不等式への招待 第５章
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
0001不等式ヲタ
2010/10/24(日) 23:56:56＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
過去スレのミラー置き場：http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
0002不等式ヲタ
2010/10/24(日) 23:58:46http://amazon.co.jp/o/ASIN/4431710566
[2] 不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3] 不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
[4] 不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
http://amazon.co.jp/o/ASIN/4627010494
[5] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
http://amazon.co.jp/o/ASIN/4627075812
[6] 不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
http://amazon.co.jp/o/ASIN/4894281740
[7] 数理科学 No.386 特集「現代の不等式」，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[8] 数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
http://amazon.co.jp/o/ASIN/4316801988
[9] 数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店、2001年
http://amazon.co.jp/o/ASIN/4254110871
[10] The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
http://amazon.co.jp/o/ASIN/052154677X
[11] 数学セミナー 2009年 02月号，日本評論社，2009年
http://www.amazon.co.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8
[12] 大学への数学 2009年4月号-2010年3月号，東京出版
連載 「不等式の骨組み」 、栗田哲也、全12回、各4ページ
[13] Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
http://amazon.jp/dp/3034600496
0003不等式ヲタ
2010/10/24(日) 23:59:53[1] RGMIA http://rgmia.vu.edu.au/
[2] Crux Mathematicorum Synopses http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3] Maths problems http://www.kalva.demon.co.uk/
[4] Mathematical Inequalities & Applications http://www.ele-math.com/
[5] American Mathematical Monthly http://www.maa.org/pubs/monthly.html
[6] Problems in the points contest of KoMaL http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7] IMO リンク集 http://imo.math.ca/
[9] Mathematical Olympiads Correspondence Program http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10] Mathematical Excalibur http://www.math.ust.hk/excalibur/
[11] MathLinks Contest http://www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12] MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_s... (要自動登録)
[13] Wolfram MathWorld http://mathworld.wolfram.com/
[14] GRA20 Problem Solving Group http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.htm...
[15] American Mathematical Monthly Problems http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
[16] Journal of Inequalities and Applications http://www.hindawi.com/journals/jia/
海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics http://jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal http://www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html
0004不等式ヲタ
2010/10/25(月) 00:03:24姉妹サイト（？）に付け忘れました
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
∧＿∧
（´Д｀ ） 死んでお詫びを…
/ y/ ヽ
Σ(m)二フ ⊂[_ノ
（ノノノ | | | l ）
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
0005１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 00:11:20M1854、M1852、C934、C932 に(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
0006１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 04:04:00〔M1852.〕
f∈C^1([0,1]) で f(0) = f(1) = -1/6 とする。次を示せ。
∫[0,1] {f '(x)}^2 dx ≧ 2∫[0,1] f(x)dx + (1/4),
等号は f(x) = (1/2)x(1-x) - 1/6. (Cezar Lupu e Tudorel Lupu (Romania))
〔C934.〕
n個の辺からなる多角形を考え、その半周をsとおく。次を示せ。
農[1≦i<j≦n] (a_i)^2･(a_j)^2／{(a_i)^2 + (a_j)^2} ≦ {(n-1)/(n-2)^2}納k=1,n] (s-a_k)^2,
ここに、a_1, a_2, ……, a_n はn個の辺の長さ。(Jose Luis Diaz-Barrero (Spagna))
〔C932.〕
f:[0,1]→R は連続函数で ∫[0,1] {f(x)}^3 dx =0 とする。次を示せ。
∫[0,1] {f(x)}^4 dx ≧ (27/4){∫[0,1] f(x)dx}^4,
(Cezar Lupu e Tudorel Lupu (Romania))
http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
0007１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 10:01:52文献[3] 不等式への招待 のP.145 あたりを参考に考えたが…
0008１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 10:31:360009猫は火病 ◆MuKUnGPXAY
2010/10/27(水) 16:03:540010１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 23:33:420<a[1]<a[2]<…<a[n]
0<b[1]<b[2]<…<b[n]
a[1]=b[1],a[n]=b[n]
を満たすとき
Σ[i=1~n]a[i]≧Σ[i=1~n]b[i]
0011１３２人目の素数さん
2010/10/28(木) 00:06:26ak=(bn-b1)(k-1)/n+b1
0012１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 14:42:03. (n-k)個、 (k-1)個
a[k] =（a[1],…,a[1], a[n],…,a[n] の相加平均）
b[k] =（b[1],…,b[1], b[n],…,b[n] の相乗平均）
∴ a[k] ≧ b[k],
ぬるぽ
0013１３２人目の素数さん
2010/11/01(月) 10:58:38それを証明できそうになくても
フリーザやセルにボコられる前の
悟空のようにワクテカしてしまいます
0014１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 21:15:33a,b,cを三角形の三辺の長さとするとき
(a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+ca)
のとりうる値の範囲を求めよ
0015１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 21:39:24Aはxy平面上のx^2+y^2=1を動き
Bはyz平面上のy^2+z^2=1を動き
Cはzx平面上のz^2+x^2=1を動くとき
AB^2+BC^2+CA^2のとりうる値の範囲を求めよ
0016１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 21:41:56どちらも解けそうですな。
0017１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 21:57:04B=(0,y,(1-y^2)^.5)
C=((1-z^2)^.5,0,z)
f=AB^2+BC^2+CA^2
fx=fy=fz=0
0018１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 22:26:34(x,y,z)=(0+/-1,0+/-1,0+/-1)
0019１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 22:29:580020１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 22:41:370021１３２人目の素数さん
2010/11/03(水) 02:36:011 ≦ (与式) < 2,
(a^2 +b^2 +c^2) - (ab+bc+ca) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,
等号成立は a=b=c (正三角形)。
2(ab+bc+ca) - (a^2 +b^2 +c^2) = (2ab -a^2 -b^2 +c^2) + (2bc -b^2 -c^2 +a^2) + (2ca - a^2 -c^2 +b^2)
= { -(a-b)^2 + c^2} + { -(b-c)^2 + a^2) + { -(c-a)^2 + b^2}
= (-a+b+c)(a-b+c) + (-b+c+a)(b-c+a) + (-c+a+b)(c-a+b)
> 0,
あるいは >>16 にしたがって
2(ab+bc+ca) - (a^2 +b^2 +c^2) = (2ab -a^2 -b^2 +c^2) + (2bc -b^2 -c^2 +a^2) + (2ca - a^2 -c^2 +b^2)
> {2ab･cos(C) -a^2 -b^2 +c^2} + {2bc･cos(A) -b^2 -c^2 +a^2} + {2ca･cos(B) -a^2 -c^2 +b^2}
= 0,
等号成立は一辺が → 0 のとき。
0022１３２人目の素数さん
2010/11/03(水) 04:19:14〔C934.〕
(a_i)^2 + (a_j)^2 - 2a_i･a_j = (a_i-a_j)^2 ≧ 0,
より
(左辺) ≦ (1/2)納1≦i<j≦n] a_i･a_j ≦ {(n-1)/n}s^2, (*)
納k=1,n] (s-a_k)^2 = 納k=1,n] {s^2 -2s･a_k + (a_k)^2}
= (n-4)s^2 + 納k=1,n] (a_k)^2
≧ (n-4)s^2 + (4/n)s^2 (**)
= (1/n)(n-2)^2･s^2,
∴ (右辺) ≦ {(n-1)/n}s^2,
n辺多角形でなくても成立つ希ガス。
---------------------------------------------------
〔補題〕 ⊿ = 納1≦i,j≦n] (a_i-a_j)^2 ≧ 0, より
(*) 納1≦i<j≦n] a_i･a_j = {2(n-1)/n}s^2 - (1/2n)⊿ ≦ {2(n-1)/n}s^2,
(**) 納k=1,n] (a_k)^2 = (4/n)s^2 + (1/n)⊿ ≧ (4/n)s^2,
0023１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 23:59:21∫[0,1] {f'(x)}^2･dx ≧∫[0,1] {f(x)}^2 を示せ
〔M1852.〕と似てる
0024１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 01:08:45〔Wirtingerの不等式〕
f(x), f '(x) が [0,1] で連続のとき
∫[0,1] {f'(x)}^2･dx ≧ (π^2)∫[0,1] {f(x)}^2 dx,
等号成立は f(x) = c･sin(πx) のとき。
f(x) を sine級数でフーリエ展開して
f(x) = 納k=1,∞) b_k sin(kπx),
とおく。
(右辺) = (π^2)納k=1,∞) (1/2)(b_k)^2,
f '(x) = π納k=1,∞) k･b_k cos(kπx),
(左辺) = (π^2) 納k=1,∞) (1/2)(k･b_k)^2,
0025１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 18:20:11初等的証明
f(0)=0 より f(x)=∫_[0,x] f'(t) dt と書ける．
Schwarzの不等式とHo"lderの不等式より，
|f(x)|≦ ∫_[0,x] |f'(t) | dt
≦ { ∫_[0,x] 1^2 dt }^{1/2}・{∫_[0,x] |f' (t)|^2 dt}^{1/2}.
両辺自乗すれば，
|f(x)|^2 ≦ x ∫_[0,x] |f' (t)|^2 dt．
よって，x について 0 →1まで積分すれば，
∫_[0,1] |f(x)|^2 dx ≦ ∫_[0,1] x { ∫_[0,x] |f' (t)|^2 dt } dx.
ここで、右辺を部分積分すれば，
右辺 = [ x^2/2・∫_[0,x] |f' (t)|^2 dt ]_[x=0]^1 - ∫_[0,1] x^2/2・|f' (x)|^2 dx
= 1/2 ・∫_[0,1] |f' (t)|^2 dt - - ∫_[0,1] x^2/2・|f' (x)|^2 dx
= 1/2 ・∫_[0,1] (1-x^2) |f' (x)|^2 dx
≦1/2 ・∫_[0,1] |f' (x)|^2 dx
≦∫_[0,1] |f' (x)|^2 dx
よって、
∫_[0,1] |f(x)|^2 dx ≦ ∫_[0,1] |f' (x)|^2 dx
が証明できた。
0026１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 19:08:21すっげー、ネ申！
0027じゅー
2010/11/19(金) 00:53:54正の実数a,b,cに対し次を満たす最大の実数kを求めよ。
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2
≧k(ab+bc+ca)^3
できれば解き方も書いてほしいです。
非対称な部分の処理の仕方がわからないので教えて下さいって意味も込めて。
0028１３２人目の素数さん
2010/11/19(金) 13:47:120029１３２人目の素数さん
2010/11/21(日) 19:41:21基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, とおくと、
(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ⊿,
非対称な部分 (a-b)(b-c)(c-a) = ⊿ は正にも負にもなり得るので、
絶対値を押さえます。
〔補題〕 |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
詳細は [第３章.727, 737-739] へ。ミーラ置き場にあります...
0030１３２人目の素数さん
2010/11/21(日) 19:48:23序でに解き方も書いておこう。
(a+2b)(b+2c)(c+2a) - (3t)^(3/2)
= 3st + ⊿ - 3t√(3t)
= 3t{s-√(3t)} + ⊿
≧ (3t/2s)(s^2 -3t) - |⊿| (← *)
≧ (3/2 - 2/√3)(s^2 -3t) (←補題)
≧ 0, (← **)
*) s-√(3t) = (s^2 -3t)/{s+√(3t)} ≧ (s^2 -3t)/2s,
〔補題〕 |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、 |⊿| = xy(x+y), s = 3m+2x+y, t = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y), s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
∴ t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿| = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2 ≧0,
等号成立は m=0 かつ x/y = (√3 -1)/2 のとき。
**) s^2 -3t = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,
0031じゅー
2010/11/22(月) 00:16:47まず(a-b)(b-c)(c-a)を作るんですか??
あとは最小値とかを与えて計算??
|⊿|=xy(x+y)となるのは面白いですね。
0032１３２人目の素数さん
2010/11/27(土) 23:50:59f は区間 (a,b) (a<b) で C^2 級関数であるとき、
∫_[a,b] |f′(x) |dx ≦ 54{ 1/(b-a)^2 ∫_[a,b] |f(x)|^2 dx
+ (b-a)^2∫_[a,b] |f" (x)|^2 dx }
が成立することを示せ。
0033１３２人目の素数さん
2010/12/02(木) 22:54:21〔問題〕
a[1],a[2],･･･,a[n]≧0
納k=1,n] a[k] = S のとき 次を示せ。
(1) 納k=1,n] a[k]^2 ≧ (1/n)S^2,
(2) 納k=1,n-1] a[k]a[k+1] ≦ (1/4)S^2,
0034１３２人目の素数さん
2010/12/06(月) 20:57:07(3) 納k=1,n-2] a[k]a[k+1]a[k+2] ≦ (S/3)^3,
(4) 納k=1,n-3] a[k]a[k+1]a[k+2]a[k+3] ≦ (S/4)^4,
… …
0035１３２人目の素数さん
2010/12/06(月) 23:51:02（１）シュワルツの不等式より、
Ｓ＝納k=1,n] 1・a[k] ≦ { 納k=1,n] 1^2 }^{1/2}・{ 納k=1,n] a[k]^2 }^{1/2} ＝ {ｎ}^{1/2}・{ 納k=1,n] a[k]^2 }^{1/2}．
よって，
Ｓ^2 ≦ n 納k=1,n] a[k]^2
が証明された。
0036１３２人目の素数さん
2010/12/09(木) 03:54:32フェルマー予想やポアカレ予想のような、不等式界における大予想、大問題
というのを知りたいね。
ついでに、このスレでチャレンジしてみるのも面白そう。
不等式の大予想、２ちゃんねるスレで解ける！
みたいに…
どこかの本や問題集からの問題はやる気が失せる。
0037１３２人目の素数さん
2010/12/09(木) 03:58:53なんか良い文献ないかなあ
0038１３２人目の素数さん
2010/12/09(木) 05:43:22[Ramanujan Book]
ha dou??
0039１３２人目の素数さん
2010/12/09(木) 10:04:330040１３２人目の素数さん
2010/12/09(木) 22:03:35巡回和関係の不等式は見かけは簡単でも、未解決なのが結構あるそうだ。
Shapiroの巡回不等式もこの10年数年に解けたそうな。
（大関本ではまだ未解決になっている）
0041１３２人目の素数さん
2010/12/09(木) 22:07:06Nsbittの不等式の一般化が Shapiroの巡回不等式。
だから現在では解決済み。
0042１３２人目の素数さん
2010/12/09(木) 22:18:31http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/nesbitt.htm
http://olympiads.mccme.ru/lktg/2010/5/5-1en.pdf
0043１３２人目の素数さん
2010/12/11(土) 15:07:40思わずフルボッキしてしまった！
0044１３２人目の素数さん
2010/12/12(日) 05:14:43〔補題’〕a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ 2{s-√(3t)}t,
等号成立は m=0 かつ x/y = 1/2 のとき。
0045１３２人目の素数さん
2010/12/12(日) 06:08:01http://mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html
なお、λ = 1/3 としたものが [初代スレ.501] にある。
0046１３２人目の素数さん
2010/12/25(土) 18:03:310047１３２人目の素数さん
2010/12/30(木) 19:09:27A=(a_[ij]) を複素n次正方行列とし α_1,,, α_n を A の固有値（重複度込み）とする。
このとき、次の不等式を示せ。
農[k=1,,n] |α_k|^2 ≦ 農[i,j=1,,,n] |a_[ij]|^2
また等号が成立するための必要十分条件は A が正規行列（A^* A = A A^*）である。
0048１３２人目の素数さん
2010/12/30(木) 19:13:47この不等式は「Shurの不等式」と呼ばれ線型代数の本などに載っていますが、
不等式の部分だけでも線型代数を使わない証明をして欲しいです。
0049１３２人目の素数さん
2011/01/03(月) 02:32:47自然数nに対して、
Ｉ_n = ∫[0,(2n+1)π] {x･sin(x)/[n + sin(x)^2]} dx とおく。
(2n+1)π/(n+1) < I_n < (2n+1)π/n を示せ。
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1089455158/961-965
casphy - 高校数学 －修羅の刻－【難問】
0050１３２人目の素数さん
2011/01/06(木) 23:40:15不等式 s(1-a)-tb>0
-sc＋t(1-d)>0
を同時に満たす正の数s、tがあるとき、
2次方程式x^2-(a＋d)x＋(ad-bc)=0は-1<x<1の範囲に異なる2つの実数解をもつことを示せ。
0051１３２人目の素数さん
2011/01/09(日) 06:31:06f(x) = x^2 -(a+d)x +(ad-bc), とおく。
判別式 D = (a+d)^2 -4(ad-bc) = (a-d)^2 +4bc > 0,
より、異なる2つの実数解をもつ。
f((a+d)/2) = －(1/4)(a-d)^2 -bc < 0,
また、題意より
0 < a,d < 1,
1-a > (t/s)b > 0,
1-d > (s/t)c > 0,
∴ f(1) = (1-a)(1-d) -bc > 0,
f(a+d-1) = f(1) > 0,
∴ ２実数解は a+d-1<x<(a+d)/2, および (a+d)/2<x<1 の範囲にある。
0052１３２人目の素数さん
2011/01/09(日) 14:17:45P352など
二 ｀丶、｀丶、_＼__＼〉ﾉﾉへ!
`‐-、 二. ｀ヽ、 ミ￣ ／⌒ｼ′）
二‐/,ｨ┐|=ミ=┘ ,r‐'_二ﾆ....イ
‐ニ| i＜ ｉ ,..-=ﾆ‐''＼ /彡} http://www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf
二‐ヽ ┘ ｜ lヾ. } } / /リ
ﾆ ‐'"/ / |_{;)} ﾚ' /(（ Problem352などを見ると・・・・・
' / / '" ` `ﾞ / ｿ
/ , Ｆ'′/ なんていうか･･････その･･･
ヽ. ＼、 L`___l
＿＼ ヽ._>┘ 下品なんですが･･････フフ･････
／了＼＿ノ
◆（ 勃起･･････しちゃいましてね･････････
門｜
0053１３２人目の素数さん
2011/01/10(月) 11:49:13〔Problem 352.〕
a,b,c>0, abc≧1 のとき
a/{√(bc)+1} + b/{√(ca)+1} + c/{√(ab)+1} ≧ 3/2,
(P.H.O.Pantoja による)
Math. Excalibur, Vol.15, No.3, 2010/Oct.-Dec.
0054１３２人目の素数さん
2011/01/10(月) 11:53:48abc =k とおく。
(左辺) = a^(3/2)/(√k + √a) + b^(3/2)/(√k + √b) + c^(3/2)/(√k + √c)
= F(a) + F(b) + F(c),
ここに
F(x) = x^(3/2)／(√k + √x) = x - √(kx) +k -(k√k)/(√k + √x),
F '(x) = {3√(kx) + 2x}／{2(√k +√x)^2} > 0, (単調増加)
F "(x) = {√k + (3/√x)}／{4(√k + √x)]^3} > 0, (下に凸)
よって
(左辺) > 3F((a+b+c)/3) (← Fは下に凸)
> 3F(k^(1/3)) (← 相加･相乗平均)
= 3(√k)／{√k + k^(1/6)}
> 3/2, (← k≧1)
0055１３２人目の素数さん
2011/01/10(月) 12:16:29〔Problem 357.〕
正の整数nに対し、次を満たす4整数 a,b,c,d が存在しないことを示せ。
ad = bc,
n^2 < a < b < c < d < (n+1)^2,
〔Problem 359.〕
次を満たすすべての実数(x,y,z)を求む。
x+y+z ≧ 3,
x^3+y^3+z^3 + x^4+y^4+z^4 ≦ 2(x^2+y^2+z^2),
(M.Bataille による)
http://www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf
Excalibur, Vol.15, No.3, 2010/Oct-Dec
0056１３２人目の素数さん
2011/01/11(火) 21:32:52P.359.
x^4 + x^3 - 2x^2 = (x^2 +3x +3)(x-1)^2 + 3(x-1) ≧ 3(x-1),
等号成立は x=1 のとき。
∴ (左辺) - (右辺) ≧ 3(x+y+z-3) ≧ 0,
∴ 題意の不等式が成立するのは (x,y,z)=(1,1,1) のみ。
0057１３２人目の素数さん
2011/01/12(水) 21:00:00０≦ａ。
ｂ＝（ｎ－ｍ）ａ／（ｎ－１）。
ｃ＝（ｍ－１）ａ／（ｎ－１）。
ａ＝ｂ＋ｃ。
ｍａ＝ｂ＋ｎｃ。
ａ／ｍ≦ｂ＋ｃ／ｎ。
（ｘ＋ｎ（１－ｘ））（ｘ＋（１－ｘ）／ｎ）＾２
＝（２ｎ－２（ｎ－１）ｘ）（１＋（ｎ－１）ｘ）＾２／２ｎ＾２
≦（（２ｎ＋２）／３）＾３／２ｎ＾２
＝４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２。
0058１３２人目の素数さん
2011/01/14(金) 00:12:11〔問題〕
nを自然数、 0≦x≦1 を実数とするとき、
{x + n(1-x)}{x + (1-x)/n}^2 の最大値を求めよ。
hint:
{x+n(1-x), [nx+(1-x)]/2, [nx+(1-x)]/2} の相加平均は (n+1)/3,
0059１３２人目の素数さん
2011/01/14(金) 05:00:00（ｉ－１）（ｉ－ｎ）≦０。
ｎ≦ｉ（ｎ＋１－ｉ）。
１／ｉ≦（ｎ＋１－ｉ）／ｎ。
Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
≦Σ（ｉａ（ｉ））Σ（（（ｎ＋１－ｉ）／ｎ）ａ（ｉ））＾２
＝Σ（ｉａ（ｉ））（（（ｎ＋１）／ｎ）Σ（ａ（ｉ））－（１／ｎ）Σ（ｉａ（ｉ）））＾２
≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。
0060１３２人目の素数さん
2011/01/16(日) 05:00:00≦Σ（（ｎ＋１－ｎ／ｉ）ａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
＝（（ｎ＋１）Σ（ａ（ｉ））－ｎΣ（ａ（ｉ）／ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。
0061１３２人目の素数さん
2011/01/16(日) 08:21:59http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287678220/238 ,368
数オリスレ２０
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1289917753/285-311
初等整数論の問題２
0062１３２人目の素数さん
2011/01/18(火) 22:52:050063１３２人目の素数さん
2011/01/18(火) 23:01:47成り立たねーぞボケ
0064１３２人目の素数さん
2011/01/19(水) 01:21:33ﾆﾔﾆﾔ…
0065１３２人目の素数さん
2011/01/19(水) 02:34:17x^p+t^p*x^p-(1+t)^p*x^p
=x^p*(1+t^p-(1+t)^p)
>0
0066１３２人目の素数さん
2011/01/19(水) 02:41:070067１３２人目の素数さん
2011/01/19(水) 05:52:11私の粗末なコレクションを検索したところ、似たようなものがあった。
[1997早稲田大]-----------------------------------------------------------
x、yを任意の正の数とし、p、qを 1/p + 1/q = 1 かつ p>1、q>1 をみたす有理数とする。
(1) (x+y)^2 ≦ px^2 + qy^2 を示せ
(2) (x+y)^(1/p) < x^(1/p) + y^(1/p) を示せ
-------------------------------------------------------------------------
これって、有理数という縛りは必要なのかな？ 不等式( ﾟ∀ﾟ)ﾊｧﾊｧ…
0068１３２人目の素数さん
2011/01/19(水) 05:54:570069１３２人目の素数さん
2011/01/19(水) 07:18:390070１３２人目の素数さん
2011/01/19(水) 07:57:18>>66
口が悪いな、直したほうがいい
0071 ◆LANDAUL/nY
2011/01/19(水) 09:46:331+t^p-(1+t)^p>0の証明は
f(t)とおいてp<1なのでf'(t)<0だから
lim_{t→∞}f(t)>0
ということかな?
