)(x - 1/2)^3 ](x=0,1) = 1/12,
よって
(左辺) - (右辺) = ∫[0,1] {f '(x) + (x - 1/2)}^2 dx ≧ 0,
0250１３２人目の素数さん
2011/04/03(日) 15:43:12.09x - 1/2 という発想はどこから？
0251１３２人目の素数さん
2011/04/03(日) 18:18:19.82C925.
f ∈ Ｃ^2([0,1]) で
∫[0,1] f(x)dx = 2∫[1/4,3/4] f(x)dx,
のとき、f "(x0) =0 を満たす点 x0 ∈ (0,1) が存在することを示せ。
C932.
f : [0,1] → Ｒ は連続関数
∫[0,1] {f(x)}^3 dx = 0,
のとき、次を示せ。
∫[0,1] {f(x)}^4 dx ≧ (27/4){∫[0,1] f(x)dx}^4,
C944.
f ∈ Ｃ^1([0,1])
∫[0,1] f(x) dx = 0,
A ≦ f '(x) ≦ B x∈[0,1]
のとき、次を示せ。
A ≦ 12∫[0,1] x･f(x)dx ≦ B,
0252１３２人目の素数さん
2011/04/03(日) 18:49:37.86C925.
(左辺) - (右辺)
= ∫[0,1/4] f(x)dx - ∫[1/4,1/2] f(x)dx - ∫[1/2,3/4] f(x)dx + ∫[3/4,1] f(x)dx
= ∫[0,1/4] {f(x) -f(x+1/4) -f(x+1/2) +f(x+3/4)} dx
= ∫[0,1/4] g(x) dx
平均値の定理より
= (1/4)g(a) (0<a<1/4)
= (1/4){f(a) -f(a+1/4) -f(a+1/2) +f(a+3/4)}
= (1/16){f '(b) - f '(c)} (a<b<a+1/4, a+1/2<c<a+3/4)
= (1/16)(b-c)f "(x0), (b<x0<c)
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