(x^p+y^p)^(1/p)>x+y
を示す
x≧yとする
(x^p+y^p)^(1/p)≧(x^p+x^p)^(1/p)=2^(1/p)*x>2x=x+x≧x+y
0072１３２人目の素数さん
2011/01/19(水) 10:07:520073 ◆LANDAUL/nY
2011/01/19(水) 10:13:110074１３２人目の素数さん
2011/01/19(水) 11:02:41x^p+y^p≦2*((x+y)/2)^p
(x^p+y^p)^(1/p)≦2^(p-1)*(x+y)
(x^p+y^p)^(1/p)<x+y
0075１３２人目の素数さん
2011/01/19(水) 22:23:250076１３２人目の素数さん
2011/01/19(水) 22:54:191-p > 0,
x^p = x/{x^(1-p)} > x/(x+y)^(1-p),
y^p = y/{y^(1-p)} > y/(x+y)^(1-p),
辺々たす。 (終)
>>67
(1) 題意より (p-1)(q-1) = 1,
px^2 + qy^2 - (x+y)^2 = {x√(p-1) - y√(q-1)}^2 ≧ 0,
(2) 上と同様。ただし p ⇔ 1/p
0077１３２人目の素数さん
2011/01/23(日) 06:27:07(x+y)^(1/p)*(x+y)^(1/q)
= (x+y)^(1/p + 1/q)
= x+y
= x^(1/p + 1/q) + y^(1/p + 1/q)
= x^(1/p)*x^(1/q) + y^(1/p)*y^(1/q)
< x^(1/p)*(x+y)^(1/q) + y^(1/p)*(x+y)^(1/q)
= {x^(1/p) + y^(1/p)}*(x+y)^(1/q)
両辺を (x+y)^(1/q) で割って (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
0078１３２人目の素数さん
2011/01/28(金) 09:21:02(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) のとりうる値の範囲を求めよ
0079１３２人目の素数さん
2011/01/28(金) 11:10:191 ≦ (a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) < 2,
(右側)
(a^2 + b^2 + c^2) - (ab+bc+ca) = (1/2)(a-b)^2 + (1/2)(b-c)^2 + (1/2)(c-a)^2 ≧ 0,
等号成立は a=b=c (正三角形)
(左側)
2(ab+bc+ca) - (a^2 + b^2 + c^2) = a(b+c-a) + b(c+a-b) + c(a+b-c) > 0,
0080１３２人目の素数さん
2011/01/28(金) 11:56:40すっきりした証明ですね、(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
0081１３２人目の素数さん
2011/01/28(金) 12:16:142011年度 東工大特別入試 第2問 [大学への数学2011年1月号P.P.56-57]
雑誌の模範解答は、３通り
（解１）
a+b+c = 2k を固定し、ab+bc+ca = t とおくと、
(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) = 4k^2/t - 2
だから、tのとりうる値を考える
三角形の成立条件から、a<k、b<k、a+b<k なので、
aを 0<a<s の範囲で固定して、k-a < b < s の範囲で、
t = - { b - (2k-a)/2 }^2 -3a^2/4 + ka + k^2
のとりうる値の範囲を求める
（解２）
x=b+c-a、y=c+a-b、z=a+b-c とおくと、x、y、z>0で
(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) = (2/3){1 + 2/(1+3u)}
ただし、u = (xy+yz+zx)/(x^2 + y^2 + z^2)
uのとりうる値の範囲を考える
（解３）
a≦b≦cと設定して、cの関数とみて微分
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
0082１３２人目の素数さん
2011/01/28(金) 19:29:45b+c=k固定で動かした記憶
0083１３２人目の素数さん
2011/01/28(金) 22:46:10久しぶりに（気のせいか）上に上がってきたな
sageなかったのか？
0084１３２人目の素数さん
2011/01/28(金) 23:10:08お前と、82が上げたんだろうが！
0085１３２人目の素数さん
2011/01/28(金) 23:18:330086Fランク受験生
2011/01/29(土) 03:13:19きれいなやりかたですね。
すこしきになるのは(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca)のとりうる範囲が[1,2]
の中間の値を全部とるというのはどこで証明しているのでしょうか？
0087１３２人目の素数さん
2011/01/29(土) 03:49:19・投稿者は、投稿に関して発生する責任が全て投稿者に帰すことを承諾します。
・投稿者は、話題と無関係な広告の投稿に関して、
相応の費用を支払うことを承諾します
・投稿者は、投稿された内容及びこれに含まれる知的財産権、
（著作権法第21条ないし第28条に規定される権利も含む）その他の権利につき
（第三者に対して再許諾する権利を含みます。）、掲示板運営者に対し、
無償で譲渡することを承諾します。ただし、投稿が別に定める削除ガイドラインに該当する場合、
投稿に関する知的財産権その他の権利、義務は一定期間投稿者に留保されます。
・掲示板運営者は、投稿者に対して日本国内外において無償で非独占的に複製、
公衆送信、頒布及び翻訳する権利を投稿者に許諾します。
また、投稿者は掲示板運営者が指定する第三者に対して、
一切の権利（第三者に対して再許諾する権利を含みます）を許諾しないことを承諾します。
・投稿者は、掲示板運営者あるいはその指定する者に対して、
著作者人格権を一切行使しないことを承諾します。
008879
2011/01/29(土) 04:17:32(a,b,c) = (1,1,c) とし、cを (0,1] で連続的に変化させてみる。
比の値がr (1≦r<2) となるのは c=r-√{(r-1)(r+2)} のとき。
0089１３２人目の素数さん
2011/01/29(土) 04:24:56を証明すればいいんだけど、。。。
とちゅうでギャップが無いという保証がいる。
あたりまえであるようであまり意識しないもんだね。 一応多変数だからね
0091１３２人目の素数さん
2011/01/29(土) 07:43:42何が言いたい？
0092１３２人目の素数さん
2011/01/29(土) 12:32:18無能は黙ってＲＯＭってろ！
0093１３２人目の素数さん
2011/01/29(土) 16:15:09r = (1+1+c^2)/(1+c+c) = 1 + (3/4){(1+2c)/3 + 3/(1+2c) - 2}
どう見ても連続････
0094１３２人目の素数さん
2011/01/29(土) 16:25:14平均点はいくらぐらいなの？
0095１３２人目の素数さん
2011/01/29(土) 17:20:31Let define f(a,b,c)＝(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca)
let define ff(a,b,t)=f(a,b,(a^2+b^2-2 ab cos(t))^(1/2))
let define fff(s,t)=ff(1,s,t) for 0<t<Pi, 1>= s >=0:from symmetry
and d(fff(s,t)z)/ds=(s-1){ ..positive...}==>monotone decreasing for s in [0,1] (for every t)
so
fff[1,t]={2+2-2cos(t)}/{1+2(2-2cos(t))^(1/2)}=(2+u^2)/(1+2u) here u=(2-2cos(t))^(1/2)
g[u]=(2+u^2)/(1+2u) for 0<u<4
Easily we get 2=g[4]=g[0]>g[u]>=g[1]=1
And fff[0,t]=2
The answer is [1,2]
0096１３２人目の素数さん
2011/01/29(土) 17:26:450097１３２人目の素数さん
2011/01/29(土) 18:24:05r = (1+1+c^2)/(1+c+c) = 1 + (1-c)^2 /(1+2c),
でも同じだが･････
0098１３２人目の素数さん
2011/01/29(土) 19:12:30って普通の入試と違うの？
0099１３２人目の素数さん
2011/01/29(土) 20:04:17よう知らんが、センター試験より前に試験があったようだ
0100１３２人目の素数さん
2011/01/29(土) 20:48:590101１３２人目の素数さん
2011/01/29(土) 21:09:560102１３２人目の素数さん
2011/01/29(土) 21:14:02A, B を実 n 次の正定値対称行列とするとき、次の不等式を示せ。
det ( (A+B)/2 ) ≧ { detA ・det B }^{1/2}
0103１３２人目の素数さん
2011/01/29(土) 22:29:52こういう線形代数と微積分が合わさったような話題ってどんな本が詳しいですか？
線形代数も微積分も教養でやるけど、この手の話題って面白そうだけど意外と講義や演習でもやらない気がします。
行列の先の話題としてリー群の本は多いんですけど、書いて無いですよね。
0104１３２人目の素数さん
2011/01/29(土) 23:46:50102って相加相乗の拡張ぽいけど。
0105１３２人目の素数さん
2011/01/30(日) 00:13:22斎藤の線形代数演習
0106１３２人目の素数さん
2011/01/30(日) 01:22:49Q1=tx.A.x>0
Q2=tx.B. x>0 ｘはn次元ヴェクター
A または Bのいづれかが、正定あれば、（Aとする）
適当な T 正則マトリクス,が存在して
線形変換ｘ＝Tｙにより
Q1=ty.E.ty
Q2=ty.L.y ：L=対角マトリクス：Bも正定だからL>0
((Q1+Q2)/2)^2=(ty((E+L)/2)y)^2 =Sigma{i}(yi^2(1+Li))^2
Q1Q2=ty.y.ty.L.y=Sigma{i}yiLi
Sigma{i}(yi^2(1+Li))^2 >= Sigma{i}yi^2Li
これから
(Det(E+L)/2)^2>=Det(E)Det(L)
つまり
Det(A+B)/2>=(Det(A)Det(B))^(1/2)
0107１３２人目の素数さん
2011/01/30(日) 01:41:14(x^3+y^3+z^3)^4≧(x^4+y^4+z^4)^3
0108１３２人目の素数さん
2011/01/30(日) 04:42:21x^4 =X, y^4 =Y, z^4 =Z, 3/4 =p とおくと、与式は
X^p + Y^p + Z^p ≧ (X+Y+Z)^p,
これは >>67 (2) の形だから、>>76 と同様にして示せる。
0109１３２人目の素数さん
2011/01/30(日) 04:50:57下らんごくごく普通の関数解析の本に、そのような話題は嫌というほど載っている。
もはやそれらは楽しいリー群(位相群)やフーリエ解析などに昇華されている。
0110１３２人目の素数さん
2011/01/30(日) 05:07:33ハーディー・リトルウッドの「不等式」がおすすめだ。
これがモデルになった関数解析(フーリエ解析)の本がある位だ。
0112え(⌒▽⌒)？
2011/01/30(日) 10:34:050113１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 00:26:04A, Bを2次の実対称行列とするとき、次の不等式を示せ。
tr(exp(A+B)) ≦ tr(exp(A))･tr(exp(B)),
ただし、exp(X) = E + Σ[n=1,∞) (1/n!)X^n, (Ｅは単位行列)
(注意)
A,Bが交換可能ならば等式になりますが、AB≠BA のときには一般に不等式になります。
この結果は一般にA,Bがn次対称行列のときにも正しいのですが、2次のときなら、腕づくで計算してもできます。
数セミ増刊「数学の問題 第２集」No.96, 日本評論社 (1978)
0114１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 00:59:02荒木不二洋 先生（元･京大、RIMS）の名作だな。
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
0115１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 15:43:55>適当な T 正則マトリクス,が存在して
>線形変換ｘ＝Tｙにより
>
>Q1=ty.E.ty
>Q2=ty.L.y ：L=対角マトリクス：Bも正定だからL>0
A,B は非可換だから、一般に同時対角化は出来ないのでは？
0116１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 16:51:00> A,B は非可換だから、一般に同時対角化は出来ないのでは？
はい。
A,B が同時対角化できるための必要十分条件は AB=BA（可換）なので、
>>106の証明は誤りです。
これが出来てしまうと>>113は等号になってしまいますから・・・
0117１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 17:00:47一般的には、作用素環のノルム不等式と言われる分野ですかね。
もちろん、行列環だけでなくもっと一般的な物を扱っています。
一般論はコンヌなどの非可換幾何などとも関係して難しいです。
0118仙石６０
2011/01/31(月) 17:22:17AB=BA ならば
Exp(A+B)=Exp(A)Exp(B) だから Tr(Exp(A+B))=Tr(Exp(A)Exp(B))=Tr(Exp(B)Exp(A))
Tr(Exp(A)Exp(B))=<Tr(Exp(A))Tr(Exp(B)) ですか？
つまりTr(A.B)=<Tr(A)Tr(B) というわけですね？
0119仙石６０
2011/01/31(月) 17:33:14>>106の証明は誤りです。
実の対称マトリクスについては同時対角は可能ではないのですか？
（証明を見たようなきがするのだが。。。。自信ない）
A,Bがエルミートで一方が正定であれば同時対角化（Lamda,En)が可能であるというのは
よく使ったような気がする。（正定の定義が違うのかな？）
0120１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 20:10:22> 実の対称マトリクスについては同時対角は可能ではないのですか？
違います。
実際、AとBが同時対角化されたとします。
つまり、ある１つの直交行列 T が存在して、T^t A T, T^t B T が対角行列になる。
対角行列同士は交換可能なので、T^t A T と T^t B T は交換可能です。
つまり、
(T^t A T)・(T^t B T) = (T^t B T)・(T^t A T)
が成り立ちますが、Tは直交行列なので T^t T = Eより、
T^t AB T = T^t BA T
つまり，AB=BA となります。
しかし、任意の２つの正定値対称行列は交換可能とは限らないので、これは矛盾です。
0121仙石６０
2011/01/31(月) 20:28:27E、と Lamda＝固有値マトリクス のふたつを意味しているのですが。
0122１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 20:43:42何を言いたいのか全く分かりません。
>>103の証明を書いた >>106は以下の事実が間違っています。
A,Bを一般の正定値対称行列に対して
> Q1=tx.A.x>0
> Q2=tx.B. x>0 ｘはn次元ヴェクター
>
> A または Bのいづれかが、正定あれば、（Aとする）
> 適当な T 正則マトリクス,が存在して
> 線形変換ｘ＝Tｙにより
>
> Q1=ty.E.ty
> Q2=ty.L.y ：L=対角マトリクス：Bも正定だからL>0
0123仙石６０
2011/01/31(月) 20:46:312個の実対称マトリクスA、Bについての2次形式
Q1=TxAx,Q2=TXBX とする。
Aが正定ならば、適当な正則マトリクスによる線形変換ｘ＝Tyにより新変数ｙについて
2次形式がｙの各成分の2乗項だけをふくむ
Q1=ty ｙ、Q2=ty L y L:対角まとりくす
とあらわせる
証明 略
0124仙石６０
2011/01/31(月) 20:47:54チョット時間をおきませう
0125１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 22:16:26その主張が間違っているんですよ。
具体的には、同じ線形変換 x=Ty で、
Q1=ty ｙ、Q2=ty L y
と表される（つまり、Q_1=<y,y> ）のは良いのですが、
「Lが対角行列」というのが間違いです。
これが出来るためには AB=BA でなくてはなりません。
理由は>>120です。
0126仙石６０
2011/01/31(月) 22:30:16BがC^mxn ならばA:=B*B：C^nxnは準正定マトリクスである。
逆に
エルミートマトリクスA:C^nxnが準正定ならば rank(B)=m (mはAの固有地の数）なるマトリクスB:C^mxn
をもちいてA=B*Bと表すことができる。
を証明せよ
A*=Aが成立するようなマトリクスをエルミートマトリクスという
A*はAの共役転置
0127仙石６０
2011/01/31(月) 22:39:062個の実対称マトリクス：R^nxn、B:R^nxnについての２次形式
Q1=txAx,Q2＝ｔxBx ｘ：R^n ｔ:transpose
A ガ正定ならば、適当な正則マトリクスT:R^nxn による線形変換ｘ＝Ty
によって、新変数ｙについては２次形式がｙの各成分の二乗項だけをふくむ
Q1=ty ｙ、Q2=ty L y、 L:対角マトリクス
と表せる
を証明せよ
0128仙石６０
2011/01/31(月) 22:44:100129１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 23:07:070130Fランク受験生
2011/01/31(月) 23:18:13証明を期待しています。
0131１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 23:23:47恥を晒して墓までよ 気にすることは無い。
0132１３２人目の素数さん
2011/02/01(火) 00:09:590133仙石６０
2011/02/01(火) 00:22:360134１３２人目の素数さん
2011/02/01(火) 01:33:17糞コテめ！
さっさと消えろ！
我々のスレを荒らすな！
ここは不等式のスレだ、日本語読めるか？ あん？
質問は質問スレでやれ！
0135１３２人目の素数さん
2011/02/01(火) 02:16:430136１３２人目の素数さん
2011/02/01(火) 20:11:43n次の実行列 A,B,C,D に対して，2n次の行列 X を
X = [A B]
[C D]
とおく．X が正定値対称行列のとき，
det (X) ≦ det (A)・det(D)
を示せ．
0137１３２人目の素数さん
2011/02/02(水) 13:21:13Det(X)=Det(A)Det[D-B.A^-1.C]
X X が正定値対称行列-=> C=tB ,A=tF.F-->B.A^-1.C=B.A^-1.tB=B.(tF.F)^-1.tB
=B.(F)^-1.tF^-1.tB=B.F^-1.t(B.F^-1)
=Y.Ty : y:=B.F^-1
Det[D-B.A^-1.C]=Det[D-Y.tY]<=Det(D)
det (X) ≦ det (A)・det(D)
q.e.d
0138Fランク受験生
2011/02/02(水) 15:36:31(2) A>=B>=C ==> A >=C
(3)A1>=B1,A2>=B2 --->A1A2>=B1B2
間違っているのは（１）、（２）、（３）のどれでしょうか？
0139１３２人目の素数さん
2011/02/02(水) 15:57:27オコチャマは消えろ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
0140１３２人目の素数さん
2011/02/02(水) 16:14:290141１３２人目の素数さん
2011/02/02(水) 16:19:290142１３２人目の素数さん
2011/02/02(水) 16:24:41猫も必要悪ということだ。
0143１３２人目の素数さん
2011/02/02(水) 16:34:19(3) マちが日
0144１３２人目の素数さん
2011/02/02(水) 17:14:49ところで猫って大学の教員なの？
0145１３２人目の素数さん
2011/02/02(水) 17:21:50無職のルンペンだよ
0146１３２人目の素数さん
2011/02/02(水) 18:14:260147１３２人目の素数さん
2011/02/03(木) 01:09:18まづ、exp( ) の定義から、
exp(xE) = (e^x)E,
AB = BA ⇒ exp(A+B) = exp(A)･exp(B),
exp(A'+xE) = (e^x)･exp(A'),
exp(B'+yE) = (e^y)･exp(B'),
ところで、
A = (tr{A}/n)E + A',
B = (tr{B}/n)E + B',
とおくと tr{A'} = tr{B'} =0 となる。
これらを上記に代入すると、本問は
tr{A'} = tr{B'} =0 ⇒ tr{exp(A'+B')} ≦ tr{exp(A')}･tr{exp(B')},
に帰着する。
0148１３２人目の素数さん
2011/02/03(木) 01:27:19A',B'は跡なしの2次行列だから、Cayley-Hamilton より
(A')^2 = (a^2)E, a = √(-det{A'}),
(B')^2 = (b^2)E, b = √(-det{B'}),
よって exp( ) の定義から
exp(A') = cosh(a)･E + {sinh(a)/a}･A',
exp(B') = cosh(b)･E + {sinh(b)/b}･B',
となる。また、
tr{E} = n = 2,
tr{A'} = tr{B'} = 0,
tr{A'B'} = det{A'} + det{B'} - det{A'+B'} = 2ab･cosθ,
よって、
tr{exp(A')exp(B')} = cosh(a)cosh(b)tr{E} + (････)*tr{A'} + (････)*tr{B'} + {sinh(a)sinh(b)/(ab)}tr{A'B'}
= 2cosh(a)cosh(b) + 2sinh(a)sinh(b)･cosθ
= (1+cosθ)cosh(a+b) + (1-cosθ)cosh(a-b)
= (1+cosθ)f((a+b)^2) + (1-cosθ)f((a-b)^2) (← *)
≧ 2f(a^2 + b^2 +2ab･cosθ)
= 2f(-det{A'} -det{B'} +tr{A'B'})
= 2f(-det{A'+B'})
= tr{exp(A'+B')},
*) f(t) = cosh(√t) = Σ[k=0,∞) (1/(2n)!)t^n, は t≧0 で下に凸。
0149103
2011/02/03(木) 19:02:06>>104-105>>109-110>>117
文献の案内ありがとうございます。
作用素環へ繋がっていくのですね。
それは奥が深いわけだ。
0150１３２人目の素数さん
2011/02/03(木) 23:28:08(3)A1>=B1,A2>=B2 --->A1A2>=B1B2
ガ誤りであるような 実例を教えてください。
0151１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 00:11:48A1,A2,B1,B2>0 の例をもとむ
0152147-148
2011/02/04(金) 00:53:49････つまり、本題は次の補題に帰着した。
〔補題〕
2次の正方行列 A,B について
det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) = det(A+B),
(略証) 成分を使って計算するだけ。
0153１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 01:19:06ｴﾚｶﾞﾝﾄに頼むよ
0154１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 13:18:510155１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 13:21:320156Fランク受験生
2011/02/04(金) 13:43:44〔補題〕
2次の正方行列 A,B について
det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) = det(A+B),
計算しても等号がせいりつしません。
数値計算しても等号が成立しません。
どこがまちがっているのでしょうか
det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) ー det(A+B)＝
a22 b11 + a23 a32 b11 + a33 b11 - a22 a33 b11 - a21 b12 - a23 a31 b12 +
a21 a33 b12 - a31 b13 + a22 a31 b13 - a21 a32 b13 - a12 b21 - a13 a32 b21 +
a12 a33 b21 + a33 b12 b21 - a32 b13 b21 + a11 b22 + a13 a31 b22 + a33 b22 -
a11 a33 b22 - a33 b11 b22 + a31 b13 b22 - a12 a31 b23 - a32 b23 +
a11 a32 b23 + a32 b11 b23 - a31 b12 b23 - a13 b31 + a13 a22 b31 -
a12 a23 b31 - a23 b12 b31 + a22 b13 b31 + a13 b22 b31 - a12 b23 b31 -
a13 a21 b32 - a23 b32 + a11 a23 b32 + a23 b11 b32 - a21 b13 b32 -
a13 b21 b32 + a11 b23 b32 + a11 b33 + a12 a21 b33 + a22 b33 - a11 a22 b33 -
a22 b11 b33 + a21 b12 b33 + a12 b21 b33 - a11 b22 b33
0157１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 13:51:59お前、受験板に帰れよ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
0158１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 13:54:040159１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 14:51:360160１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 18:28:28ということになります。
0161１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 18:44:13ｴﾚｶﾞﾝﾄに頼むよ
0162１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 19:14:142次の正方行列つってんだろが
0163１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 20:39:09正定値対称行列 A,B に対して tA + (1-t)B (0≦t≦1) に対して、
t の関数 f(t) = det (tA + (1-t)B)^{-1} は下に凸であることを示せ。
t det (A) + (1-t) det(B) ≦ det (tA + (1-t)B)．
0164１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 21:11:260165１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 21:13:140166１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 21:42:20det (tA + (1-t)B)． はｎ次の多項式
t det (A) + (1-t) det(B) はｎの一次多項式
主張にムリガあるような気がするのだが？
たとえば ｔ＝～０
(1-t) det(B) ＞＝det ((1-t)B)．ｋｊなぜなら（１－ｔ）＞（１－ｔ）＾ｎ
0167１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 22:04:27> たとえば ｔ＝～０
すまんが、ｔ＝～０ の意味を教えてもらえまいか？
0168１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 22:12:53～０
0169１３２人目の素数さん
2011/02/04(金) 22:18:540170１３２人目の素数さん
2011/02/05(土) 00:51:07det (tA + (1-t)B)． はｔのｎ次の多項式
t det (A) + (1-t) det(B) はｔの一次多項式
主張にムリガあるような気がするのだが？
0171１３２人目の素数さん
2011/02/05(土) 01:42:23多項式の次数が違うことが、不等式が成立しないという根拠にはならんだろ。
例：実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< t^n < t は常に成立します。
0172１３２人目の素数さん
2011/02/05(土) 01:45:160173１３２人目の素数さん
2011/02/05(土) 02:48:24多項式の次数が違うからといって、不等式が成立しないとは言ぇんぜん。
だな。
0174163
2011/02/05(土) 03:46:34確かに主張は間違っていました。
（多項式の次数が違うからというのは理由にはなりません）
[>>163の訂正]
関数 f(t) = det (tA + (1-t)B )^{-1} は逆行列を取っているので、
凸性を表す不等式は（この f が凸であることを示すのが問い）
t f(1) + (1 -t) f(0) ≧ f(t)
これを書き換えると、
t det (A^{-1}) + (1-t) det(B^{-1}) ≧ det (tA + (1-t)B)^{-1}
と逆数を取った式でした。
あるいは、最初から A, B を逆行列 A^{-1}, B^{-1} （これらも正定値対称行列）にして
t det (A) + (1-t) det(B) ≦ det (t^{-1} A + (1-t)^{-1} B)
という不等式を得ます。
0175１３２人目の素数さん
2011/02/05(土) 04:02:00t=0,1 のとき 左辺は０ゆえ、因数定理から
t･det(A) + (1-t)･det(B) - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)f(t;A,B),
(例) n=2 の場合、
t･det(A) + (1-t)･det(B) - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)det(A-B),
0176１３２人目の素数さん
2011/02/05(土) 06:13:39t=0,1 のとき 左辺は０ゆえ、因数定理から
t^n･det{A} + (1-t)^n･det{B} - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)g(t;A,B),
(例) n=2 の場合、
t^2･det{A} + (1-t)^2･det{B} - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)(tr{AB}-tr{A}tr{B}),
0177Fランク受験生
2011/02/05(土) 21:00:57（１）n>=3のばあいは
（２）実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< an t^n+an-1t^(n-1)+,,, < t は常に成立しますか？
0178１３２人目の素数さん
2011/02/08(火) 14:47:14問１．レベル（目糞）---------------------
a、b、c、d≧0 のとき、次式を証明せよ
1/a + 1/b + 4/c + 16/d ≧ 64/(a+b+c+d)
問２．レベル（鼻糞）---------------------
x、y、z≧0、x+y+z=1 のとき、次式を証明せよ
0 ≦ xy + yz + zx -2xyz ≦ 7/27
0179回答ー目糞
2011/02/08(火) 23:58:19q=abcd(a+b+c+d)P の極点をもとめると( 11個）
{(a,b,c,d)=(0,0,c,0),(0,0,0,d),(-d,0,0,d),(a,0,0,0),(a,0,-a,0),....(d/4,d/4.d/2.d)}
どの極点の値もｑ＝０になる。
ｑの形態から 是が最小値になる。
ｑ＞＝０
0180回答ー鼻糞
2011/02/09(水) 00:33:05の局地をもとめて
(L,x,y,z)={(4/9,1/3,1/3,1/3),(1/2,0,1/2,1/2),...}
qの値は｛7/27,1/4,1/4,1/4}になる。
境界の(x､y､z)=(1,0,0) でｑ＝０
０≦ xy + yz + zx -2xyz ≦ 7/27
0181１３２人目の素数さん
2011/02/09(水) 02:29:03問１（目糞）
{a, b, c/2, c/2, d/4, d/4, d/4, d/4} の8個で相加･調和平均あるいはコーシー
だな。
問２（鼻糞）
右側
-1/2 ≦ 1/2 -x, 1/2 -y, 1/2 -z ≦ 1/2, より
-(1/2)^3 ≦ (1/2 -x)(1/2 -y)(1/2 -z) < (1/2)^3,
上限は 3つの因子が同符号(正)のときで、相乗･相加平均より
(1/2 -x)(1/2 -y)(1/2 -z) ≦ {(3/2 -x -y -z)/3}^3 = (1/6)^3,
これを展開する。左側は (ry
0182１３２人目の素数さん
2011/02/09(水) 07:48:14実数 x、y、z が、x+y+z=0 をみたすとき、次式を証明せよ
(|a|+|b|+|c|)^2 ≧ 2(a^2 + b^2 + c^2)
-----------------------------------------------
※ 差を取るのはミジンコでもできるので、エレガントに証明してください
ミジンコといえば…
http://www.yomiuri.co.jp/science/news/20110204-OYT1T00057.htm
※ さらに n乗の場合に拡張できるなら、お願いします
0183１３２人目の素数さん
2011/02/09(水) 07:49:18ごめん、a、b、cをx、y、zで読み替えてください
0184１３２人目の素数さん
2011/02/11(金) 00:21:14問３（耳糞）
ミジンコだが、差を取ってみた。
a+b+c = 0 より 三角不等式が成り立つ。
よって
(左辺) - (右辺) = 2|ab| + 2|bc| + 2|ca| - a^2 - b^2 - c^2
= |a|(|b|+|c|-|a|) + |b|(|c|+|a|-|b|) + |c|(|a|+|b|-|c|) ≧ 0,
0186１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 05:53:59あまりエレガントぢゃねぇが････
6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2,
∴ √6 > 22/9,
(√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9 = (22/7)^2 + 5/(21^2) > (22/7)^2,
∴ √2 + √3 > 22/7,
ところで、
(1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/49 = (1/6)(22/7)^2,
∴ 22/7 > π,
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/187 , 199
東大入試作問者スレ１９
0187１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 06:02:07(14/3)√(5/11) > √2 + √3 を示してくださいです。
0188１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 06:24:28485 > (√484)(√486) = 22(9√6) = 99(2√6),
∴ 485/99 > 2√6,
∴ (14/3)^2･(5/11) = 980/99 > 5 + 2√6 = (√2 + √3)^2,
0189１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 11:06:40Xは正定値なので、小行列式 det(A) >0である。
とくに A は正則行列なので、行列 X は以下のように分解できる。
[A B] ＝ [ I O][A B]
[C D] [CA^{-1} I][O D-CA^{-1}B]．
両辺の行列式を取れば、
det(X) = det(A)・det(D-CA^{-1}B)
ここで X は対称行列なので C=B^t で A^{-1} も正定値行列なので、
det(D-CA^{-1}B) = det (D - B^t A^{-1}B) ≦ det(D)．
よって、
det(X) ≦ det(A)・det(D)
が示された。
0190１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 17:13:26上手いなあ・・・
0191１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:58:06ちっともエレガントぢゃねぇが････
6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2,
∴ √6 > 22/9,
∴ (√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9,
ところで、
(1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/54 = (1/6)(89/9) < (1/6)(√2 + √3)^2,
∴ √2 + √3 > π,
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/187 , 199
東大入試作問者スレ１９
0192１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 00:58:053 + 1/8 < 31^(1/3) < π < 355/113 < 22/7 < √2 + √3 < √10,
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/220-222
東大入試作問者スレ１９
・3 + 1/8 < 31^(1/3) は
(3 + 1/8)^3 = 27 +27/8 +9/64 +(1/8)^3 = 31 -(5 -9/8 -1/64)/8 < 31,
・355/113 = 3 + 16/113 < 3 + 16/112 = 3 + 1/7 = 22/7,
・22/7 < √2 + √3 は >>186
・√2 + √3 < √10 は
y = √x は上に凸: √a + √b < 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)},
あるいは √a + √b = √{2(a+b) - (√a -√b)^2} ≦ √{2(a+b)},
0193１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 14:02:05> 945*(1+1/2^6+1/3^6) = 945 + 945/64 + 35/27 = 945 + (14*64+48+1)/64 + {1+ (27+5)/(27*4)} = 961 + 1/64 + 5/108
> 961 = 31^2 = ([3]√31)^6
0194１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 02:48:13お見事でござる。それでは次を出さねば････
〔補題〕
31^(1/3) < 306^(1/5) < π
左側は
31^3 = 29791 < 29800,
31^5 < 29800*31*31 = 298*310*310 < 306^3, (相乗･相加平均)
ハｧハｧ
0195１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 21:56:14証明すべきことより、(1/6)π^2 = ζ(2) の証明の方が遥かに難しく、証明になっとらんわｗ
ていうか、ここいつから大学入試問題スレになったんだよｗ
糞みたいな問題ばっかりで、詰まらない。
受験生は受験板でやれや
どうせ sin の無限積展開とか知らん奴は (1/6)π^2 = ζ(2) の事実を使うな！
0196１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 21:57:24巣に戻れやボケ！
0197１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 22:23:340198１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 23:09:570199１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 06:26:46あんたこそスレ違い
ここは受験問題のスレじゃない！
しかも、他スレのコピペだし
0200１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 12:29:35>>156
お前、受験板に帰れよ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
0201１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 14:14:52初代スレからの住人としては悲しい限り
0202１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 14:33:46スレの数が減ったために目につきやすくなったからある程度は仕方ないね。
スルーしとけばいいと思うよ。
0203１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 13:53:48入試問題ばかりになっちまったからだろ
スレ住人が塾講師の連中ばかりになっちまったというよ。
0204１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 22:38:590205１３２人目の素数さん
2011/02/19(土) 21:50:20.35http://www.wolframalpha.com/input/?i=Sin%5B23%5E23%5D
と言う他はない。
0206１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 00:42:17.01このレベルの不等式を示すのに (1/93555)π^10 = ζ(10) を使うのはナンセンス。
証明すべきことより、(1/93555)π^10 = ζ(10) の事実の方が遥かに難しいから、証明になっとらんわｗ
とは思いつつ････
π^10 = 93555ζ(10)
= 93555･{1 + (1/2)^10 + ････}
> 93555･(1 + 1/1024)
> 93555･(1 + 1/1155)
= 93555 + 91
= 93646
= 306^2,
0207206
2011/02/20(日) 03:54:59.36π^10 = ････
= ･････
> 93555･(1 + 1/1155)
= 93555 + ８1
= 936３6
= 306^2,
∴ 306^(1/5) < π
0208１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 04:19:51.61y=1/x^6 は下に凸だから
1/k^6 < ∫[k-0.5, k+0.5] 1/x^6 dx = (1/5){1/(k-0.5)^5 - 1/(k+0.5)^5},
これを使って
(1/945)π^6 = ζ(6)
= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + ････
< Σ[k=1,n] 1/k^6 + ∫[n+1/2,∞) 1/x^6 dx
= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + 1/4^6 + 1/5^6 + 1/6^6 + 1/(5*6.5^5) (n=6 とおく)
= 1 + (3^6 + 2^6 + 1)/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
= 1 + 794/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
< 1 + (35431020482 + 508289003 + 133244913 + 35886729)/(113^6)
= 1 + 36108441127/(113^6)
= 1 + 34122476865015/(945･113^6)
< 1 + 34122530050120/(945･113^6)
= (1/945)(355/113)^6,
∴ π < 355/133 ･･････ 密率（「隋書」）
祖沖之（429-500）
0210１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 07:58:37.530211１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 08:02:12.860212１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 11:38:15.55a,b,c>0 のとき a+b+c=s とおくと
a/√(s-b) + b/√(s-c) + c/√(s-a) < (5/4)√s,
casphy - 高校数学 - 不等式スレ 330, 375-376
→ 前スレ.649
0213１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 23:44:56.31正n角形とその内接円・外接円を使うのは、面倒な割に、精度がいまいち････
ζ函数の方が効率がいいし･･･
他にいい方法がないかと思う今日この頃･･･
0214１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 05:15:12.791/2＜a[i]＜1のとき
Π(1-a[i])＞1-2Σ(a[i]/2^i)
(i=2,3,…n)
0215１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 07:19:26.19左辺を P[n] とおくと、
P[n] = P[n-1]･(1-a[n])
= P[n-1] - a[n]･P[n-1]
= ･････
= 1 - Σ[i=1,n] a[i]･P[i-1]
と
P[0] = 1,
P[i] < 1/(2^i) (i≧1)
から。
http://nyushi.yomiuri.co.jp/11/sokuho/kyoto/zenki/sugaku_ri/images/mon4_1.gif
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/253
東大入試作問者スレ１９
0216１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 10:20:07.830 < x < π のとき 次を示せ。
(1) 1/sin(x) - 1/x > x/6,
(2) {1/sin(x)}^2 - 1/x^2 > 1/3,
0217１３２人目の素数さん
2011/02/28(月) 03:57:23.980218１３２人目の素数さん
2011/02/28(月) 06:32:54.58+ +
∧＿∧ +
（0ﾟ・∀・） ﾜｸﾜｸ、ﾃｶﾃｶ…
（0ﾟ∪ ∪ +
と＿_）__） +
0219１３２人目の素数さん
2011/02/28(月) 10:19:21.16http://nyushi.nikkei.co.jp/honshi/11/ha1-21p.pdf
0220Fランク受験生
2011/03/03(木) 00:49:07.67(1)
S(a)=(1/2)(a^2+1)^(n-1)
(2)
a=4 のときｘ＝１．７６になる
0221１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 23:48:54.04全然難問じゃないじゃん。
大数で言うと C*** クラス。
0222１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 02:52:40.020223１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 08:37:16.000224１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 08:47:21.330225１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 09:37:23.59／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） ＜おっとそこまでだ
. | （__人__）＿＿＿_
| ｀ ⌒／ ─' 'ー＼
. | ／（ ○） （○）＼
. ヽ ／ ⌒（n_人__）⌒ ＼
ヽ |、 （ ヨ |
/ `ー─－ 厂 ／ ←>>224
| ､ ＿ __,,／ ＼
0226１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 10:49:02.960227１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 12:42:07.49http://kotonoha.cc/no/54040
0228１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 21:32:08.200229１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 21:46:33.460230猫は廃人 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/08(火) 13:50:17.700231猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/08(火) 19:29:40.790232１３２人目の素数さん
2011/03/08(火) 19:36:06.980233猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/08(火) 19:40:50.01猫
0234１３２人目の素数さん
2011/03/14(月) 01:35:56.47http://www.kyoritsu-pub.co.jp/series/kandokoro.html#zokkan
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ こ、こりゃたまらんっ！
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
0235１３２人目の素数さん
2011/03/17(木) 15:37:44.25(a-1)(3a-7)+(b-1)(3b-7)+(c-1)(3c-7)+(d-1)(3d-7)≧0
を証明せよ。
0236１３２人目の素数さん
2011/03/19(土) 01:36:36.10(左辺) = f(log(a)) + f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)),
ここで
f(x) = (e^x - 1)(3e^x - 7) = 3(e^x - 5/3)^2 - 4/3 ≧ -4/3,
とおいた。
f "(x) = 12{e^x - (5/6)}e^x > 0, (x≧0)
ゆえ、
x≧0 では f は下に凸。
f '(0) = -4,
k = -0.64298265 = log(0.5257220384) < x < 0 では f(x) > -4x,
そこで
F(x) = f(x), x < k, 0 < x
= -4x, k ≦ x ≦ 0
とおく。(函数凸包、function convex hull)
F(x) は x ≧ k で下に凸（広義）である。
(1) a,b,c,d ≧ e^k のとき、凸不等式より
(左辺) ≧ F(log(a)) + F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
≧ 4F(log(abcd)/4) = 4F(0) = 4f(0) = 0,
(2) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが1つだけある(a)とき、凸不等式より
f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)) ≧ F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
≧ 3F(log(bcd)/3) = 3F(-log(a)/3) = 3f(-log(a)/3)
(左辺) ≧ f(log(a)) + 3f(-log(a)/3) ≧ f(k) + 3f(-k/3) = 0.21780074,
(3) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが2つ以上ある(a,b)とき
f(log(a)) ≧ f(log(b)) ≧ 2.5719306, f(log(c))≧-4/3, f(log(d))≧-4/3,
により成立。
0237１３２人目の素数さん
2011/03/22(火) 06:15:56.83Problem 365.
http://www.math.ust.hk/excalibur/v15_n4.pdf
0238１３２人目の素数さん
2011/03/22(火) 06:18:57.91http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
0239１３２人目の素数さん
2011/03/25(金) 23:48:58.94Problem 365.
負でない実数 a,b,c が ab+bc+ca = 1 を満たすとき、
1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) - 1/(a+b+c) ≧ 2,
を示せ。
0240１３２人目の素数さん
2011/03/26(土) 01:40:10.75俺もこれが面白いと思った
まだ解けぬ～
0241１３２人目の素数さん
2011/03/27(日) 23:30:24.83附帯条件から考えて、a→cotα, b→cotβ, c→cotγ と置いてみる･･･
α+β+γ = π より,
(左辺) = 1/(cotα+cotβ) + 1/(cotβ+cotγ) + 1/(cotγ+cotα) - 1/(cotα+cotβ+cotγ)
= (sinα･sinβ)/sin(α+β) + (sinβ･sinγ)/sin(β+γ) + (sinγ･sinα)/sin(γ+α) - (sinα･sinβ･sinγ)/(1-cosα･cosβ･cosγ)
= (sinα･sinβ)/sinγ + (sinβ･sinγ)/sinα + (sinγ･sinα)/sinβ -2(sinα･sinβ･sinγ)/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]
= (sinα･sinβ･sinγ){(1/sinα)^2 + (1/sinβ)^2 + (1/sinγ)^2 - 2/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]}
= 2⊿･{(1/a')^2 + (1/b')^2 + (1/c')^2 -2/[(a')^2 + (b')^2 + (c')^2]}
= ････
ここに、 a'=2R･sinα, b'=2R･sinβ, c'=2R･sinγ, ⊿ = 2R^2･sinα･sinβ･sinγ,
まだ解けぬるぽ～
0242１３２人目の素数さん
2011/03/28(月) 07:26:05.27=1/x+y+z*(z/x+y+x/y+z+y/z+x)+2/x+y+z
>=1/x+y+z*(x+y+z)^2/2(xy+yz+zx)+2/x+y+z
=x+y+z/2+2/x+y+z>=2 Q.E.D.
0243１３２人目の素数さん
2011/03/28(月) 08:37:32.00エスパー検定３級の俺には、どれが分母なのか読み取れねぇ・・・
0244１３２人目の素数さん
2011/03/28(月) 09:52:08.742行目から3行目に何を使ったのか分からない
1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 1/(x+y+z)
= 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 3/(x+y+z) + 2/(x+y+z)
1/(x+y+z)で括る
= {1/(x+y+z)}*{(x+y+z)/(x+y) + (x+y+z)/(y+z) + (x+y+z)/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{1 + z/(x+y) + 1 + x/(y+z) + 1 + y/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
後は頼んだ>243
0245243
2011/03/28(月) 10:52:27.443(x^2 + y^2 + z^2) - (x+y+z)^2 = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 ≧ 0
∴(x^2 + y^2 + z^2) ≧ (1/3)*(x+y+z)^2
z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)
＝ z^2/(zx+yz) + x^2/(xy+zx) + y^2/(yz+xy)
≧ z^2/(xy+yz+zx) + x^2/(xy+yz+zx) + y^2/(xy+yz+zx)
＝ (x^2 + y^2 + z^2)
≧ (1/3)*(x+y+z)^2
>>242の４行目から
＝ {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
≧ (x+y+z)/3 + 2/(x+y+z)
≧ 2√(2/3)
うむ、失敗したようじゃ…
0247１３２人目の素数さん
2011/03/29(火) 02:54:50.22鋭角△に限定しなければならぬ～
(a')^2 + (b')^2 ≧ (c')^2, etc.
0248１３２人目の素数さん
2011/04/03(日) 15:07:21.35M1852.
f∈ C^1([0,1]) で f(0) = f(1) = -1/6. のとき次を示せ。
∫[0,1] {f '(x)}^2 dx ≧ 2∫[0,1] f(x) dx + 1/4,
0249１３２人目の素数さん
2011/04/03(日) 15:38:26.07部分積分により
(右辺) = 2[ (x - 1/2)f(x) ](x=0,1) -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x)dx + 1/4
= f(0) + f(1) + 1/4 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx
= -1/12 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx,
∫[0,1] (x - 1/2)^2 dx = [ (1/3)(x - 1/2)^3 ](x=0,1) = 1/12,
よって
(左辺) - (右辺) = ∫[0,1] {f '(x) + (x - 1/2)}^2 dx ≧ 0,
0250１３２人目の素数さん
2011/04/03(日) 15:43:12.09x - 1/2 という発想はどこから？
0251１３２人目の素数さん
2011/04/03(日) 18:18:19.82C925.
f ∈ Ｃ^2([0,1]) で
∫[0,1] f(x)dx = 2∫[1/4,3/4] f(x)dx,
のとき、f "(x0) =0 を満たす点 x0 ∈ (0,1) が存在することを示せ。
C932.
f : [0,1] → Ｒ は連続関数
∫[0,1] {f(x)}^3 dx = 0,
のとき、次を示せ。
∫[0,1] {f(x)}^4 dx ≧ (27/4){∫[0,1] f(x)dx}^4,
C944.
f ∈ Ｃ^1([0,1])
∫[0,1] f(x) dx = 0,
A ≦ f '(x) ≦ B x∈[0,1]
のとき、次を示せ。
A ≦ 12∫[0,1] x･f(x)dx ≦ B,
0252１３２人目の素数さん
2011/04/03(日) 18:49:37.86C925.
(左辺) - (右辺)
= ∫[0,1/4] f(x)dx - ∫[1/4,1/2] f(x)dx - ∫[1/2,3/4] f(x)dx + ∫[3/4,1] f(x)dx
= ∫[0,1/4] {f(x) -f(x+1/4) -f(x+1/2) +f(x+3/4)} dx
= ∫[0,1/4] g(x) dx
平均値の定理より
= (1/4)g(a) (0<a<1/4)
= (1/4){f(a) -f(a+1/4) -f(a+1/2) +f(a+3/4)}
= (1/16){f '(b) - f '(c)} (a<b<a+1/4, a+1/2<c<a+3/4)
= (1/16)(b-c)f "(x0), (b<x0<c)
0253１３２人目の素数さん
2011/04/04(月) 01:51:35.18しょうがねぇなぁ････
基本対称式を a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u とおくと
(左辺) = (s^2 +t)/(st-u) -1/s = (s^3 + u)/{s(st-u)},
(右辺) = 2/√t,
(s^3 + u)^2 - (4/t){s(st-u)}^2 = (s^3)F_1 + (s^2)(u/t)(st-4u) + u^2 ≧ 0,
ここに
F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schurの不等式)
やっと解けた。しかし、めんどくせぇなぁ･･･
0254１３２人目の素数さん
2011/04/04(月) 03:44:39.82なんかみつけたけん
0255１３２人目の素数さん
2011/04/04(月) 08:24:10.34よくある間違い。
１＜２と１００≦１００で等号が成り立つから１より１００の方が小さいとやってしまう。
ａ＝ｂ－＞０とすれば下の式は２より小さくなるから駄目。
0256１３２人目の素数さん
2011/04/04(月) 08:37:51.12> １＜２と１００≦１００で等号が成り立つから１より１００の方が小さいとやってしまう。
言っている意味が分からないが、>>254が初歩的なミスをしていることは同意。
例えば、次のように説明すると分かりやすいかも？
>>254の主張を、グラフで視覚化してみよう！
y=x^2 と y=2x-1 において、x^2 ≧ 2x-1 が成り立つ。
等号成立条件は x=1のときで、このとき右辺は 2・1-1=1だから、x^2≧1
どう考えてもおかしいよね (・A・)ｲｸﾅｲ！
0257１３２人目の素数さん
2011/04/04(月) 09:04:09.551/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)-1/(a+b+c)=7*3^(1/2)/6=2.0207259421
7/(3((a+b)(a+c)(b+c))^(1/3))=7*3^(1/2)/6=2.0207259421
a=b=0.1,c=4.95
1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)-1/(a+b+c)=5.2018648466
7/(3((a+b)(a+c)(b+c))^(1/3))=1.3555198072
2.0207259421>=2.0207259421>=2
5.2018648466>=1.3555198072>=2
0258１３２人目の素数さん
2011/04/04(月) 10:01:03.59等号成立は0,1,1のときしかないんだよね？
0259１３２人目の素数さん
2011/04/05(火) 01:02:06.67{1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
={1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} (xy+xz+yz)+ 2/(x+y+z)
=1/2*({1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} (z(x+y)+x(y+z)+y(x+z)))+ 2/(x+y+z)
>=1/2*({1/(x+y+z)}*(x+y+z)^2+ 2/(x+y+z)
=(x+y+z)/2+ 2/(x+y+z)>=2
0260239
2011/04/05(火) 01:47:07.55お見事でござる。
コーシー不等式 z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x) ≧ (s^2)/(2t) がミソだった。
>>258
そうでつね。
0261１３２人目の素数さん
2011/04/05(火) 02:01:12.29が言いたかったことが やっと分かった。
｛［（ ）］｝をたくさん使ってくれると ありがたいです。
>>250
∫＿［０，１］（（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）－ｇ（ｘ））＾２ｄｘ
＝∫＿［０，１］（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）＾２ｄｘ＋∫＿［０，１］２（ｄｇ／ｄｘ）（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ＋∫＿［０，１］ｇ（ｘ）＾２ｄｘ＋２（ｆ（０）ｇ（０）－ｆ（１）ｇ（１））。
（ｄｇ／ｄｘ）（ｘ）＝－１，（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）＝ｇ（ｘ）となるｆが存在するようにｇをとるとｇ（ｘ）＝－ｘ＋１／２。
Ａ＝∫＿［０，１］ｆ（ｘ）ｄｘ。
∫＿［０，１］（ｆ（ｘ）＾２＋３Ａｆ（ｘ）－（９／２）Ａ＾２）＾２ｄｘ
＝∫＿［０，１］ｆ（ｘ）＾４ｄｘ＋６Ａ∫＿［０，１］ｆ（ｘ）＾３ｄｘ－（２７／４）Ａ＾４。
１２∫＿［０，１］ｘｆ（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（１２ｘ－６）ｆ（ｘ）ｄｘ
＝［（６ｘ＾２－６ｘ）ｆ（ｘ）］＿０＾１－∫＿［０，１］（６ｘ＾２－６ｘ）（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（６ｘ－６ｘ＾２）（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（６ｘ－６ｘ＾２）ｄｘ（ｄｆ／ｄｘ）（ｓ） （０＜ｓ＜１）
＝（ｄｆ／ｄｘ）（ｓ）。
0264１３２人目の素数さん
2011/04/09(土) 09:02:08.28前にやったっけ？( ﾟ∀ﾟ)
0265１３２人目の素数さん
2011/04/09(土) 13:52:52.110266１３２人目の素数さん
2011/04/10(日) 09:44:59.54http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284438189/
の４，４５
模範解答はａ＝ｂ≧ｃの場合が抜けている。
>>107
0267１３２人目の素数さん
2011/04/10(日) 18:56:36.30>>76 の方法でござるな････ >>111
a^4 = a^3･a ≦ a^3･(a^3 +b^3 +c^3)^(1/3),
巡回的にたすと
a^4 + b^4 + c^4 ≦ (a^3 +b^3 +c^3)^(4/3),
a^3 = a^4 /a ≧ a^4 /(a^4 +b^4 +c^4)^(1/4),
巡回的にたすと
a^3 + b^3 + c^3 ≧ (a^4 +b^4 +c^4)^(3/4),
あるいは Max{a,b,c}=M とおいて
a^4 + b^4 + c^4 ≦ M(a^3 +b^3 +c^3),
(a^4 +b^4 +c^4)^3 ≦ (M^3)(a^3 +b^3 +c^3)^3 ≦ (a^3 +b^3 +c^3)^4,
>>266
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284438189/44-45
数検総合スレ４
http://www.suken.net/gakushu/sample/index.html → 1級 検定問題(2次)
http://www.suken.net/gakushu/sample/sample_img/1-5/1kyu_mondai_2ji.pdf
0268１３２人目の素数さん
2011/04/12(火) 10:48:14.350269じゅー
2011/04/12(火) 21:29:19.35ｷｬｽﾌｨ高校数学板 - 不等式 - 517,519,523
…………
ではｷｬｽﾌｨからもう一題。
a,b,cを三角形の三辺とするとき、
a^3+b^3+c^3+3abc
≧2(ab^2+bc^2+ca^2)
を示せ。
ｷｬｽﾌｨ高校数学板 - チャレンジ問題 - 60
0270訂正
2011/04/12(火) 21:34:07.1160→59
に訂正です。
0271１３２人目の素数さん
2011/04/13(水) 21:45:47.80|a-b|<cの両辺を２乗して変形し
a^2+b^2-c^2<2ab
ca^2+cb^2-c^3<2abc
同様に
ab^2+ac^2-a^3<2abc
bc^2+ba^2-b^3<2abc
足して
ca^2+cb^2+ab^2+ac^2+bc^2+ba^2<a^3+b^3+c^3+6abc
ab^2+ bc^2+ca^2+3abc<a^3+b^3+c^3+6abc
ab^2+ bc^2+ca^2<a^3+b^3+c^3+3abc
失敗した…
0272１３２人目の素数さん
2011/04/14(木) 08:28:54.62ｑ＝（ａ＋ｃ－ｂ）／２。
ｒ＝（ａ＋ｂ－ｃ）／２。
ａ＝ｑ＋ｒ。
ｂ＝ｐ＋ｒ。
ｃ＝ｐ＋ｑ。
ａ＾３＋ｂ＾３＋ｃ＾３＋３ａｂｃ－２（ａｂ＾２＋ｂｃ＾２＋ａ＾２ｃ）
＝２（ｐｑ＾２＋ｐ＾２ｒ＋ｑｒ＾２－３ｐｑｒ）
≧０。
0274じゅー
2011/04/14(木) 21:33:49.090275１３２人目の素数さん
2011/04/14(木) 21:55:29.130277１３２人目の素数さん
2011/04/14(木) 23:26:13.93a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac-bc-b^2)=a(a-b)(a+b-c)>a(a-b)
b^3-b^2a+abc-bc^2=b(b^2-ba+ac-c^2)=b(b-c)(b+c-a)>b(b-c)
c^3-c^2b+abc-ca^2=c(c^2-cb+ab-a^2)=c(c-a)(c+a-b)>c(c-a)
全部足して
=a^3+b^3+c^3+3abc-2(ab^2+bc^2+ca^2)>a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)
=a^2-ab+b^2-bc+c^2-ca={(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2≧0
よって(左辺)-(右辺)≧0
むーん
0278277
2011/04/14(木) 23:31:35.12×a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac-bc-b^2)=・・・
○a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac+bc-b^2)=・・・
273はいったいどういう発想でその置換を思いついたのだろう
レベルの低いおいらにはわかんないや
0279１３２人目の素数さん
2011/04/15(金) 12:42:51.39全く新しい発想というわけではないと思う。
目的関数が、非対称なので、コーシー・シュワルツ形へ持って行くのかと思っていたが、
[3]√((p/q)(q/r)(r/p))形を通して、相加相乗形へ持って行ったのには、感心した。
0280１３２人目の素数さん
2011/04/16(土) 00:58:02.78min{1,n^(p-1)}Σ[i=1→n](x[i])^p
≦(Σ[i=1→n]x[i])^p
≦max{1,n^(p-1)}Σ[i=1→n](x[i])^p
0281１３２人目の素数さん
2011/04/17(日) 11:42:27.80http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq.pdf
0282１３２人目の素数さん
2011/04/17(日) 14:12:27.19a=x+y, b=y+z, z=x+yとおけば十分,
Σ_cyc (x^2y-xyz)≧0 Q.E.D.
0283１３２人目の素数さん
2011/04/17(日) 20:03:58.97F_1 = (a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc,
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
とおくと、
F_1 ≧ ⊿,
0284１３２人目の素数さん
2011/04/18(月) 12:55:14.00=(1/2){(a^2-b^2-ab++2bc-ca)^2+(b^2-c^2-bc+2ca-ab)^2+(c^2-a^2-ca+2ab-bc)^2}
0285じゅー
2011/04/18(月) 15:27:18.360286１３２人目の素数さん
2011/04/18(月) 17:17:34.760287１３２人目の素数さん
2011/04/18(月) 21:12:59.72`‐-、 二. ｀ヽ、 ミ￣ ／⌒ｼ′）
二‐/,ｨ┐|=ミ=┘ ,r‐'_二ﾆ....イ
‐ニ| i＜ ｉ ,..-=ﾆ‐''＼ /彡}
二‐ヽ ┘ ｜ lヾ. } } / /リ
ﾆ ‐'"/ / |_{;)} ﾚ' /(（ エレガントな証明を見ると・・・・・
' / / '" ` `ﾞ / ｿ
/ , Ｆ'′/ なんていうか･･････その･･･
ヽ. ＼、 L`___l
＿＼ ヽ._>┘ 下品なんですが･･････フフ･････
／了＼＿ノ
◆（ 勃起･･････しちゃいましてね･････････
門｜
0288１３２人目の素数さん
2011/04/19(火) 01:17:01.91p = a^2 -ab +bc,
q = b^2 -bc +ca,
r = c^2 -ca +ab,
とおくと、
p + q + r = a^2 + b^2 + c^2,
pq + qr + rp = a^3･b + b^3･c + c^3･a,
これらを↓に代入する。
(p+q+r)^2 -3(pq+qr+rp) = (1/2){(p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2} ≧ 0,
0289１３２人目の素数さん
2011/04/19(火) 03:02:58.17> p = a^2 -ab +bc,
> q = b^2 -bc +ca,
> r = c^2 -ca +ab,
> とおくと、
どうやって思いついたんだ??
0290286
2011/04/19(火) 06:56:22.13p+q+r=a^2+b^2+c^2
pq+qr+rp=a^3b+b^3c+c^3a
からp=a^2-ab+bc……を出すのは難しいと思う。
0291１３２人目の素数さん
2011/04/19(火) 23:03:28.82a,b,c ≧ 0、3/4≦r≦8/3 のとき
(a^2 +b^2 +c^2)^2 ≧ 3{a^r･b^(4-r) + b^r･c^(4-r) + c^r･a^(4-r)},
なら簡単だが･････
0292１３２人目の素数さん
2011/04/19(火) 23:12:30.94４／３ ≦ r ≦ 8/3 のとき
0293１３２人目の素数さん
2011/04/20(水) 00:16:10.72相加･相乗平均で
{(3/4)r -1}a^4 +2(ab)^2 +{2 -(3/4)r}b^4 ≧ 3a^r･b^(4-r),
巡回的にたす。
0294１３２人目の素数さん
2011/04/20(水) 00:20:00.490295１３２人目の素数さん
2011/04/20(水) 01:31:20.75それは, 秘密です. DX
0296１３２人目の素数さん
2011/04/20(水) 02:06:55.71Kalva homepage
http://web.archive.org/web/20080205091131/www.kalva.demon.co.uk/index.html
検索したら、次のサイトが出てきたけど、扱ってる問題が減ってない？
http://www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/index.html
0297１３２人目の素数さん
2011/04/23(土) 23:38:27.16任意の実数 x[1], x[2], ……, x[n] に対して 次を示せ。
納k=1,n] {x[k]/(1+納L=1,k] x[L]^2)} < √n,
（じゅー）
ｷｬｽﾌｨｰ 不等式 549, 574
0298１３２人目の素数さん
2011/04/24(日) 02:39:10.57〔補題〕
負でない実数 y[1], y[2], ……, y[n] に対して
Σ[k=1,n] y[n]／(1+y[1]+y[2]+････+y[n])^2 < 1,
0299１３２人目の素数さん
2011/04/25(月) 20:25:11.82Dが△ABCの内部にあるとき
PA+PB+PC+PDが最小となるPはP=Dのときであることを示せ
0300１３２人目の素数さん
2011/04/26(火) 00:31:40.08〔補題〕
負でない実数 y[1], y[2], ……, y[n] に対して
Σ[k=1,n] y[k]／(1+y[1]+y[2]+････+y[k])^2 < 1,
0301１３２人目の素数さん
2011/04/26(火) 12:45:59.84ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/542
AB＝3、BC＝4、CA＝5 の三角形において
36°＜ C ＜ 37° を示せ。
0302１３２人目の素数さん
2011/04/26(火) 22:58:09.11∠B = 90ﾟ だから
cos(C) = 4/5, sin(C) = 3/5,
cos(2C) = 7/25,
sin(4C)/sin(C) = 4cos(C)cos(2C) = 112/125 < 1,
sin(4C) < sin(C),
36ﾟ < 180ﾟ/5 < C
C ≒ 36.8699ﾟ
0303１３２人目の素数さん
2011/04/27(水) 02:34:23.79PA ≧ DA - PDcos(∠ADP), (PからADの延長線に垂線を下ろす)
PB ≧ DB - PDcos(∠BDP),
PC ≧ DC - PDcos(∠CDP),
∴ PA + PB + PC + PD ≧ (DA + DB + DC) + PD{1-cos(ADP) －cos(BDP) -cos(CDP)}
次に 1-cos(ADP) －cos(BDP) -cos(CDP) ≧ 0 を示せばよい。
0304１３２人目の素数さん
2011/04/27(水) 09:45:05.17正解です。
右側評価をお願いします。
0305１３２人目の素数さん
2011/04/27(水) 10:02:46.600306１３２人目の素数さん
2011/04/28(木) 02:09:28.16∠B=90ﾟ ゆえ直角三角形で
tan(C) = 3/4,
tan(5C) = {(tan C)^5 -10(tan C)^3 +5(tan C)}/{1 -10(tan C)^2 +5(tan C)^4}
= 237/(4･19･41),
0 < 5C - 180ﾟ < tan(5C) = 237/(4･19･41) ≒ 4.3578625ﾟ,
180ﾟ < 5C < 184.3578625ﾟ
36ﾟ < C < 36.8715725ﾟ
東大入試作問者スレ１９-578
0307１３２人目の素数さん
2011/04/28(木) 12:55:42.80このとき、
a_1/b_1 + a_2/b_2 + ..... a_n/b_n ≧ n を示せ。
って有名だっけ？
0308１３２人目の素数さん
2011/04/28(木) 14:44:03.420309１３２人目の素数さん
2011/04/28(木) 14:51:01.39\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}≧\frac{\sqrt{2}}{4}}(\sqrt{a^2+b^2} +\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)
0311１３２人目の素数さん
2011/04/29(金) 06:47:11.862(a^2 + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2 ≧ (a+b)^2, より
(a^2)/(a+b) = (a-b)/2 + (a^2 +b^2)/{2(a+b)} ≧ (a-b)/2 + {(√2)/4}√(a^2 + b^2),
循環的にたす。
0312１３２人目の素数さん
2011/04/29(金) 08:23:28.12そんな変形、思いつきませぬ！
0313１３２人目の素数さん
2011/04/29(金) 09:15:15.97(a^2 +b^2)/{2(a+b)} ≧ (a+b)/4 と変形できるから、循環的に足して、
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ (a+b+c)/2
となったけど、
{(√2)/4}*{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
と、どっちが大きいん？
0314１３２人目の素数さん
2011/04/29(金) 09:51:49.21a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
≧ {(√2)/4}*{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
≧ (a+b+c)/2
これで合ってるよね？ ｳﾋｮｯ！
0315１３２人目の素数さん
2011/04/29(金) 11:14:28.552a-b+3c-15d-12e=23
2a-6b-c-5d+11e=46
のとき
6a-3b+9c-15d+24e
の最小値を求めよ
0316311
2011/04/29(金) 16:09:24.65√(a^2 + b^2) ≧ {(√2)/2}(a+b) より、･････
の方がベターだな。
>>314 は対称式。
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
≧ (a+b+c)/2,
かな？
0317１３２人目の素数さん
2011/04/29(金) 16:45:31.78f = 2a -b +3c -15d -12e,
g = 2a -6b -c -5d +11e,
h = 10b +8c +3d,
とおくと
6a -3b +9c -15d +24e
= (9/23)f + (60/23)g + (30/23)h
= (9/23)*23 + (60/23)*46 + (30/23)h (← 題意)
= 129 + (30/23)h
≧ 129, (← 題意)
等号成立は (a,b,c,d,e) = (35/2,0,0,0,1) のとき。
0318１３２人目の素数さん
2011/04/29(金) 18:43:56.56> a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
> ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
> ≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
> ≧ (a+b+c)/2,
さらに改良しやがったな、こんちきしょう（笑）
さすが不等式ヲタ！ にくいぜっ！
0319１３２人目の素数さん
2011/04/29(金) 20:59:49.54> a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
> ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
ここが分かりません…
> ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
> ≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
ここはCSでシコシコするんですね
0320１３２人目の素数さん
2011/04/29(金) 21:13:18.80シコシコする、or シコる、というのか・・・（笑）
0321１３２人目の素数さん
2011/04/29(金) 22:06:13.23f と g の係数をうまく変えて
6a -3b +9c -15d +24e = ●f + ●g + ●h'
となる h と異なる h' > 0 が取れて、最小値が変わったりしないのかな？
0322１３２人目の素数さん
2011/04/30(土) 01:34:37.87f(x,y,z)=(4x^2+4xz+3y^2+3z^2)/(2x^2+2xz+y^2+z^2)
の最大値を求めよ
0323１３２人目の素数さん
2011/04/30(土) 03:58:12.84f(x,y,z) ={(2x+z)^2 +3y^2 +2z^2}/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2},
4 - f(x,y,z) = {(2x+z)^2 +y^2}/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2} ≧ 0,
等号成立は 2x+z=y=0 のとき。
ついでに最小値は
f(x,y,z) - 2 = (y^2 +z^2)/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2} ≧ 0,
等号成立は y=z=0 のとき。
0324１３２人目の素数さん
2011/04/30(土) 12:13:00.52frac{ab+1}{(a+b)^2}+frac{bc+1}{(b+c)^2}+frac{ca+1}{(c+a)^2}≧3
を証明せよ。
0325１３２人目の素数さん
2011/04/30(土) 22:33:26.86a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
やっぱ、これが分からんです
0326１３２人目の素数さん
2011/05/01(日) 12:59:13.282{a^2 + b^2 + (b+c)(c+a)} = a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 ≦ 4,
ab + 1 ≧ ab + (1/2){a^2 + b^2 + (b+c)(c+a)}
= (1/2)(a+b)^2 + (1/2)(b+c)(c+a),
(左辺) ≧ (3/2) + (1/2){(b+c)(c+a)/(a+b)^2 + cyclic.}
≧ (3/2) + (3/2) (← 相加･相乗平均)
= 3,
0327１３２人目の素数さん
2011/05/01(日) 14:41:38.31相撲の四股を踏む動作は、大地を踏みしめることで土の下に潜む「醜(ｼｺ)」を鎮めるための動作とされている。
醜（シコ）：醜悪なもの、強く恐ろしいもの。
0328１３２人目の素数さん
2011/05/01(日) 20:33:40.90暇つぶしにフラリと訪れて、サックリ解いて立ち去るような・・・
何者なんだ？
0329１３２人目の素数さん
2011/05/01(日) 20:59:56.980330１３２人目の素数さん
2011/05/02(月) 05:19:12.091 -cos(ADP) - cos(BDP) - cos(CDP) = 1 - ｅP・(ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C),
ここに
ｅ_A、ｅ_B、ｅ_C、ｅP は DA、DB、DC、DP方向の単位ベクトルである。
|ｅ_P| = 1 と下の補題から 上式 ≧ 0 が成り立つ。
〔補題〕
Dが△ABCの内部にあるとき、
|ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C | ≦ 1,
(略証)
ｅ_A = (cosα, sinα)
ｅ_B = (cosβ, sinβ)
ｅ_C = (cosγ, sinγ)
とおく。(0≦α<β<γ<2π)
題意より、DA,DB,DC が 180ﾟ以内に収まることはない。
∴ 0 <β-α<π,
0 <γ-β<π,
π <γ-α<2π,
このとき
|ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C |^2
= (cosα+cosβ+cosγ)^2 + (sinα+sinβ+sinγ)^2
= 3 + 2cos(β-α) + 2cos(γ-β) + 2cos(γ-α)
= -3 + 4cos((β-α)/2)^2 + 4cos((γ-β)/2)^2 + 4cos((γ-α)/2)^2
= 1 + 8cos((β-α)/2)cos((γ-β)/2)cos((γ-α)/2)
≦ 1, (終)
0331１３２人目の素数さん
2011/05/02(月) 10:21:35.49frac{1}{a+2b+3}+frac{1}{b+2c+3}+frac{1}{c+2a+3}≦1/3
を証明せよ。
0332１３２人目の素数さん
2011/05/02(月) 21:54:16.57同次型の二変数関数の最大最小の解法って
何か定石みたいなのあるの？
0333１３２人目の素数さん
2011/05/02(月) 22:06:04.19(abc)^(1/3) = g とおくと、与式は
1/{a+2b+3(g/2)} + 1/{b+2c+3(g/2)} + 1/{c+2a+3(g/2)} ≦ 1/{3(g/2)}
(右辺) - (左辺)
= {(a+2b)(b+2c)(c+2a) - (27/4)(a+b+c)gg - (27/4)ggg} / D (←通分)
= {24(aab+bbc+cca) + 48(abb+bcc+caa) +27abc -81(a+b+c)gg} /(12D)
= {(19aab +5cca + 35caa +13abb +9abc -81agg) + cyclic} /(12D)
= {a(19ab +5cc +35ca +13bb +9bc -81gg) + cyclic} /(12D)
= {5a(ab+ab+cc-3gg) + 13a(ca+ca+bb-3gg) + 9a(ab+bc+ca-3gg) + cyclic} /(12D)
≧ 0, (相加･相乗平均)
ここに D = [3(g/2)] [a+2b+3(g/2)] [b+2c+3(g/2)] [c+2a+3(g/2)],
0334１３２人目の素数さん
2011/05/02(月) 23:09:47.20ない。
y/x=u で一変数に還元するのみ。
0335１３２人目の素数さん
2011/05/03(火) 06:01:51.43少人数の自演者が、自分で問題出して自分で解いてるんだよ。
0336１３２人目の素数さん
2011/05/03(火) 07:30:14.110337１３２人目の素数さん
2011/05/03(火) 14:02:22.47A=
┌+4,+2,+6┐
│+1,+2,+5│
│+0,+1,+1│
└-3,+0,+3┘
b=
┌-3┐
│+1│
│+2│
└+3┘
１．0.102
２．0.103
３．0.104
４．0.105
５．0.106
0338１３２人目の素数さん
2011/05/03(火) 14:15:35.62f(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2+4xy+4yz
の最大値を求めよ
log1.5に最も近い数値はどれか
１．0.38
２．0.4
３．0.42
４．0.44
５．0.46
-2a-b+c+d=2
-3a+b+c-d=1
a,b,c,d≧0
のもとで
-6a+2b+5c+3dの最小値を求めよ
0339◇Pandysv26
2011/05/03(火) 14:43:50.270340１３２人目の素数さん
2011/05/03(火) 17:35:34.36５
Ax-b =
[4x+2y+6z+3]
[x+2y+5z-1]
[y+z-2]
[-3x+3z-3]
||Ax-b||^2 = (4x+2y+6z+3)^2 + (x+2y+5z-1)^2 + (y+z-2)^2 + (-3x+3z-3)^2
= 26x^2 + 9y^2 + 71z^2 + 20xy + 46yz + 40zx +40x +4y +4z + 23
= 26X^2 + 9Y^2 + 71Z^2 + 20XY + 46YZ + 40ZX + (9/85)
= (1/9){(10X+9Y+23Z)^2 + 134X^2 + 110Z^2 -100ZX} + (9/85)
= (1/9){(10X+9Y+23Z)^2 + 50(X-Z)^2 + 84X^2 + 60Z^2} + (9/85)
≧ 9/85
= 0.105882353,
ここに、X=x+(225/170), Y=y-(363/170), Z=z+(59/170) とおいた。
（平行移動した。）
〔別法〕
F(X,Y,Z) = 26X^2 + 9Y^2 + 71Z^2 + 20XY + 46YZ + 40ZX
とおく。Fの固有多項式は
f(λ) = (26-λ)(9-λ)(71-λ) + 2(10*20*23) -23*23(26-λ) -20*20(9-λ) -10*10(71-λ)
= -λ^3 +106λ^2 -1690λ+1360
∴ λ≦0 ならば f(λ) ≧ 1360
ところで、実対称行列の固有値はすべて実数(*)。
∴ λ > 0
∴ Fは正定値、 F(X,Y,Z) ≧ 0 (等号成立は X=Y=Z=0 のみ)
*) エルミート行列の場合も成立つ。
0341１３２人目の素数さん
2011/05/03(火) 18:26:59.88最大値
5(x^2+y^2+z^2) - f(x,y,z) = 4x^2 +2y^2 +4z^2 -4xy -4yz
= (2x-y)^2 + (y-2z)^2 ≧ 0,
最小値
f(x^2+y^2+z^2) + (x^2+y^2+z^2) = 2x^2 +4y^2 +2z^2 +4xy +4yz
= (x+2y+z)^2 + (x-z)^2 ≧ 0,
〔別解〕
軸を回して
u = (x-y+z)/√3,
v = (x-z)/√2,
w = (x+2y+z)/√6,
とおく。
u^2 +v^2 +w^2 = x^2 +y^2 +z^2,
で
f(x,y,z) = (-1)u^2 +1v^2 +5w^2,
0342１３２人目の素数さん
2011/05/03(火) 22:19:53.71２
〔解1〕
(3/2)^2 = 2*(9/8) = 2*(1 + 1/8),
2log(3/2) = log(2) + log(9/8) ≦ log(2) + 1/8,
= 0.69314718 + 0.125
= 0.81814718
log(3/2) ≦ 0.40907359
〔解2〕
(3/2)^5 = (2^3)(243/256) = (2^3)(1 - 13/256)
5log(3/2) = 3*log(2) + log(243/256)
≦ 3*log(2) - 13/256
= 3*0.69314718 - 0.05078125
= 2.02866029
log(3/2) ≦ 0.40573206
〔解3〕
(3/2)^12 = (2^7)(531441/524288) = (2^7){1 + 7153/(2^19)},
12log(3/2) = 7log(2) + log(531441/524288)
≦ 7log(2) + 7153/(2^19)
= 7*0.69314718 + 0.013643265
= 4.86567353
log(3/2) ≦ 0.40547279
なお、log(3/2) = 0.405465108
0343１３２人目の素数さん
2011/05/04(水) 01:24:52.76PA + PB + PC = f(P) とおく。
〔系〕
P,Qが△ABCの内部にあるとき
|f(P)-f(Q)|/PQ ≦ 1,
0344１３２人目の素数さん
2011/05/04(水) 03:14:00.34|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
0346１３２人目の素数さん
2011/05/04(水) 11:11:36.85>>344
e = 2.71828183 は使っていい？
3^(1/3) ≦ e^(1/e),
の対数をとって
log(3) ≦ 3/e = 1.10363832 (1.09861229)
〔解1〕
(3/2)^3 = 3*(9/8) = 3*{1 + 1/(2^3)},
3log(3/2) = log(3) + log(9/8) ≦ 3/e + 1/(2^3),
log(3/2) ≦ 1/e + 1/(3*2^3) = 0.4095461
〔解2〕
(3/2)^8 = (3^3)(243/256) = (3^3){1 - 13/(2^8)},
8log(3/2) = 3log(3) + log(243/256) ≦ 9/e - 13/(2^8),
log(3/2) ≦ (9/8e) - 13/(8*2^8) = 0.4075167
〔解3〕
(3/2)^19 = (3^7)(531441/524288) = (3^7){1 + 7153/(2^19)},
19log(3/2) = 7log(3) + log(531441/524288) ≦ 21/e + 7153/(2^19)
log(3/2) ≦ (21/19e) + 7153/(19*2^19) = 0.40732166
0347１３２人目の素数さん
2011/05/04(水) 15:06:56.84log(3) = 1 + log(3/e) ≦ 1 + (3/e -1) = 3/e,
0348１３２人目の素数さん
2011/05/06(金) 16:43:56.28A,B,C,Dのどの三点をとっても同一直線上になく
線分ACとBDが一点で交わるとき
PA+PB+PC+PDが最小となる点Pの位置を決定せよ
0349１３２人目の素数さん
2011/05/06(金) 21:59:52.30>>299 の類題でござるな。
線分ACとBDが交わるから、ABCD は凸四角形。
PA + PC ≧ AC,
PB + PD ≧ BD より、
PA + PB + PC + PD ≧ AC + BD,
より 対角線の交点。
一方、Dが△ABCの内部（または辺上）にあるときは
>>299-303 により D.
0350１３２人目の素数さん
2011/05/06(金) 22:07:51.60a,b,c≧ 0 とする。相加・相乗平均を用いて次式を示せ。
{(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) ≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3,
等号成立は a=b=c のとき。
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/593-595
ｷｬｽﾌｨｰ - 高校数学 - 不等式スレ
0351１３２人目の素数さん
2011/05/06(金) 23:06:06.34(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
0352１３２人目の素数さん
2011/05/06(金) 23:55:39.25A(0,y)=y+1
A(x+1,0)=A(x,1)
A(x+1,y+1)=A(x,A(x+1,y))
を満たす
A(x+1,y)>A(x,y)を示せ
0353猫は重症のかまってちゃん ◆ghclfYsc82
2011/05/07(土) 06:33:28.420354１３２人目の素数さん
2011/05/07(土) 15:18:57.49a,b,c≧0 のとき
(a+b+c)/3 ≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3 ≧ (abc)^(1/3),
これで合ってるよね？ ｳﾋｮｯ！
0355１３２人目の素数さん
2011/05/07(土) 16:19:36.97左から２つめ
ab+bc+ca =t とおく。
(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2 = (1/8){(a+b+c)t-abc}
= (1/9)(a+b+c)t + (1/72){(a+b+c)t-9abc}
≧ (1/9)t(a+b+c)
= (1/9)t√(a^2 +b^2 +c^2 +2t)
≧ (1/9)t√(3t)
= (t/3)^(3/2),
３つめは
(1/3)(ab+bc+ca) = (1/9){(ab+bc+ca) +a(b+c) +b(c+a) +c(a+b)}
≧ (1/9){(ab+bc+ca) +2a√bc +2b√(ca) +2c√(ab)}
= (1/9){√(ab) +√(bc) +√(ca)}^2,
ぬるぽ
0356１３２人目の素数さん
2011/05/07(土) 19:16:23.92(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
0357１３２人目の素数さん
2011/05/08(日) 21:07:45.02frac{a(a+2)}{2a^2+1}+\frac{b(b+2)}{2b^2+1}+frac{c(c+2)}{2ｃ^2+1}≧0
0358１３２人目の素数さん
2011/05/09(月) 02:53:53.07対称式なので、いつものように a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおいて通分する。
(左辺) = {(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca) + [(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]}／{(a+b)(b+c)(c+a)}
= {(s^2 -2t)t + (t^2 -2su)}／(st-u)
= {2(s^2 -2t)t/3 + (s^2 -2t)t/3 + (t^2 -2su)}／(st-u)
≧ {2(s^2 -2t)t/3 + (9/32t)(st-u)^2}／(st-u) (←補題)
≧ {(√3)/2}√(s^2 -2t) (←相加･相乗平均)
= (右辺),
〔補題〕
(s^2 -2t)t/3 + (t^2 -2su) ≧ (9/32t)(st-u)^2,
(略証)
(左辺) - (右辺) = (1/3)(t^2 -3su) + (7/144)s(st-9u) + (1/288t){(st)^2 -81u^2} ≧0,
しかし、基本対称式を使うやり方は、どうもマンドクセ.....
0359１３２人目の素数さん
2011/05/09(月) 04:48:30.04ありがとうございます、(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
公式一発ではムリポだったので、基本対称式を使うしかないと思って、
ゴリゴリ計算はしていたのですが、私には辿りつけませんでした…orz
0361１３２人目の素数さん
2011/05/09(月) 23:56:19.96{(a^3+b^3+c^3)/3}^(1/3) (r=3)
≧ {(a^2+b^2)/(a+b) + (b^2+c^2)/(b+c) + c^2/(c+a)}/3 (r～5/2)
≧ √{(a^2 + b^2 + c^2)/3} RMS(r=2)
≧ {(√2)/6}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)} (r～3/2)
≧ (a+b+c)/3 相加平均(r=1)
≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) (r～3/4)
≧ √{(ab+bc+ca)/3} (r～1/2)
≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3 (r～1/4)
≧ (abc)^(1/3) 相乗平均(r→0)
≧ 3abc/(ab+bc+ca), 調和平均(r=-1)
〔rの意味〕
a,b,c が近いときは
{(a^r + b^r + c^r)/3}^(1/r) ～ (abc)^(1/3) + (r/18)*{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2},
となる。
0362１３２人目の素数さん
2011/05/10(火) 02:46:58.180363１３２人目の素数さん
2011/05/10(火) 06:41:22.702ch初心者は黙ってろ！
0364１３２人目の素数さん
2011/05/10(火) 11:08:11.69a,b,c≧0 のとき
(a+b+c)/3 ≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3 ≧ (abc)^(1/3)
By AM-GM, frac{a+b+c}{3}=\frac 13(frac{a+b}{2}+frac{b+c}{2}+frac{c+a}{2})≧(frac{a+b}{2}*frac{b+c}{2}*frac{c+a}{2})^(1/3)
By AM-GM, (a+b)(b+c)(c+a)≧8abc⇒(frac{a+b}{2}*frac{b+c}{2}*frac{c+a}{2})^(1/3)≧(abc)^(1/3)≧(frac{ab+bc+ca}{3})^(1/2)
by Newton's Inequality.
By QM-AM, (frac{ab+bc+ca}{3})^(1/2)≧frac{√ab+√bc+√ca}{3}≧(abc)^(1/3) Done!
0365１３２人目の素数さん
2011/05/11(水) 16:25:20.692011/05/09(月) 23:53:25.24
>>316 (>>314 >>309)と >>354 (>>350) を組合わせたら、どうなりまつか？
361:１３２人目の素数さん[sage]
2011/05/09(月) 23:56:19.96
>>360
この間約３分
0366１３２人目の素数さん
2011/05/11(水) 23:56:28.85別に珍しくなかろう
俺なんか起きている間はずっと2ch見てるから
その気になれば直ぐに返事できるぜ
0367１３２人目の素数さん
2011/05/11(水) 23:57:33.38それより不等式の話をしろ
嫌なら消えろ！
0368１３２人目の素数さん
2011/05/11(水) 23:59:32.170369１３２人目の素数さん
2011/05/12(木) 00:03:06.74('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>368
0370１３２人目の素数さん
2011/05/12(木) 00:05:48.100371１３２人目の素数さん
2011/05/12(木) 02:19:08.02さすがに苦しいだろｗ
0372１３２人目の素数さん
2011/05/12(木) 07:00:03.07バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
0373必ずレスくるよ！ ◆jK4/cZFJQ0Q6
2011/05/12(木) 17:02:29.89気持ち悪いぞ！キチガイ！
バカオツ（＾∇＾）！
キチガイはたくさんだな！
パクリ乙（ーー；）警！
キチガイ丸出し！
偽物オツピーオツピー♪バカオツケー♪
頑張れ！偽物！
0374１３２人目の素数さん
2011/05/14(土) 13:31:11.56a+b+c=0を満たすすべての実数に対して,
frac{a(a+p)}{pa^2+1}+frac{b(b+2)}{pb^2+1}+frac{c(c+p)}{pｃ^2+1}≧0
が成り立つとき, pのとりうる値の範囲を求めよ。
0375１３２人目の素数さん
2011/05/14(土) 13:34:04.62a+b+c=0を満たすすべての実数a,b,cに対して,
frac{a(a+p)}{pa^2+1}+frac{b(b+p)}{pb^2+1}+frac{c(c+p)}{pｃ^2+1}≧0
が成り立つとき, pのとりうる値の範囲を求めよ。
0376１３２人目の素数さん
2011/05/14(土) 13:36:23.440377１３２人目の素数さん
2011/05/14(土) 23:15:41.410378１３２人目の素数さん
2011/05/15(日) 01:13:00.72バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
0379１３２人目の素数さん
2011/05/15(日) 06:13:34.94海外では, 中学生レベルにしか値しない。
さっさと, 店じまいしろ。378は, 精神年齢, 低すぎ！
0380１３２人目の素数さん
2011/05/15(日) 06:32:31.69バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
0381１３２人目の素数さん
2011/05/15(日) 08:08:29.47('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>379
0382偽物発生中 ◆jK4/cZFJQ0Q6
2011/05/15(日) 08:41:56.70偽物注意！！！！！
頑張れよ！偽物キチガイ！
パクリ乙（ーー；）バカオツ（ーー；）
ニートは数学勉強だ！
>>380
パクリ乙！！！！！
さすがキチガイ！！！！！
悔しいのか？？？www
頑張れよ！偽物カスカスニート！
0383１３２人目の素数さん
2011/05/21(土) 21:32:59.16a,b,cは実数、ab+bc+ca =t とおくとき、次を示せ。(じゅー)
(1) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2) ≧ 9t + (8/9)(t-3)^2,
等号成立は a=b=c=±1, t=3 のとき。
(2) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2) ≧ t^2 +(13/4)t +8,
等号成立は a=b=c=±√(3/2), t=9/2 のとき。
0384猫は海賊 ◆4c5pft6zx.
2011/05/21(土) 21:36:53.450385猫は海賊 ◆MuKUnGPXAY
2011/05/21(土) 21:48:52.940386猫は海賊 ◆4c5pft6zx.
2011/05/21(土) 21:59:32.000387１３２人目の素数さん
2011/05/24(火) 21:43:11.36(3) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
を 3つの対称式の平方和で表わせ。
0388１３２人目の素数さん
2011/05/25(水) 01:33:08.93(p^2 + q^2)(r^2 + s^2) = (pr + qs)^2 + (ps - qr)^2 … Lagrangeの恒等式
を繰り返し用いると、
(a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
= { (ab + 2)^2 + (a√2 - b√2)^2 }*(c^2 +2)
= { (ab + 2)c + (a√2 - b√2)√2 }^2 + { (ab + 2)√2 + (a√2 - b√2)c }^2
= { (ab + 2)c + 4(a-b) }^2 + 2{ (ab + 2) + (a - b)c }^2
= (abc + 2c + 4a -4b)^2 + 2(ab + 2 + ac - bc)^2
失敗でござるよ、 ドンマイ ( ﾟ∀ﾟ)ノ
0389１３２人目の素数さん
2011/05/25(水) 02:20:45.94(a^2 + p^2)(b^2 + q^2)(c^2 +r^2) = (abc-aqr-pbr-pqc)^2 + (pbc+aqc+abr-pqr)^2,
だと２つになるし･････
0390１３２人目の素数さん
2011/05/28(土) 10:38:16.63p=q=r=√2 を入れて
{abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2)^2 + (bc+ca+ab-2)^2,
0391１３２人目の素数さん
2011/06/10(金) 17:58:19.780392１３２人目の素数さん
2011/06/10(金) 20:45:14.100393１３２人目の素数さん
2011/06/10(金) 20:49:20.27分子を２にして、場合分けしてAM-GM
AM-GMを使うときは、正でないと使えないぞ！
∴-1 ≦ 2(x-1)/(x^2-2x+2) ≦ 1
宿題は質問スレに逝け！
0394１３２人目の素数さん
2011/06/11(土) 02:05:20.80x-1 = X とおくと、
y = 2X/(1+X^2),
1±y = 1 ± 2X/(1+X^2) = (1±X)^2 /(1+X^2) ≧ 0,
でもいい？
0395１３２人目の素数さん
2011/06/11(土) 04:24:49.920396１３２人目の素数さん
2011/06/11(土) 05:50:22.01ab/(a+b) + cd/(c+d) + ef/(e+f) ≦ abcdef/(a+b+c+d+e+f)
( ﾟ∀ﾟ)わけがわからないよ
0397１３２人目の素数さん
2011/06/12(日) 19:09:15.01なんか変じゃない ( ﾟ∀ﾟ)？
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=410926
0398１３２人目の素数さん
2011/06/12(日) 19:50:00.190399１３２人目の素数さん
2011/06/15(水) 02:11:04.50〔補題〕
a1 + a2 = A,
b1 + b2 = B,
とおくと
a1･b1/(a1+b1) + a2･b2/(a2+b2) ≦ A･B/(A+B),
(略証)
(右辺) - (左辺) = (a1･b2-a2･b1)^2／{(a1+b1)(a2+b2)(A+B)} ≧ 0,
0400１３２人目の素数さん
2011/06/19(日) 05:51:38.00a_ij>0, (i=1,2,･････,n)(j=1,2,････,m)
Σ[j=1,m] a_ij = A_i, とおくとき
Σ[j=1,m] 1／{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≦ 1／(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An),
(by kuing, Nov.20, 2009, 5:47 am) m=2
(by Mavropnevma, Jun.10, 2011, 2:25 pm) m=2
0401１３２人目の素数さん
2011/06/19(日) 05:54:25.60(略証)
右辺を S とおく。1/S = 1/A1 + 1/A2 + ････ + 1/An,
コーシーより
{Σ[i=1,n] a_ij/(Ai)^2}･{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≧ (1/A1 + ････ + 1/An)^2 = 1/S^2,
よって
1／{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≦ {Σ[i=1,n] a_ij/(Ai)^2}･S^2,
j=1,2,･････,m についてたす。
(左辺) ≦ (1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An)･S^2 = S,
(proof by Vn2009, Nov.20, 2009, 8:21 am) m=2
(proof by tang zy, Nov.21, 2009, 2:50 am) m=2
(proof by hendrata01, Nov.23, 2009, 4:23 pm) m=2
(note by spanferkel, Nov.21, 2009, 3:30 am) m=3, etc.
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=313265
0402１３２人目の素数さん
2011/06/19(日) 06:11:46.69〔補題〕
x_ij > 0 のとき
A_i = (Σ[j=1,m] x_ij)／m, (i=1,2,････,n)
H_j = n／(Σ[i=1,n] 1/x_ij), (j=1,2,････,m)
とおくと、
(H1 + H2 + ････ + Hm)／m ≦ n／(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An),
0403１３２人目の素数さん
2011/06/19(日) 07:48:50.29(略証)
右辺を S とおく。n/S = 1/A1 + 1/A2 + ････ + 1/An,
コーシーより
{Σ[i=1,n] x_ij/(Ai)^2}･(Σ[i=1,n] 1/x_ij) ≧ (1/A1 + ････ + 1/An)^2 = (n/S)^2,
よって
H_j ≦ n･{Σ[i=1,n] x_ij/(Ai)^2}･(S/n)^2,
j=1,2,･････,m について相加平均する。
(左辺) ≦ n(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An)･(S/n)^2 = S,
0404１３２人目の素数さん
2011/06/29(水) 17:33:48.88http://www.math.kindai.ac.jp/~mathcon/mathcon13/mathcon13thmondai.pdf
0405１３２人目の素数さん
2011/07/01(金) 12:35:17.26abc = u とおく。
(上式)^3 = (a+b)/2･(b+c)/2･(c+a)/2
= {ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) +2u}/8
≧ (1/27){2ab(a+b) +2bc(b+c) +2ca(c+a) +15u} ← ※
= (1/27){ab(a+b)/2 +bc(b+c)/2 +ca(c+a)/2
+3(aab+u)/2 +3(abb+u)/2 +3(bbc+u)/2 +3(bcc+u)/2 +3(cca+u)/2 +3(caa+u)/2 +6u}
≧ (1/27){ab√(ab) +bc√(bc) +ca√(ca)
+3ab√(ca) +3ab√(bc) +3bc√(ab) +3bc√(ac) +3ca√(bc) + 3ca√(ab) +6u}
= (1/27){√(ab) +√(bc) +√(ca)}^3
= (右辺)^3
※のところが、どうやって見つけたのか分かりませぬ…
ところで、√a、√b、√c の基本対称式 s、t、u を使って、
力任せに (左辺)^3-(右辺)^3 を計算しても出来ますか？
差をとって分母払った式は 27s^2t^2 - 54s^3u -62t^3 +108stu -27u^2 で、
これが0以上になるかが示せない…
0406１３２人目の素数さん
2011/07/01(金) 22:16:20.04[問題A-2]
n個の実数値函数 u_1(x),u_2(x) ～ u_n(x) (a≦x≦b) を考える。このとき、次の不等式を示せ。
√{Σ[i=1,n] （∫[a,b] u_i(x)dx）^2 } ≦ ∫[a,b] √([i=1,n] u_i(x)^2) dx,
(略証)
√{Σ[i=1,n] u_i(x)^2} = U(x) ≧ 0 とおく。
コーシーより
Σ[i=1,n] u_i(x)･u_i(y) ≦ U(x)･U(y),
よって
(左辺)^2 = ∫[a,b] ∫[a,b] Σ[i=1,n] u_i(x)･u_i(y) dxdy
≦ ∫[a,b] U(x)dx・∫[a,b] U(y)dy
= (右辺)^2,
0407１３２人目の素数さん
2011/07/01(金) 23:13:10.37s^2 → (s^2 -3t) + 3t,
t^2 → (t^2 -3su) + 3su,
のように分解すると
27(s^2 -3t)(t^2 -2su) + 19t(t^2 -3su) + 3(st-9u)u ≧ 0,
0408１３２人目の素数さん
2011/07/04(月) 20:26:12.66〔補題〕
x_ij > 0 のとき
A_i = (Σ[j=1,n] x_ij)／n, (i=1,2,････,m)
G_j = (Π[i=1,m] x_ij)^(1/m), (j=1,2,････,n)
H_i = n／(Σ[j=1,n] 1/x_ij), (i=1,2,････,m)
とおくと、
(1) (A1･A2････Am)^(1/m) ≧ (G1 + G2 + ････ + Gn)／n,
(2) (H1･H2････Hm)^(1/m) ≦ n／(1/G1 + 1/G2 + ･････ + 1/Gn),
0409１３２人目の素数さん
2011/07/04(月) 20:33:17.08ヘルダーの不等式。
たとえば、まとめWiki を参照 >>1
(1) p_i → m, |a_ij|^m → x_ij, b_i = n･A_i, とおく。
(2) p_i → m, |a_ij|^m → 1/xij, b_i = n/H_i, とおいて、逆数をとる。
0410１３２人目の素数さん
2011/07/14(木) 04:04:48.39〔問題〕
abc=1, a,b,c>0 のとき
(a^2 +b^2)/(c^2 +a +b) + (b^2 +c^2)/(a^2 +b +c) + (c^2 +a^2)/(b^2 +c +a) ≧ 2,
0411１３２人目の素数さん
2011/07/14(木) 11:52:16.90分母の次数を２次の項だけに変えたいけど、うまくいかん…
0412１３２人目の素数さん
2011/07/15(金) 21:09:37.12〔問題〕
正の数 a、b、c、d に対して、
{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6}^(1/2) ≧ {(abc+abd+acd+bcd)/4}^(1/3)
0413１３２人目の素数さん
2011/07/16(土) 03:40:25.36[初代スレ.455-456]
(略解)
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), とおく。
f(x)=0 は重根を含めて4個の正の根をもつ。
f '(x)=0 も重根を含めて3個の正の根 α,β,γ をもつ。
f '(x) = 4(x-α)(x-β)(x-γ),
xの係数より 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) = 4(αβ + βγ + γα),
定数項より -(abc+abd+acd+bcd) = -4αβγ,
これを用いて 示すべき不等式を α,β,γ で表わすと
√{(αβ+βγ+γα)/3} ≧ (αβγ)^(1/3),
となる。これは相加･相乗平均の関係だから不等式は示された。
等号成立条件は α=β=γ で、このとき a=b=c=d.
0414１３２人目の素数さん
2011/07/16(土) 03:42:23.82[初代スレ.465]
0415１３２人目の素数さん
2011/07/16(土) 06:55:35.88まとめサイトの参考文献[9]の後に
[10] 三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1180...
を追加し、[10]～[13]を[11]～[14]にずらしました ( ﾟ∀ﾟ)
証明する際に、三角関数に置き換えるものも含めて、
三角関数がらみの不等式の問題がたくさん載っています
0416１３２人目の素数さん
2011/07/16(土) 07:00:21.68不等式（数学のかんどころシリーズ）、大関清太、共立出版、未定
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/series/kandokoro.html
「不等式への招待」が絶版となったので、超期待！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
0417１３２人目の素数さん
2011/07/16(土) 07:10:48.41実数 a、b、c に対して、
(a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) ≧ (ab +bc +ca -1)^2
左辺は良く見かけるけど、これは初めてのような希ガス…
0418１３２人目の素数さん
2011/07/16(土) 15:00:01.260419１３２人目の素数さん
2011/07/16(土) 15:03:45.05なん…だと！
0420１３２人目の素数さん
2011/07/16(土) 15:22:13.62a=tanα, b=tanβ, c=tanγとおく。明らかにcosαcosβcosγ≠0
1≧｜cos(α＋β＋γ)｜=｜cosαcosβcosγ-sinαsinβcosγ-cosαsinβsinγ-sinαcosβsinγ｜
｜1/(cosαcosβcosγ)｜≧｜1-tanαtanβ-tanβtanγ-tantγtanα｜
(cosα)^(-2)*(cosβ)^(-2)*(cosγ)^(-2)≧(1-tanαtanβ-tanβtanγ-tantγtanα)^2
{(tanα)^2+1}{(tanβ)^2+1}{(tanγ)^2+1}≧(tanαtanβ+tanβtanγ+tantγtanα-1)^2
より示される
等号成立は
Arctan(a)+Arctan(b)+Arctan(c)=0, ±π
(a,b,c)=(1,-1/2,-1/3)とか(2+√3,√3,1)とか
0421１３２人目の素数さん
2011/07/17(日) 02:08:41.04cos(α+β+γ) = ････
sin(α+β+γ) = cosα･cosβ･sinγ + cosα･sinβ･cosγ + sinα･cosβ･cosγ - sinα･sinβ･sinγ,
を使えば
(左辺) = 1/(cosα･cosβ･cosγ)^2
= (1-tanα･tanβ-tanβ･tanγ-tanγ･tanα)^2 + (tanα + tanβ + tanγ - tanα･tanβ･tanγ)^2
= (1-ab-bc-ca)^2 + (a+b+c-abc)^2,
0422１３２人目の素数さん
2011/07/17(日) 08:05:05.56a^3/(a+b)^2+b^3/(b+c)^2+c^3/(c+a)^2≧(a+b+c)/4
0423１３２人目の素数さん
2011/07/17(日) 09:15:12.504a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)≧0より
4a^3≧(a+b)^2(2a-b)
a^3/(a+b)^2≧(2a-b)/4
同様に繰り返して辺々足して与不等式
0424１３２人目の素数さん
2011/07/17(日) 15:20:11.270425１３２人目の素数さん
2011/07/17(日) 17:50:11.850426１３２人目の素数さん
2011/07/17(日) 18:07:58.810427１３２人目の素数さん
2011/07/17(日) 21:16:34.07P1 = (a+b+c+d)/4,
P2 = (ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6,
P3 = (abc+abd+acd+bcd)/4,
P4 = abcd,
とおくと
P1^4 ≧ P2^2 ≧ P1･P3 ≧ P4,
(略証)
P1^2 - P2 = (1/48){(a-b)^2 +(a-c)^2 +(a-d)^2 +(b-c)^2 +(b-d)^2 +(c-d)^2} ≧ 0,
P2^2 - P1･P3 = (1/288){(ab-ac)^2 + (ab-ad)^2 + (ab-bc)^2 + (ab-bd)^2 + ････
+ 4(ab-cd)^2 + 4(ac-bd)^2 + 4(ad-bc)^2} ≧ 0,
P1･P3 - P4 ≧ 0, (相加･相乗平均)
〔系〕 P1 ≧ √P2 ≧ (P3)^(1/3),
0428１３２人目の素数さん
2011/07/17(日) 22:06:41.54n変数のときも同様に、
P1 = (a1 + a2 + ･････ + an)/n,
P2 = {a1･a2 + ･････ + a(n-1)･an}/C[n,2],
P3 = {a1･a2･a3 + ･････ + a(n-2)･a(n-1)･an}/C[n,3],
とおくと
P1^4 ≧ P2^2 ≧ P1･P3,
(略証)
P1^2 - P2 = {1/[n^2 (n-1)]}{(a-b)^2 +(a-c)^2 +(a-d)^2 +(a-e)^2 + ･････} ≧ 0,
P2^2 - P1･P3 = {1/[n^2 (n-1)^2 (n-2)]}{(5-n)(ab-ac)^2 + (5-n)(ab-ad)^2 + (5-n)(ab-ae)^2 +････
+ 4(ab-cd)^2 + 4(ab-de)^2 + ･････} ≧ 0,
〔系〕 P1 ≧ √P2 ≧ (P3)^(1/3),
0429１３２人目の素数さん
2011/07/18(月) 00:06:54.77その変形は,自然に気づかないでしょう？
だれか, もう少し詳しく教えていただきませんか？
0430１３２人目の素数さん
2011/07/18(月) 01:21:39.49生姜ねぇ....
a^3 /(a+b)^2 ≧ γ/4,
とおく。
a^3 ≧ {(a+b)/2}{(a+b)/2}γ,
右辺は (a+b)/2, (a+b)/2, γの相乗平均の3乗。
これらの相加平均が a なら、相加･相乗平均で成立。
(a+b)/2 + (a+b)/2 + γ = 3a,
γ = 2a-b,
0431１３２人目の素数さん
2011/07/18(月) 01:26:59.250432１３２人目の素数さん
2011/07/18(月) 02:19:45.59あとは, CS, Jensen
これって,今月号の大数にのってたやつじゃねえ？
(1) に4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)があったような。
0433１３２人目の素数さん
2011/07/18(月) 04:27:35.04う～ん、ぬぬぬるぽ
と言いたかったのだな。
等号成立条件 (a+b)/2 = γ ⇔ a=b にも注意。
0434１３２人目の素数さん
2011/07/18(月) 11:59:43.812.AM-GM Σ(4a^3/(a+b)^2+(a+b)/2+(a+b)/2)≧3Σa
3. C.S. (a+b+c)(Σa^3/(a+b)^2)≧(Σa^2/(a+b))^2≧((a+b+c)/2)^2
4. Jensen
0435１３２人目の素数さん
2011/07/18(月) 14:17:03.31彼らのことも、たまには思い出してやってください
0436１３２人目の素数さん
2011/07/18(月) 15:11:08.550437１３２人目の素数さん
2011/07/18(月) 15:17:17.77Prouver que :
36≦4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)≦48.
0438１３２人目の素数さん
2011/07/18(月) 15:18:42.48Prouver que :
36≦4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)≦48.
0439１３２人目の素数さん
2011/07/18(月) 19:05:38.491/(1-x) ≧ 1+x より
1/(c^2 +a +b) = 1/{a^2 +b^2 +c^2 -(a^2 +b^2 -a-b)}
= 1/{S - (a^2 +b^2 -a-b)]}
≧ 1/S + (a^2 +b^2 -a-b)]/S^2
≧ 1/S + [a^2 +b^2 -(a+b)(a+b+c)/3]/S^2 (←題意)
= 1/S + [2(a-b)^2 +2ab-bc-ca]/(3S^2)
≧ 1/S + (2ab-bc-ca)/(3S^2)，
ここに S = a^2 +b^2 +c^2 とおいた。
(左辺) ≧ 2 + {(a^2 +b^2)(2ab-bc-ca) + cyclic}/(3S^2)
= 2 + {a(b-c)(b^2 -c^2) + cyclic}/(3S^2)
≧ 2,
0440１３２人目の素数さん
2011/07/18(月) 22:26:06.82正の数 a、b、c が abc=1 をみたすとき、
(a^2+b^2)/(c^2+a+b) + (b^2+c^2)/(a^2+b+c) + (c^2+a^2)/(b^2+c+a) ≧ 2
0441１３２人目の素数さん
2011/07/19(火) 00:21:55.69|ノ 三-二 ー二三 ノ ヽ
/ (ﾟ) (ﾟ)三二- ￣ - 三 (ﾟ) (ﾟ) |
| ( _●_) ミ三二 - ー二三 ( _●_) ミ テンション上がってきた！！
彡､ |∪| ､｀￣￣三- 三 彡､ |∪| ミ テンション上がってきた！！
/ ＿＿ ヽノ Y￣) 三 三 (/' ヽノ＿ |
(＿＿＿） ∩＿＿＿∩_ノ ヽ/ (＿＿＿）
0442１３２人目の素数さん
2011/07/19(火) 06:33:56.04まづ 0≦a,b,c,d≦3 を示す。 コーシーより
3(12-a^2) = (1+1+1)(b^2 + c^2 + d^2) ≧ (b+c+d)^2 = (6-a)^2,
0 ≧ 3(a^2 -12) + (6-a)^2 = 4a(a-3),
0≦a≦3,
b,c,d についても同様。
次に 0≦x≦3 で 2x^2 +4x -3 ≦ 4x^3 -x^4 ≦ 4x^2, を示す。
(4x^3 -x^4) - (2x^2 +4x-3) = (x+1)(3-x)(x-1)^2 ≧ 0,
4x^2 - (4x^3 -x^4) = x^2･(2-x)^2 ≧ 0,
x=a,b,c,d について和をとると
2*12 +4*6 -3*4 ≦ 与式 ≦ 4*12,
36 ≦ 与式 ≦ 48,
左等号成立は {3,1,1,1}
右等号成立は {2,2,2,0}
くそ～、テンション上がっちまった...
0443１３２人目の素数さん
2011/07/19(火) 09:27:04.020444１３２人目の素数さん
2011/07/19(火) 12:25:03.59> 次に 0≦x≦3 で 2x^2 +4x -3 ≦ 4x^3 -x^4 ≦ 4x^2, を示す。
神！ この不等式をどうやって思いつくのか謎！
0445１３２人目の素数さん
2011/07/19(火) 13:20:00.38f(1)=0.
f(3)=0.
f(x)=(x-1)^2(x-3)(x-d)=x^4-4x^3+ax^2+bx+c.
d=-1.
f(x)=x^4-4x^3+2x^2+4x-3.
0446１３２人目の素数さん
2011/07/20(水) 10:14:37.630447１３２人目の素数さん
2011/07/20(水) 17:21:02.920448１３２人目の素数さん
2011/07/20(水) 18:25:13.74正の数 x、y が x+y=1 をみたすとき、(x^x)(y^y) + (x^y)(y^x) ≦ 1
0449１３２人目の素数さん
2011/07/20(水) 21:26:23.94正解！
0450１３２人目の素数さん
2011/07/20(水) 23:35:36.28x^x-y^xとx^y-y^yは正負が一致するかともに0かなので
(x^x-y^x)(x^y-y^y)≧0
x^(x+y)+y^(x+y)≧(x^x)(y^y)+(x^y)(y^x)
左辺=x+y=1より
1≧(x^x)(y^y)+(x^y)(y^x)
0451１３２人目の素数さん
2011/07/21(木) 00:29:09.54神すぎる…
0452１３２人目の素数さん
2011/07/21(木) 09:53:30.81Prouver que : a^{b-a}+b^{a-b}≦2.
0453１３２人目の素数さん
2011/07/21(木) 10:21:14.26By the Weighted AM-GM, x^xy^y≦x^2+y^2, x^yy^x≦2xy
∴x^xy^y+x^yy^x≦(x+y)^2=1 Done!
0454１３２人目の素数さん
2011/07/21(木) 10:23:42.09難しい (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
ところで a^{b-a}+b^{a-b} の下限はいくらになるのですか？ ０にいくらでも近づく？
0455１３２人目の素数さん
2011/07/21(木) 10:27:42.91下限というか最小値は１かな？
0456１３２人目の素数さん
2011/07/21(木) 10:43:07.23Sorry, my proof was wrong. I thought that x, y are positive integers.
0457１３２人目の素数さん
2011/07/21(木) 10:59:00.100458１３２人目の素数さん
2011/07/21(木) 20:29:14.21p,q,x,y>0, p+q=1 ⇒ x^p･y^q ≦ px + qy,
0459１３２人目の素数さん
2011/07/22(金) 04:35:26.03すっかり忘れていた…
0460１３２人目の素数さん
2011/07/22(金) 04:35:52.11凸不等式から出る。別名 ベルヌーイの式。
数セミ、2010/08月号 NOTE (大塚氏) も参照。
0461１３２人目の素数さん
2011/07/30(土) 15:16:53.93( 1-x^m )^n + ( 1-y^n )^m ≧1
0462１３２人目の素数さん
2011/07/30(土) 17:25:09.46いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応
さっきから必死に頑張ってます！
ｂｙ>>859
0463コピペキチガイ必死w ◆osMsTqWzXY
2011/07/30(土) 17:25:21.59いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応
さっきから必死に頑張ってます！
ｂｙ>>462
0464１３２人目の素数さん
2011/07/30(土) 18:00:36.44むむむ…、分からん
0465１３２人目の素数さん
2011/07/30(土) 21:48:35.220466１３２人目の素数さん
2011/07/30(土) 22:10:33.54証明してみろ！
0467１３２人目の素数さん
2011/07/30(土) 22:49:10.99(略証)
g(x) = 1 - (1-x)^n とおくと (左辺) = 1 -g(x^m) + {g(x)}^m.
g(x) の逆函数を f(z) と書くと、 f(0)=0, f(1)=1 かつ
f(z) = 1 - (1-z)^(1/n) = (1/n)z + (1/2n)(1-1/n)z^2 + (1/3n)(1-1/n)(1-1/2n)z^3 + ……
a_k = {(k-1)/k}･{1 -1/(k-1)n}･a_{k-1} > 0.
∴ f(z) は下記の【命題268】の条件をみたす。
∴ f(z^m) ≧ {f(z)}^m,
∴ z^m ≧ g({f(z)}^m),
∴ {g(x)}^m ≧ g(x^m),
[初代スレ.563(7), 973]
[第２章.21, 346-347, 353]
0468１３２人目の素数さん
2011/07/30(土) 22:51:17.31【命題268】
f(x) は |x|≦1 で正則な解析函数で、f(0)=0, f(1)=1 かつ
マクローリン展開の係数がすべて非負実数とする。
このとき, 0≦x≦1 において
r>1 ⇒ f(x^r) ≧ {f(x)}^r.
0<r<1 ⇒ f(x^r) ≦ {f(x)}^r.
(math_board_watcherによる)
(略証)
題意より、f(x) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k), a_k ≧ 0.
Σ[k=1,∞) a_k = f(1) = 1.
Jensenの定理より（収束について適当な条件のもとで）
r>1 ⇒ x^r は下に凸 ⇒
f(x^r) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^r)^k = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)^r > {Σ[k=1,∞) a_k･x^k}^r = {f(x)}^r.
0<r<1 ⇒ x^r は上に凸 ⇒
f(x^r) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^r)^k = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)^r < {Σ[k=1,∞) a_k･x^k}^r = {f(x)}^r.
Yahoo! - 科学板 - 数学カテ - 出題(不等式)トピ - 268,272
0469１３２人目の素数さん
2011/07/31(日) 05:50:42.62きたか…！！
( ﾟдﾟ ) ｶﾞﾀｯ
.r ヾ
＿_|_| /￣￣￣/＿
＼/ /
0470１３２人目の素数さん
2011/07/31(日) 12:49:57.13以上の評価から
(1/2){(1+t)^(1-t) +(1-t)^(1+t)} ≦ 1 -t^2 +(3/4)t^4,
(1/2){(1+t)^(1-t) -(1-t)^(1+t)} ≦ t -(1/2)t^3,
log(2) = a とおくと
cosh(a/2) = 3/(2√2) = 1.06066017,
sinh(a/2) = 1/(2√2) = 0.35355339,
McLaurin展開係数がすべて正だから、t^2 について下に凸
cosh(at) ≦ 1 +(3√2 -4)t^2, (0<t<1/2)
sinh(at) ≦ at +(2√2 -4a)t^3, (0<t<1/2)
以上から
x^(2y) + y^(2x)
= {(1-t)/2}^(1+t) + {(1+t)/2}^(1-t)
≦ {1 -t^2 +(3/4)t^4}･{1 +(3√2 -4)t^2}
+ {t -(1/2)t^3}･{at +(2√2 -4a)t^3}
= 1 -(5-a-3√2)t^2 +{19/4 -(9/2)a -√2)t^4 +{-3 +2a +(5/4)√2}t^6
≦ 1 -(5-a-3√2)t^2 +{4-4a-(11/16)√2}t^4
≦ 1 -{4-(181/64)√2}t^2
= 1 -0.000427268･t^2, (0<t<1/2)
0471１３２人目の素数さん
2011/07/31(日) 13:28:12.30mn個の放射性核種を、m行n列の長方形状に並べる。どの核種も1分以内に確率xで崩壊するとする。
二つの事象を考える：
[a] 1分後、第1列～第n列のうち、m個すべてが崩壊している列が少なくとも1列ある。
[b] 1分後、第1行～第m行のすべての行で、少なくとも1個が崩壊している。
[a]の確率は 1 - (1-x^m)^n ・・・(1)
[b]の確率は (1-y^n)^m ・・・(2)
事象の包含関係から (2)≧(1) 。
0472１３２人目の素数さん
2011/08/01(月) 23:36:30.554 > (181/64)√2 の証明
128√2 > 181
2(128^2) - 181^2 = 7 > 0,
2X^2 - Y^2 = 7,
(X_0, Y_0) = (2, -1)
漸化式
X_{n+1} = 3X_n + 2Y_n,
Y_{n+1} = 4X_n + 3Y_n,
より
X_n = {1 - 1/(2√2)}(1+√2)^(2n) + {1 + 1/(2√2)}(1-√2)^(2n),
Y_n = {√2 -(1/2)}(1+√2)^(2n) + {-√2 -(1/2)}(1-√2)^(2n),
0473１３２人目の素数さん
2011/08/03(水) 10:28:00.18(x^2+y^2+z^2)^2*(1/x+1/y+1/z)≧1
0474１３２人目の素数さん
2011/08/03(水) 12:00:02.32ｙ＝－１。
ｚ＝－１。
0475１３２人目の素数さん
2011/08/03(水) 14:18:15.05胡散臭い不等式やと思うたら案の定か！
0476１３２人目の素数さん
2011/08/05(金) 01:50:12.86(1-x^m)^n + n･(1-x^m)^(n-1)･x^m + {1-y^n -nx･y^(n-1)}^m ≧ 1,
(1-x^m)^n + n･x^m･(1-x^m)^(n-1) + {n(n-1)/2!}x^(2m)･(1-x^m)^(n-2)
+ {1 -y^n -nx･y^(n-1) -[n(n-1)/2!]x^2･y^(n-2)}^m ≧ 1,
つまらねぇ....
0477１３２人目の素数さん
2011/08/05(金) 02:03:18.01A536, B4364, B4370
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201105&t=mat&l=en
0478１３２人目の素数さん
2011/08/05(金) 10:10:52.07abc+abd+acd+bcd≧4(abcd)^(3/4)=q
a+b+c+d=abc+abd+acd+bcdよりp=q
∴abcd=1
(左辺)
=2(ac+bd)+ab+bc+cd+da
≧2(ac+bd)+4(acbd)^(1/2)
=2{(1+ac)+(1+bd)}
≧2*2{(1+ac)(1+bd)}^(1/2)
=(右辺)
0479１３２人目の素数さん
2011/08/05(金) 10:12:41.91>>477
A536
0480１３２人目の素数さん
2011/08/06(土) 00:04:44.11[B4370.]
頂点A,B,C,の対辺の長さを a,b,c とする。BC=a, CA=b, AB=c,
内心をIとおき、AI=u, BI=v, CI=w とおく。このとき次を示せ。
(a+b+c)(1/u+1/v+1/w) ≦ 3(a/u + b/v + c/w),
（略解)
a>b ⇔ BC > CA ⇔ ∠BAC > ∠ABC ⇔ ∠BAI > ∠ABI ⇔ BI > AI ⇔ v > u,
∴ {a,b,c} と {1/u,1/v,1/w} とは同順
あとはチェビシェフに任した…
0481１３２人目の素数さん
2011/08/06(土) 00:36:05.93a,b,c>0, abc=1のとき
1/(a^3(b+c))+1/(b^3(c+a))+1/(c^3(a+b))≧3/2
を示せ
0482１３２人目の素数さん
2011/08/06(土) 02:51:33.91コーシーより、
(左辺) ≧ (1/a + 1/b + 1/c)^2 / {a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)}
= (1/a + 1/b + 1/c)^2 / {2abc(1/a + 1/b + 1/c)}
= (1/a + 1/b + 1/c) / (2abc)
≧ 3/{2(abc)^(4/3)} (相加･相乗平均)
= 3/2,
※ a=1/x, b=1/y, c=1/z, xyz=1 とおく方法もある。
0483１３２人目の素数さん
2011/08/06(土) 07:12:31.74成程な～
0484１３２人目の素数さん
2011/08/06(土) 11:26:48.95＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼ ちょ～っと待ったあ！！
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式ヲタ参上！
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
>>483の証明で、CS と AM-GM を用いて
1/(a^3(b+c))+1/(b^3(c+a))+1/(c^3(a+b)) ≧ 3/{2(abc)^(4/3)} …①
が示された。等号成立条件は a=b=c=1/3。 ここまでは見事ですが
だが、ここで abc=1より、①≧3/2 としていいのか？
①が成り立つのは a=b=c=1/3 のときであって、このとき abc = 1/27 なのだから、
①の右辺に abc=1 を代入してはダメじゃないの？
0485１３２人目の素数さん
2011/08/06(土) 12:53:39.49出直してこい
0486１３２人目の素数さん
2011/08/06(土) 13:39:40.36B4364
a+b≧2c
(a^2-b^2)/c≧2(a-b)…(1)
2a≧b+c
2(b-c)≧(b^2-c^2)/a
(c^2-b^2)/a≧2(c-b)…(2)
a+c＞b
(a^2-c^2)/b≧a-c…(3)
(1)(2)(3)を足して
(a^2-b^2)/c+(c^2-b^2)/a+(a^2-c^2)/b≧3a-4b+c
0487１３２人目の素数さん
2011/08/06(土) 13:42:38.090489１３２人目の素数さん
2011/08/06(土) 14:20:07.020490１３２人目の素数さん
2011/08/06(土) 14:40:31.10[B4364.]
a ≧ b ≧ c > 0 のとき 次を示せ。
(a^2 - b^2)/c - (b^2 - c^2)/a + (a^2 - c^2)/b ≧ 3a-4b+c,
(略解)
(左辺) ≧ (a^2 - b^2)/b - (b^2 - c^2)/b + (a^2 - c^2)/b
= 2(a^2 - b^2)/b
= {2(a+b)/b}(a-b)
≧ 4(a-b),
以下簡単。
0492１３２人目の素数さん
2011/08/06(土) 22:05:29.24[B4371.]
1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{cos(5π/7)}^2 = 24,
を示せ。
(略解)
(左辺) = 1/{cos(3π/7)}^2 + 1/{cos(2π/7)}^2 + 1/{cos(π/7)}^2
= 1/{cos(4π/7)}^2 + 1/{cos(2π/7)}^2 + 1/{cos(6π/7)}^2
= Σ[k=1,3] 1/{cos(2kπ/7)}^2,
{1 - T_7(x)}/(1-x) = 1 +7x -56x^3 +112x^5 -64x^7
= (1-x)(1 +4x -4x^2 -8x^3)^2,
cos(2kπ/7) (k=1,2,3) は 1 +4x -4x^2 -8x^3 = 0 の根。
1/cos(2kπ/7) (k=1,2,3) は y^3 +4y^2 -4y -8 = 0 の根。
Σ[k=1,2,3] 1/cos(2kπ/7) = -4,
Σ[k<L] 1/{cos(2kπ/7)cos(2Lπ/7)} = -4,
よって
Σ[k=1,3] 1/{cos(2kπ/7)}^2 = 4^2 -(-4)*2 = 24,
0493492
2011/08/06(土) 22:11:32.65[B4371.]
1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{sin(5π/14)}^2 = 24,
を示せ。
0494１３２人目の素数さん
2011/08/07(日) 09:00:49.56p(p+q)^3+q(q+r)^3+r(r+p)^3≧(8/27)(p+q+r)^4
0495１３２人目の素数さん
2011/08/07(日) 15:33:09.16G=p(p+q)^3+q(q+r)^3+r(r+p)^3-s(p^2+q^2+r^2-x^2)
Gp=(p+q)^3+3p(p+q)^2+3r(r+p)^2-2sp=0
p^3+3p^2q+3pq^2+q^3+3p^3+6p^2q+3pq^2+3r^3+6r^2p+3rp^2-2sp=0
Gq=(q+r)^3+3q(q+r)^2+3p(p+q)^2-2sq=0
Gr=(p+r)^3+3r(p+r)^2+3q(r+q)^2-2sr=0
...
p=q=r=x(1/3)^.5
f=3x^4(8/3^2)=x^4(8/3)
RH=(8/3^3)(3^4x^4/3^2)=x^4(8/3)
0496１３２人目の素数さん
2011/08/08(月) 00:04:38.81f(x) = x^m は単調増加で下に凸。(m≧1)
{p(p+q) + q(q+r) + r(r+p)}/(p+q+r)
= {4(p+q+r)^2 + (p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2}/{6(p+q+r)}
≧ (2/3)(p+q+r),
Jensen より
(左辺) = p･f(p+q) + q･f(q+r) + r･f(r+p)
≧ (p+q+r)･f({p(p+q) + q(q+r) + r(r+p)}/(p+q+r)) [下に凸]
≧ (p+q+r)･f((2/3)(p+q+r)) [単調増加]
= (2/3)^m･(p+q+r)^(m+1),
ぢゃね？
0497１３２人目の素数さん
2011/08/08(月) 09:27:01.040498１３２人目の素数さん
2011/08/08(月) 15:02:45.71Prove that
1/a + 1/b +1/c +1/d + 9/(a + b + c + d) ≧ 25/4
0499１３２人目の素数さん
2011/08/11(木) 00:34:49.08abcd=1よりa≧1である。
(左辺)
≧1/a+1/a+1/a+1/a+9/(a+a+a+a)
=25/(4a)
≧25/4
0500499
2011/08/11(木) 00:42:47.140501１３２人目の素数さん
2011/08/14(日) 14:11:15.950502１３２人目の素数さん
2011/08/14(日) 14:44:52.56口が悪いな、直したほうがいい
0503１３２人目の素数さん
2011/08/14(日) 17:09:15.690504１３２人目の素数さん
2011/08/15(月) 01:09:44.1419 = 3^2 + 3^2 + 1^2
(左辺) - (右辺) = (1/27){3p^2 -3q^2 +r^2 +(7/4)pq -(22/4)qr +(11/4)rp}^2 + (3/16){p(q-r)}^2 + cyclic.
とか
(左辺) - (右辺) = (1/27){3p^2 -3q^2 -r^2 +(113/28)pq -(131/28)qr +(46/28)rp}^2 + (3/16){p(q-r)}^2 + cyclic.
とか
0505１３２人目の素数さん
2011/08/15(月) 01:18:09.310506１３２人目の素数さん
2011/08/15(月) 10:35:43.41まづ p^4 + q^4 + r^4 の係数を見る。
左辺は1、右辺は 8/27 だから 1 - (8/27) = 19/27,
そこで 19 を３平方の和で表わした。
難しくない。
0507１３２人目の素数さん
2011/08/15(月) 20:13:45.05[A536.]
a,b,c,d は正の実数で a+b+c+d = abc+bcd+cda+dab のとき 次を示せ。
(a+b)(c+d) + (a+d)(b+c) ≧ 4√{(1+ac)(1+bd)},
(略解)
abcd≧1 のとき
(左辺) = (a+c)(b+d) + 2(ac+bd) ≧ 4√(abcd) + 2(ac+bd) ≧ 2(1+ac) + 2(1+bd) ≧ (右辺),
abcd≦1 のとき、補題により
t = (ab+cd) + (ac+bd) + (ad+bc) ≧ 6,
(左辺) ≧ 6 + (ac+bd) ≧ 4√{2 + (ac+bd)} ≧ 4√(1+ac+bd+abcd) = (右辺),
〔補題〕
a,b,c,d>0 で a+b+c+d = abc+bcd+cda+dab のとき、
(ab+cd) + (ac+bd) + (ad+bc) ≧6,
(略証)
左辺をtとおいて
2{(a+b+c+d)t - 6(abc+bcd+cda+dab)}
= (a+b)(c-d)^2 + (a+c)(b-d)^2 + (a+d)(b-c)^2 + (b+c)(d-a)^2 + (b+d)(c-a)^2 + (c+d)(a-b)^2 ≧ 0,
∴ t ≧ 6,
0508１３２人目の素数さん
2011/08/16(火) 05:09:19.68左辺を f(a,b,c,d) とおく。
ab<2 のとき
f(a,b,c,d) - f(√(ab), √(ab),c,d)
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9/[(a+b+c+d)(2√ab +c +d)]}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(2√ab +c +d)^2}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(2√ab +2/√ab)^2}
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9ab/(4(ab+1)^2)}
= (√a - √b)^2･(2-ab)(2+5ab)/{4ab(ab+1)^2}
≧ 0,
ここで c+d ≧ 2√cd = 2/√ab を使った。
a≧b≧c≧d とすると cd≦1
(a,b,c,d) が最小値ならば c=d に限る。
∴ bc = bd ≦1,
∴ b=c=d≦1,
∴ (a,b,c,d) = (A^3, 1/A, 1/A, 1/A) ただし A≧1.
となって
f(A^3,1/A,1/A,1/A) ≧ 25/6, (A≧1)
に帰着する。
0509１３２人目の素数さん
2011/08/16(火) 05:26:39.15次に
f(A^3,1/A,1/A,1/A) ≧ 25/４, (A≧1)
を示そう。
f(A^3,1/A,1/A,1/A) - 25/4
= 1/A^3 + 3A + 9A/(A^4 +3) - 25/4
= 3(A-1)^2･{A^6 -(1/12)A^5 -(7/6)A^4 -(9/4)A^3 +3A^2 +2A +1}/{A^3(A^4 +3)}
= 3(A-1)^2･g(A)/{A^3(A^4 +3)}
≧ 0,
∵ g(A) = A^6 -(1/12)A^5 -(7/6)A^4 -(9/4)A^3 +3A^2 +2A +1
= {A^3 -(1/24)A^2 -(673/1152)A -(31777/27648)}^2 + 2.56293026A^2 +0.657105936A -0.3209864
= {A^3 -(1/24)A^2 -(673/1152)A -(31777/27648)}^2 + 2.56293026(A-1)^2 +5.782966457A +2.899049797
> 0.
難しくない。>>503
0510１３２人目の素数さん
2011/08/16(火) 05:33:13.51の最後の式の右辺は間違い。
25/４
+5.782966457(A-1)
に訂正。
0511１３２人目の素数さん
2011/08/16(火) 19:20:06.30最小を探すなら、微分使った方が簡単....だな
F(A) = 1/A^3 +3A +9A/(A^4 +3),
F '(A) = -3/A^4 + 3 + 27(1-A^4)/(A^4 +3)^2
= 3(A^4 -1)(A^8 -3A^4 +9)/{(A^4)(A^4 +3)^2},
A^8 -3A^4 + 9 = (A^4 -3)^2 + 3A^4 > 0,
0512１３２人目の素数さん
2011/08/19(金) 01:38:45.69F(A)≧ 25/4 だけなら、代数使った方が簡単....だな
A^4 + 3 = (4/√3)A^3 + (A-√3)^2 {A^2 +(2/√3)A +1}
≧ (4/√3)A^3
> (9/4) A^3,
より
F(A) - 25/4 = {(1/A^3) +3A -4} + (9/4){4A/(A^4 +3) -1}
= (A-1)^2･(3A^2 +2A+1)/A^3 - (9/4)(A-1)^2･(A^2 +2A+3)/(A^4 +3)
> (A-1)^2･{(3A^2 +2A+1) - (A^2 +2A+3)}/(A^3)
= (A-1)^2･2(A^2 -1)/(A^3)
≧ 0, (A≧1)
0513１３２人目の素数さん
2011/08/20(土) 15:12:34.36相加･相乗平均を使わないなら
3^5 = 243 < 256 = 16^2,
より
A^4 + 3 > A^4 + 3(3^5/16^2)^2
= (9/4)A^3 + (A - 27/16)^2{A^2 + (9/8)A + (3^5)/(16^2)}
= (9/4)A^3 + (A - 27/16)^2{(A + 9/16)^2 + 162/(16^2)}
≧ (9/4)A^3,
どうでもいいけど.....
0514１３２人目の素数さん
2011/08/20(土) 15:44:57.93正の数 x、y、z が z≧x+y をみたすとき、
x^2 + y^2 + z^2 ≧ (6/5)*(xy + yz + zx) を示せ
【問題２】
0.160 < ∫[0,1] x^2 e^(-x^2) dx <0.215 を示せ
【問題３】
正の数 a、b、c が a+b+c=1 をみたすとき、
(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 + (c + 1/c)^2 ≧ 100/3
http://www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/kadai10-11.pdf
上の上の数ヲタである不等式ヲタの皆さんには、【問題３】など瞬殺でしょうから、
(a + 1/a)^4 + (b + 1/b)^4 + (c + 1/c)^4 ≧ ？
(a + 1/b)^3 + (b + 1/c)^3 + (c + 1/a)^3 ≧ ？
と変えたところで、やはり秒殺でしょう （by スマートブレイン社社長）
0515１３２人目の素数さん
2011/08/21(日) 05:37:23.73【問題１】
z = x + y + Z' (Z'≧0) を代入して整理する。
(左辺) - (右辺) = (4/5)(x-y)^2 + (4/5)(x+y)Z' + (Z')^2 ≧ 0,
等号成立は (x,y,z) = (1,1,2) のとき。
【問題２】
(左) e^(-x^2) = (1/e)e^(1-x^2) > (1/e)(2-x^2), より
I > (1/e)∫[0,1] (x^2)(2-x^2)dx
= (1/e) [(2/3)x^3 -(1/5)x^5 ](x=0,1)
= 7/(15e)
= 0.171677
(右) x^2 > x^3 より
I < ∫[0,1] (x^2)e^(-x^3) dx
= (1/3)[ -e^(-x^3) ](x=0,1)
= (1/3)(1 - 1/e)
= 0.210706852
または 相加･相乗平均より
x^2 < (1/3)x + (3/4)x^3,
I < ∫[0,1] {(1/3)x + (3/4)x^3}･e^(-x^2) dx
= [ -(1/24)(13 + 9x^2)e^(-x^2) ](x=0,1)
= (1/24)(13 - 22/e)
= 0.204443845
【問題３】
f(x) = (x + 1/x)^2 は下に凸だから、Jensen で一発だが、
x=1/3 で接線を曳いて
f(x) = 100/9 - (160/3)(x -1/3) + (x^2 +54x +9)(x -1/3)^2
≧ 100/9 - (160/3)(x -1/3),
f(a) + f(b) + f(c) ≧ 100/3 - (160/3)(a+b+c-1) = 100/3,
でもよい。
0516１３２人目の素数さん
2011/08/21(日) 05:44:22.87正の数 a、b、c が abc=1 をみたすとき、
(a - 1 + 1/b)(b - 1 + 1/c)(c - 1 + 1/a) ≦ 1 を示せ
∧,,∧
(`･ω･´) 詳しく聞こうか？
（ ）
￣￣Φ口U￣￣＼
_ _. ＼
＿（ ）＿＿＿＿.＼
￣┏┳┓）
0517１３２人目の素数さん
2011/08/21(日) 06:18:55.54【追加問題１】
f(x) = (x + 1/x)^n は下に凸だから Jensen で一発だが、
x=1/3 で接線を曳いて
f(x) ≧ (10/3)^n - 8n(10/3)^(n-1)･(x -1/3),
f(a) + f(b) + f(c) ≧ 3(10/3)^n - 8n(10/3)^(n-1)(a+b+c-1)
= 3(10/3)^n,
としてもよい。
【追加問題２】
(abc)^(1/3) = G とおく。(相乗平均)
相加･相乗平均で
aa/b + bb/c + cc/a ≧ 3G,
a/bb + b/cc + c/aa ≧ 3/G,
3G + 3/G ≧ 6,
より、【１】に帰着する。
3(10/3)^3 = 1000/9
0518１３２人目の素数さん
2011/08/21(日) 06:57:11.66【問題４】
abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y},
定義により、-x+y+z, x-y+z, x+y-z の任意の2つの和は正だから、
正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、 相乗・相加平均より
√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,
[第3章.481]
0519１３２人目の素数さん
2011/08/21(日) 13:58:30.54詳しく聞かれちゃ～生姜ねぇ･･･
∫[0,1] x e^(-x^2) dx = ∫[0,1] (1/2)e^(-t) dt = [ -(1/2)e^(-t) ](t=0,1) = 1/2 - 1/(2e) = 0.3166028,
∫[0,1] (x^3)e^(-x^2) dx = ∫[0,1] (1/2)t e^(-t)dt = [ -(1/2)(t+1)e^(-t) ](t=0,1) = 1/2 - 1/e = 0.13212056
ここでシュワルツを使えば I < 0.2045232 だな。
0520１３２人目の素数さん
2011/08/21(日) 14:13:02.30exp( ) をマクローリン展開して計算すると I = 0.189472345820492
0521１３２人目の素数さん
2011/08/21(日) 23:44:35.95実数 x、y、z が (x+y-z)^2 + (y+z-x)^2 + (z+x-y)^2 = 1
をみたすとき、|x+y+z| の 最大値を求めよ
0522１３２人目の素数さん
2011/08/22(月) 00:31:52.68g(x,y,z) = (x+y-z)^2 + (y+z-x)^2 + (z+x-y)^2
= (1/3)(x+y+z)^2 + (8/3)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz -zx)
= (1/3)(x+y+z)^2 + (4/3){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}
≧ (1/3)(x+y+z)^2,
∴ |x+y+z| ≦ √{3g(x,y,z)},
等号成立は x=y=z=±1/√3 のとき。
0523１３２人目の素数さん
2011/08/22(月) 01:28:08.980524１３２人目の素数さん
2011/08/22(月) 04:12:25.39x,y,z は正数で、xyz=1 とする。このとき次を示せ。
(x^3+y^3)/(x^2+xy+y^2) + (y^3+z^3)/(y^2+yz+z^2) + (z^3+x^3)/(z^2+zx+x^2) ≧ 2.
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201104&t=mat&l=en
0525１３２人目の素数さん
2011/08/22(月) 04:26:02.52[B.4339.]
四面体ABCDの内部の点Pに対して PA+PB+PC < DA＋DB+DC が成り立つか？
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201102&t=mat&l=en
0526１３２人目の素数さん
2011/08/23(火) 00:30:57.36x,y,z は正数で、xyz=1 とする。このとき次を示せ。
(z^3 + y^3)/(x^2+xy+y^2) + (x^3 + z^3)/(y^2+yz+z^2) + (y^3 + x^3)/(z^2+zx+x^2) ≧ 2.
>>524 なら瞬殺だろうな.... >>514
0527１３２人目の素数さん
2011/08/23(火) 04:59:16.480528１３２人目の素数さん
2011/08/23(火) 12:50:44.75相加･相乗平均を使えば >>524 と同じ....
(左辺) ≧ 3{f(x,y)f(y,z)f(z,x)}^(1/3),
x^2 +xy +y^2 = 3(x^2 -xy+y^2) - 2(x-y)^2 ≦ 3(x^2 -xy +y^2), より
f(x,y) = (x^3 + y^3)/(x^2 +xy +y^2)
≧ (1/3)(x^3 + y^3)/(x^2-xy+y^2)
= (1/3)(x+y),
再度、相加･相乗平均より
(左辺) ≧ {(x+y)(y+z)(z+x)}^(1/3)
= {8xyz + x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2}^(1/3)
≧ 2(xyz)^(1/3),
0529１３２人目の素数さん
2011/08/23(火) 16:00:00.770530１３２人目の素数さん
2011/08/23(火) 19:51:01.60x,y,z は正数で、x+y+z=3 とする。このとき……
0531１３２人目の素数さん
2011/08/24(水) 21:08:58.13第10回(2011年)中国女子数学オリンピック(CGMO)の問題3
http://www.imojp.org/
http://www.imojp.org/challenge/index.html 過去問
0532１３２人目の素数さん
2011/08/24(水) 22:01:55.570533１３２人目の素数さん
2011/08/24(水) 22:07:45.91中華の問３、どっかで見たような希ガス…
0534１３２人目の素数さん
2011/08/25(木) 05:16:58.00http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
0535１３２人目の素数さん
2011/08/25(木) 06:57:10.69>>251
0536１３２人目の素数さん
2011/08/25(木) 16:54:26.26いまさらながら、その論文のリンクを貼っておく
http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/080_08_JIPAM/080_08.pdf
並べ替え不等式を使うのか…
0537１３２人目の素数さん
2011/08/25(木) 23:04:28.49x,y,z は正数で xy+yz+zx = 3 とする。このとき……
0538１３２人目の素数さん
2011/08/26(金) 07:19:11.260539１３２人目の素数さん
2011/08/26(金) 08:57:16.760540１３２人目の素数さん
2011/08/26(金) 09:07:33.95どうやるん？
0541１３２人目の素数さん
2011/08/26(金) 13:08:56.28その方法と 全 く 同 じ 方 法 で、
色々な不等式(もちろん相加相乗平均も)を証明した記事が、
数学セミナーに掲載されている。
数学セミナー 2004.2
ttp://www.nippyo.co.jp/magazine/4352.html
＞対称性を有する不等式の統一的証明について 仁平政一 52
↑この記事。2004年だから、例の高校の先生より早い。
0542１３２人目の素数さん
2011/08/26(金) 13:19:33.62なんと！ すごいな
0543１３２人目の素数さん
2011/08/26(金) 13:21:54.25【問題】 Σ[r = 0、n] (-1)^k * nCr / (x+r) = ？
0544訂正
2011/08/26(金) 13:22:23.41さて、不等式ヲタ ≒ 三角関数 ≒ nCrヲタであるから、次の問題
【問題】 Σ[r = 0、n] (-1)^r * nCr / (x+r) = ？
0545541
2011/08/26(金) 13:32:26.78数研通信とかいうサイトに まるごと載ってるじゃねーか(＾o＾)
数研通信 47号2003年8月
不等式の証明の統一的方法（仁平政一）
ttp://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/47/47-5.pdf
>541と若干タイトルが違うが、著者は同じ。で、こっちの方が
さらに年月が古く、2003年8月となっている。
>541のやつは、この記事の加筆修正なのかもしれん(俺の手元に
数セミが無いので、確認できない＾o＾)。
0546１３２人目の素数さん
2011/08/26(金) 13:40:03.23情報サンクス！
数蝉の年２回のNOTEは、コピーしてファイルしてるので見たけど、
数検通信の記事から抜粋したものですな
で、この方法は >>2 参考文献[1] P.25の方法と同じな希ガス…
0547541
2011/08/26(金) 13:57:35.26ということは、並べ替え不等式を使う方法は
ずっと昔から知られていたと。
0548１３２人目の素数さん
2011/08/26(金) 21:17:47.93>>544 int_0^1 x^2 dxは？
0549１３２人目の素数さん
2011/08/27(土) 02:57:18.25xy -(x+y+1) +2 = (x-1)(y-1) ≦ 2,
∴ xyz = xy(11-x-y) ≦ (1+x+y)(11-x-y) = 36 - (5-x-y)^2 ≦ 36,
∴ √(xyz) ≦ 6,
0550１３２人目の素数さん
2011/08/27(土) 03:29:51.55１行目が思いつかない
どういう発想で、こういう解法に辿りついたのか知りたいです
数字が変わっても、このやり方は使えるのですか？
0551１３２人目の素数さん
2011/08/27(土) 04:35:47.24f_n(x) = Σ[r = 0 to n] (-1)^r * nCr / (x+r) とおくと
f_{n+1}(x) = f_n(x) - f_n(x+1)
0552１３２人目の素数さん
2011/08/27(土) 04:47:31.940553１３２人目の素数さん
2011/08/27(土) 05:25:31.22なにそれ？
0554１３２人目の素数さん
2011/08/27(土) 13:27:34.851/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+2b)(b+2c)(c+2a)
を示せ
高１の宿題です
さっぱりわかりません
0555１３２人目の素数さん
2011/08/27(土) 15:42:42.51={4(b+c)*a^2 + 4(b+c)^2*a + 4bc(b+c)} - {2(b+2c)*a^2 + (b+2c)(4b+c)*a + 2bc(b+2c)}
=2b*a^2 + (4b^2+8bc+4c^2-4b^2-9bc-2c^2)*a + 2b^2c
=2b*a^2 + (-bc+2c^2)*a + 2b^2c
=2(ba^2+cb^2+ac^2)-abc
=6*(1/3)*(ba^2+cb^2+ac^2)-abc
≧6*abc-abc (相加相乗平均 等号成立はba^2=cb^2=ac^2⇔a=b=c)
=5abc>0
0556１３２人目の素数さん
2011/08/27(土) 15:51:37.290557１３２人目の素数さん
2011/08/27(土) 16:00:47.53三角形であることをうまく使って証明できるのかもしれない。
やり方がわからんのだけど。
0558１３２人目の素数さん
2011/08/27(土) 16:09:52.09うろ覚えだが、2次の相加相乗平均でさえ習うのは高2だったような。
まあa^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2から直接導けるが。
何か数Ⅰ,A範囲で証明できる方法があるのかね。
0559１３２人目の素数さん
2011/08/27(土) 16:46:12.93三角形の条件は？
0560１３２人目の素数さん
2011/08/27(土) 20:16:44.76出題者は、三角形の成立条件を考慮した上で、もっと厳しい評価式を出題しろってこった！
0561１３２人目の素数さん
2011/08/27(土) 20:40:02.91a,b,cが三角形の三辺の長さのとき
8/27 ≦ (a+b)(b+c)(c+a)/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)},
を示せ。
等号成立は a=b=c のとき。
0562１３２人目の素数さん
2011/08/27(土) 20:42:15.420563１３２人目の素数さん
2011/08/27(土) 21:41:01.83君は口が悪いな、このスレにふさわしくない
さっさと、夜光灯を振る仕事に戻るんだ！
0564１３２人目の素数さん
2011/08/27(土) 22:02:32.00不等式プロがヒットした！
http://www.researchgate.net/publication/41797900__()
0565１３２人目の素数さん
2011/08/28(日) 01:06:08.2327(a+b)(b+c)(c+a) - 8(a+2b)(b+2c)(c+2a)
= 11(aab +bbc +cca) -5(abb +bcc +caa) -18abc
= (17/3){2(aab +bbc +cca) -(abb +bcc +caa) -3abc}
+(1/3){-(aab +bbc +cca) +2(abb +bcc +caa) -3abc}
= (17/3)P + (1/3)Q,
三角不等式より
2P = 4(aab +bbc +cca) -2(abb +bcc +caa) -6abc
= (b+c-a)(a-b)^2 + (c+a-b)(b-c)^2 + (a+b-c)(c-a)^2 ≧ 0,
2Q = -2(aab +bbc +cca) +4(abb +bcc +caa) -6abc
= (c+a-b)(a-b)^2 + (a+b-c)(b-c)^2 + (b+c-a)(c-a)^2 ≧ 0,
0566１３２人目の素数さん
2011/08/28(日) 04:33:06.72n!/{x(x+1)(x+2)…(x+n)}
0567１３２人目の素数さん
2011/08/28(日) 05:36:37.46三角形の３辺だから
a=q+r, b=r+p, c=p+q, >>273
とおく。p,q,r≧0
27(a+b)(b+c)(c+a) - 8(a+2b)(b+2c)(c+2a)
= 27(q+2r+p)(r+2p+q)(p+2q+r) - 8(q+3r+2p)(r+3p+2q)(p+3q+2r)
= 6(p^3 +q^3 +r^3) -11(ppq+qqr+rrp) +5(pqq+qrr+rpp)
= (17/3){p^3 + q^3 + r^3 -2(ppq+qqr+rrp) +(pqq+qrr+rpp)}
+(1/3){p^3 + q^3 + r^3 +(ppq+qqr+rrp) -2(pqq+qrr+rpp)}
= (17/3)P + (1/3)Q,
P = p^3 + q^3 + r^3 -2(ppq+qqr+rrp) +(pqq+qrr+rpp)
= p(p-q)^2 + q(q-r)^2 + r(r-p)^2 ≧ 0,
Q = p^3 + q^3 + r^3 +(ppq+qqr+rrp) -2(pqq+qrr+rpp)
= q(p-q)^2 + r(q-r)^2 + p(r-p)^2 ≧ 0,
変わり映えしねぇ.....
0568１３２人目の素数さん
2011/08/28(日) 05:59:42.21a,b,c ≧0,
m = min{a,b,c}
{a,b,c} = {m,m+x,m+x+y}
とおく。
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u として
s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
st-9u = 2m(x^2+xy+y^2) + x(x+y)(2x+y),
|⊿| = |(a-b)(b-c)(c-a)| = xy(x+y),
6s^3 -21st + 27u = 12m(x^2+xy+y^2) + 3(2x^3 +3xxy +5xyy +2y^3)
> 3(2x^3 +3xxy +5xyy +2y^3)
≧ 3xy(5x+7y)
> 15xy(x+y)
= 15|⊿|,
0569１３２人目の素数さん
2011/08/28(日) 06:06:32.37a,b,cを実数、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a)、とするとき
a^4 + b^4 + c^4 + (a+b+c)⊿ ≧ (1/27)(a+b+c)^4,
を示せ。 (こってうし）
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/672
0570１３２人目の素数さん
2011/08/28(日) 21:55:29.60f(x,y,z) = N(x^4 + y^4 + z^4) + I(yx^3 + zy^3 + xz^3) + J(xy^3 + yz^3 + zx^3) + K(xxyy+yyzz+zzxx) + Lxyz(z+y+z),
を平方和で表わせ。ただし、N = A^2 + B^2 + C^2 とする。
0571１３２人目の素数さん
2011/08/28(日) 22:08:28.25f(x,y,z) = (Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Pyz + Qzx + Rxy)^2 + cyclic. + K '{xxyy+yyzz+zzxx-xyz(x+y+z)}
とおいて、係数 P,Q,R を求めよう。 ここに
K ' = K - P^2 - Q^2 - R^2 - 2(AB+BC+CA),
まづ
P + Q + R = - (A+B+C),
CP + AQ + BR = I/2,
BP + CQ + AR = J/2,
より
AP + BQ + CR = -(I+J)/2 -(A+B+C)^2,
クラメルの公式より
P = {I(B-A) + J(C-A) + 2(A+B+C)(BC-AA)}/D,
Q = {I(C-B) + J(A-B) + 2(A+B+C)(CA-BB)}/D,
R = {I(A-C) + J(B-C) + 2(A+B+C)(AB-CC)}/D,
ここに
D = 2(A^2 + B^2 + C^2 -AB -BC -CA) = (A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2 ≧ 0,
P^2 + Q^2 + R^2 = (A+B+C)^2 + {(II+IJ+JJ) + 2(I+J)(A+B+C)^2 + 4(AB+BC+CA)(A+B+C)^2}/D,
PQ + QR + RP = －(1/2){(II+IJ+JJ) + 2(I+J)(A+B+C)^2 + 4(AB+BC+CA)(A+B+C)^2}/D,
これを使えば K ' を計算できる。
K '≧0 なら平方和になる。そのためには、|A+B+C| がなるべく小さくなるように符号をとるとよい。
0572１３２人目の素数さん
2011/08/28(日) 22:28:51.81xxyy + yyzz + zzxx - xyz(x+y+z) = (1/2){x(y-z)}^2 + (1/2){y(z-x)}^2 + (1/2){z(x-y)}^2 ≧ 0,
0573１３２人目の素数さん
2011/08/29(月) 01:00:36.430574１３２人目の素数さん
2011/08/29(月) 01:19:05.81≧8/9(1/x^2y^2+1/x^2z^2+1/x^2w^2+1/y^2z^2+1/y^2w^2+1/z^2w^2)
≧11/3(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧25/4xyzw
0575１３２人目の素数さん
2011/08/29(月) 01:40:00.5425/4>=4/27>=11/12>=25/4.
0576１３２人目の素数さん
2011/08/29(月) 02:17:54.40≧(8/9)(1/x^2y^2+1/x^2z^2+1/x^2w^2+1/y^2z^2+1/y^2w^2+1/z^2w^2)
+11/3(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧25/4xyzw
だね。
0577１３２人目の素数さん
2011/08/29(月) 02:38:43.69右: 4(a+b)(b+c)(c+a) - (a+b+c)^3 = aa(b+c-a) + bb(c+a-b) + cc(a+b-c) + 2abc > 0,
左: 相加相乗平均
8(a+b+c)^3 -27(a+b)(b+c)(c+a)
= 3(a+b)(a-b)^2 + 3(b+c)(b-c)^2 + 3(c+a)(c-a)^2 + 2(a^3+b^3+c^3-3abc) ≧ 0,
0578１３２人目の素数さん
2011/08/29(月) 20:25:51.28となる整数a,bをcで表しなさい。
0579１３２人目の素数さん
2011/08/29(月) 22:27:55.11を、帰納法以外で示したいのですが
どうすればいいでしょうか。
0580１３２人目の素数さん
2011/08/29(月) 23:14:01.40n ≦ 2(n-2),
2^n ≦ 2^{2(n-2)} = 4^(n-2) ≦ n^(n-2),
0581１３２人目の素数さん
2011/08/29(月) 23:49:13.57不等式のプロにかかるとさすがにアッサリですね。
ありがとうございます。>>580
0582１３２人目の素数さん
2011/08/30(火) 00:40:02.562^(n-3)<n^(n-3).
2^(n-1)<n^(n-2).
0583１３２人目の素数さん
2011/08/30(火) 07:06:53.80で、この方法は >>2 参考文献[3] P.71の方法4.と同じな希ガス…
x_(n-1) ≦ G ≦ x_n,
を仮定して
x_(n-1) + x_n - {x_(n-1)･x_n /G + G} = (x_n - G){G - x_(n-1)}/G ≧ 0,
x_(n-1) + x_n ≧ {x_(n-1)･x_n /G} + G,
を導いています。
0584１３２人目の素数さん
2011/08/30(火) 07:12:31.510585１３２人目の素数さん
2011/08/30(火) 07:59:46.12ってか定跡やん。これを「新証明」と主張することに不安は感じなかったのだろうか。
0586１３２人目の素数さん
2011/08/30(火) 10:13:00.430587１３２人目の素数さん
2011/08/30(火) 12:50:39.36あまりのくやしさに>>586で書き込んだのだった
涙拭けよ
0588１３２人目の素数さん
2011/08/30(火) 12:53:45.100589１３２人目の素数さん
2011/08/30(火) 12:59:42.970590１３２人目の素数さん
2011/08/30(火) 17:51:18.51真ん中はこの式にはならない
これ書いたやつ馬鹿すぎ
0591１３２人目の素数さん
2011/08/30(火) 17:56:41.46三角形の内心をI、二等分線をAA'BB'CC'とするとき
AIBICI/AA'BB'CCがこの範囲を示せだが
0592１３２人目の素数さん
2011/08/30(火) 18:38:17.840593１３２人目の素数さん
2011/08/30(火) 23:19:26.11>>577
>>592
AI/AA' = (△ABC-△BCI)/(△ABC)
に
△BCI = (1/2)ar, △ABC = (1/2)(a+b+c)r, を入れる。
（rは△ABCの内接円の半径）
0594１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 03:30:40.14〔例1〕 >>268
2倍すると
N=2, I=-6, J=0, K=4, L=0,
(A,B,C)=(1,-1,0) すると (P,Q,R)=(2,-1,-1) K'=0,
>>284-290
〔例2〕 >>494 >>504
27倍すると
N=19, I=-5, J=49, K=33, L=-96,
(A,B,C)=(3,-3,1) (P,Q,R)=(-22/4,11/4,7/4) K ' = 3/8,
(A,B,C)=(3,-3,-1) (P,Q,R)=(-131/28,46/28,113/28) K ' = 3/8,
〔例3〕 >>569
27倍すると、
N=26, I=-31, J=23, K=-6, L=-12,
(A,B,C)=(4,-1,-3) (P,Q,R)=(-2/26,59/26,-57/26) K '= 29/78
(A,B,C)=(4, 1,-3) (P,Q,R)=(-144/74,141/74,-145/74) K ' = 13/74,
0595１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 07:09:17.96間違ってるんだが
0596１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 07:12:33.43AI/AA'=(a+b)/(a+b+BA')
を考えると明白な間違い
0597１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 07:23:05.21>BA'が(a+b)/(2a+b+c)
BA'、a、b、cって長さ？
次元が違うんだが
0598１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 07:26:24.06なんで分からないの？馬鹿は死ねよ
0599１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 07:27:50.44/ ⌒ ⌒ ヽ
/ ｨ●ｧ ｨ●ｧ |
| |
| c{ っ |
| ＿＿ } うーっす
/､. ー ヽ
/ |
| | /
ヽ_| ┌──┐ |丿
| ├──┤ |
| ├──┤ |
0600１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 07:28:24.02馬鹿め
0601１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 07:37:45.00BA'が(a+b)（b+c）/(2a+b+c)
AI/AA'=(a+b)/(a+b+BA')
0602１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 07:39:19.07a+bがきれいにきえて
（2a+b+c）/２(a+b+c)
になるんで、上のほうの解答は大間違い
0603１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 07:41:40.55a=b=cのときBA'=(a+b)（b+c）/(2a+b+c)=a=BCになるんだが
0604１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 07:53:35.710605１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 07:59:55.860606１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 08:36:42.890607１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 17:25:11.12┏ ━ゝヽ''／ ≧ ＼━〆Ａ!ﾟ━━┓。
╋┓"〓┃ ＜ ゝ＼',冫｡' |:::: ＼ .／ |゛△│´'´,.ゝ'┃. ●┃ ┃┃
┃┃_.━┛ヤ━━━━━━|::::: (● (● |━━━━━━━━━ ━┛ ・ ・
∇ ┠─Σ- ヽ::::... .ワ.....ノ 冫 そ',´; ┨'ﾟ,。
.。冫▽ ＜ ⊂ ./⊃ 乙 ≧ ▽
。 ┃ Σ （⌒ゞ ,l, ､'' │ て く
┠─ム┼ ゝ,,ﾉ ﾉゝ. ､,, .┼ ｧ Ζ┨ ミｏ''｀
。､ﾟ`。､ i／ レ' o。了 ､'' × 个ｏ
○ ┃ `､,~´＋√ ▽ ',!ヽ.◇ ｏ┃
┗〆━┷ Ｚ,.' /┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛；
ヾ ⊿ '、´ ∇
荒れたスレに不等式ヲタが光臨！ 整理すると以下の如しだ！
【1991 IMO 問１】
△ABCの内心をI、二等分線をAA'BB'CC'とするとき、
1/4 < (AI・BI・CI)/(AA'・BB'・CC) ≦ 8/27
【証明】
>>592
角の二等分線の定理から、容易に
AI/AA' = (b+c)/(a+b+c)、BI/BB' = (c+a)/(a+b+c)、CI/CC' = (a+b)/(a+b+c)
>>573
示すべき不等式は
1/4 < (a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3 ≦ 8/27
>>577
右: 4(a+b)(b+c)(c+a) - (a+b+c)^3 = aa(b+c-a) + bb(c+a-b) + cc(a+b-c) + 2abc > 0,
左: 相加相乗平均
8(a+b+c)^3 -27(a+b)(b+c)(c+a)
= 3(a+b)(a-b)^2 + 3(b+c)(b-c)^2 + 3(c+a)(c-a)^2 + 2(a^3+b^3+c^3-3abc) ≧ 0,
0608１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 17:50:46.290609１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 18:59:22.020610１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 19:52:41.70って明らかですか？どう示せばいいでしょうか。
0611610
2011/08/31(水) 19:53:43.74(a-x)^n + (a+x)^n ≧ 2a^n です。
0612１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 20:13:46.88凸不等式でおｋ
0613１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 20:35:31.95クラスの数学得意なやつが使ってたんですが、先生も初めて聞いたと言っていました。
0614１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 20:46:46.40って普通に使うね。
0615１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 21:48:26.70数学に限ったことじゃないけど本当に「小中高の勉強」ができてた奴は教師になってない。
0616１３２人目の素数さん
2011/08/31(水) 21:51:24.37> 数学に限ったことじゃないけど本当に「小中高の勉強」ができてた奴は教師になってない。
なんで？
0617１３２人目の素数さん
2011/09/01(木) 11:19:10.51なんでa+ｂ＋ｃがでてくるんだよ。AB,ACは足したら2a+b+cだろうが
0618１３２人目の素数さん
2011/09/01(木) 11:42:35.320619１３２人目の素数さん
2011/09/01(木) 12:14:01.460620１３２人目の素数さん
2011/09/01(木) 16:33:02.110621１３２人目の素数さん
2011/09/01(木) 22:15:08.17とか言った使い方をよくする
0622１３２人目の素数さん
2011/09/01(木) 22:41:35.38〔補題〕
AB ≦ CA, CB のとき、
三角形ABCの内部の点Pに対して PA + PB + PC < CA + CB.
0623１３２人目の素数さん
2011/09/01(木) 22:45:57.36(略証)
Pを直線上で動かすとき、AP,BP,CP は下に凸(*)だから
f(P) = AP+BP+CP も下に凸。
直線CPと辺ABの交点をQ とすると、凸性から
f(P) < max{f(C), f(Q)}
ところで 題意より
f(Q) = (AQ+QB) + CQ = AB + CQ ≦ AB + max{CA,CB} ≦ CA + CB = f(C),
∴ f(P) < f(C),
* この直線をt軸とすると g(t) = √(a^2 + t^2) は
a≠0 のとき双曲線。
a＝0 のとき g(t)=|t| でＶ字形の折れ線。
0624１３２人目の素数さん
2011/09/02(金) 22:57:20.36((a^(2n+1)/(a-1))+(a(1-a^2n)/2n(1-a)^2)^2n)/a^n(2n+1)≧(2n)！
0625１３２人目の素数さん
2011/09/03(土) 08:01:27.090626１３２人目の素数さん
2011/09/04(日) 20:20:23.84通分して
{(19/6) - (与式)}*(a+b)(b+c)(c+a)
= (19/6)(a+b)(b+c)(c+a) - (c+a)(a+b)^2 - (a+b)(b+c)^2 - (b+c)(c+a)^2
= (1/6){(aab+bbc+cca) + 7(abb+bcc+caa)} + (1/3)abc -(a^3 +b^3 +c^3)
= (4/3)[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] + (1/3)abc -(a^3 +b^3 +c^3) (k=1/8)
= (1/4){10[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] -4(a^3+b^3+c^3) -15abc}
+ (7/12){-2[k(aab+bbc+cca) + (1-k)(abb+bcc+caa)] +7abc}
= (1/4)F(k) + (7/12)G(k)
≧ 0,
0627626
2011/09/04(日) 20:25:44.92〔補題1〕
-1/5≦k≦6/5 のとき
F(k) = 10[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] -4(a^3+b^3+c^3) -15abc ≧ 0,
(略証)
(2a-b)(2b-a)(2a-c) + c.c. = 12(aab+bbc+cca) - 2(abb+bcc+caa) -4(a^3 +b^3 +c^3) -15abc ≧ 0,
(2a-b)(2b-a)(2b-c) + c.c. = -2(aab+bbc+cca) +12(abb+bcc+caa) -4(a^3 +b^3 +c^3) -15abc ≧ 0,
から。
〔補題2〕
-1≦k≦2 のとき
G(k) = -2[k(aab+bbc+cca) + (1-k)(abb+bcc+caa)] +7abc ≧ 0,
(略証)
(2a-b)(2b-c)(2c-a) = -4(aab+bbc+cca) +2(abb+bcc+caa) +7abc ≧ 0,
(2b-a)(2c-b)(2a-c) = 2(aab+bbc+cca) -4(abb+bcc+caa) +7abc ≧ 0,
から。
0628１３２人目の素数さん
2011/09/04(日) 23:58:47.651 ≦ a,b,c,d ≦ 2 に対して
4 ≦ (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) < 11/2.
[第２章.325-326 , 514-519]
上限（～17/4）を出すのは大変でござるよ、ﾆﾝﾆﾝ。 ( ﾟ∀ﾟ)
0629１３２人目の素数さん
2011/09/05(月) 01:06:11.79>>102
[第２章.643-645]
>>350-356
[第２章.780 , 786-818]
0630１３２人目の素数さん
2011/09/05(月) 01:54:00.74題意より (a-c)/(b+c) ≦ 1/2, 4-b-c≧0.
加比の理 より、
(a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) ≦ 1 + [a-c +(4-b-c)/2]/[(b+c) +(4-b-c)] = 1 + [2 +a -(1/2)b -(3/2)c]/4.
循環的に加える。
(左辺) ≦ 4 + [8-(a+b+c+d)]/4 ≦ 5.
[第２章.522,526]
0631１３２人目の素数さん
2011/09/05(月) 03:01:55.82(略証)
点Pを通りCPに垂直な直線Lと 辺CA, 辺CB の交点を A', B' とする。
CP < CA', CP < CB'
直線L上でPを動かしたとき、AP+BP は単一の極小をもつ。
∴ AP+BP < AA' + A'B または AP+BP < AB' + B'B のいずれかが成立。
〔 LがBCと交わらない場合は △AA'B ⊃ △APB ∴ AP+BP < AA' + A'B〕
∴ AP+BP+CP < CA + A'B < CA + max{AB,CB} = CA + CB, または
AP+BP+CP < AB' + CB < max{AB,CA} + CB = CA + CB,
[参考文献3] p.18-19, 例題10.(Visschersの問題)
0632１３２人目の素数さん
2011/09/05(月) 21:11:27.93(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) < 3 + 3/10,
なら簡単だが.....
題意より (a-c)/(b+c) < 1/2,
加比の理より
(a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) < 1 + {(a-c)+(a-1)/2}/(a+b+c-1),
循環的にたす。
(与式） < 3 + {(a+b+c-3)/2}/(a+b+c-1) < 3 + 3/10,
>>628 >>630
(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) < 4 + 2/3
なら簡単だが.....
題意より (a-c)/(b+c) < 1/2,
加比の理より
(a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) < 1 + {(a-c)+(d+a-2)/2}/(a+b+c+d-2),
循環的にたす。
(与式) < 4 + (a+b+c+d-4)/(a+b+c+d-2) < 4 + 2/3,
0633１３２人目の素数さん
2011/09/05(月) 21:16:15.350634１３２人目の素数さん
2011/09/06(火) 19:50:20.370635１３２人目の素数さん
2011/09/07(水) 23:02:48.810636１３２人目の素数さん
2011/09/08(木) 10:20:53.570637１３２人目の素数さん
2011/09/08(木) 10:24:34.780638１３２人目の素数さん
2011/09/09(金) 02:47:11.860639１３２人目の素数さん
2011/09/09(金) 14:58:55.66(a-1)(b-1)(c-1)n^3+[(a-1)(b-1)+(b-1)(c-1)+(c-1)(a-1)]n^2
+(a+b+c-3)n+1≦(abc)^n.
0640１３２人目の素数さん
2011/09/10(土) 07:21:21.34LHS = {(a-1)n+1}{(b-1)n+1}{(c-1)n+1},
(i) For n=1, equality holds.
(ii) For n>1 and t≧-1, by AM-GM,
f(t) = t^n -n(t-1) -1 = t^n -nt +(n-1)
= (t^n + 1 + …… + 1) - nt
= (t-1){t^(n-1) + t^(n-2) + …… + t -(n-1)}
= (t-1)g(t)
≧ 0. (*)
Equality holds only if t=1.
*)
For -1≦t<1, g(t) < 0.
For t>1, g(t) > 0.
0641１３２人目の素数さん
2011/09/10(土) 20:15:07.41nが偶数 または a>0 のとき
(左辺) - (右辺) = 2Σ_(k=1,[n/2]) Ｃ(n,2k) a^(n-2k) x^(2k) ≧ 0,
等号成立は x=0 のとき。
>>612
nが奇数（>1）かつ |x| >a のとき ……
0642１３２人目の素数さん
2011/09/10(土) 21:00:30.45nについての帰納法による。
・n=1 のとき 等号成立。
・n>1 のとき
f_n(a,x) = (a-x)^n + (a+x)^n - 2a^n
= a･f_(n-1)(a,x) + x{(a+x)^(n-1) - (a-x)^(n-1)}
≧ a･f_(n-1)(a,x),
∵
x>0 のとき a+x > |a-x|,
x<0 のとき a-x > |a+x|,
x{(a+x)^(n-1) - (a-x)^(n-1)} ≧ 0,
よって
f_n(a,x) ≧ a･f_(n-1)(a,x) ≧ …… ≧ a^(n-1)･f_1(a,x) = 0,
0643１３２人目の素数さん
2011/09/11(日) 00:59:16.87文字の数をn個に拡張すると……
(a,b,c,……) の並びが (1,1,2) と (1,1,2,2) の組み合わせのとき、
n=4m : n + n/16,
n=4m+1 : n + (n-9)/16 + 1/2,
n=4m+2 : n + (n-6)/16 + 1/3,
n=4m+3 : n + (n-3)/16 + 1/6,
∴ 最大値はこれ以上だが....
0644１３２人目の素数さん
2011/09/11(日) 11:36:09.72正の実数 x,y,z が三角形（最大角θ）の３辺の長さとなるとき
S = (x^2+y^2+z^2)/(xy+yz+zx),
のとりうる値の範囲を求めよ。（じゅー)
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/679-
0645１３２人目の素数さん
2011/09/11(日) 14:40:04.06正弦定理より
S = {sin(A)^2 + sin(B)^2 + (sinθ)^2}/{sin(A)sin(B) + [sin(A)+sin(B)]sinθ},
A+B+θ = 180ﾟ（θ≧60ﾟ） より
S = 2{2+cosθcos(A-B) -(cosθ)^2}/{4(1+cosθ)sin(θ/2) +cos(A-B) +cosθ}
これは |A-B| について単調増加。
∴ 2(2-cosθ)/{1+4sin(θ/2)} ≦ S < 2,
左側の等号は A=B=(180ﾟ-θ)/2,
右側の不等号は {A,B}→{0ﾟ, 180ﾟ-θ}
0646１３２人目の素数さん
2011/09/14(水) 00:12:23.53a/1+(b+c)^2+b/1+(a+c)^2+c/1+(a+b)^2≦3(a^2+b^2+c^2)/(a^2+b^2+c^2+12abc)
0647１３２人目の素数さん
2011/09/14(水) 01:02:37.37a/{1+(b+c)^2} のつもりだよな？（残り２つも）
0648１３２人目の素数さん
2011/09/16(金) 22:27:40.55a > b > 0 のとき、a + 1/{(a-b)b} ≧ 3
【本題】
正の数 x、y、z と正の有理数 a、b、c に対して、
(x^a・y^b・z^c)/{(x+y+z)^(a+b+c)} ≦ (a^a・b^b・c^c)/{(a+b+c)^(a+b+c)}
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●| もう秋ですなぁ…
ヽ::::......ワ...ノ 過去スレに a+b+c=1の場合があったような希ガス
人つゝ 人,, ﾃﾍｯ！
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
0649１３２人目の素数さん
2011/09/17(土) 00:45:14.80a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと
LHS = a/{(s/3)^2 +(s-a)^2} + b/{(s/3)^2 +(s-b)^2} + c/{(s/3)^2 +(s-c)^2}
= 9(100s^5 -270s^3･t +378s^2･t +81tu)/(100s^6 -180s^4･t +324s^3･u +810s^2･t^2 -1458stu +729u^2),
RHS = 9(a^2+b^2+c^2)/{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+36abc}
= 9(s^2 -2t)/(s^3 -2st+36u),
は使いたくないし...
>>648 【うんち】
(a-b)b = (a/2)^2 - (a/2 - b)^2 ≦ (a/2)^2,
相加･相乗平均より
(左辺) ≧ a + (2/a)^2
= a/2 + a/2 + (2/a)^2
= 3 + (1+a)(1 - 2/a)^2
≧ 3,
0650１３２人目の素数さん
2011/09/17(土) 14:08:46.56正の数 x、y、z と正の有理数 a、b、c に対して、
(x^a・y^b・z^c)/{(x+y+z)^(a+b+c)} ≦ (a^a・b^b・c^c)/{(a+b+c)^(a+b+c)}
Just use weighted AM-GM inequality. Done!
0651１３２人目の素数さん
2011/09/17(土) 15:06:06.78L(X)=log(X) は上に凸なので、Jensen により
a･L(x/a) + b･L(y/b) + c･L(z/c) ≦ (a+b+c)･L((x+y+z)/(a+b+c)),
0652１３２人目の素数さん
2011/09/17(土) 18:48:40.09---------------------------------------------------
非負実数 x、y、z と正の数 a、b、c に対して、
(x+y+z)/(a+b+c) ≧ {(x/a)^a・(y/b)^b・(z/c)^c}^{1/(a+b+c)}
等号成立条件は、x/a = y/b = z/c のとき
---------------------------------------------------
これを使えば、次式も出てくるよね？ 間違ってないかな？
正の数 x、y、z が x+y+z=1 をみたすとき、
x^x・y^ｙ・z^z ≧ (x^y・y^z・z^x + x^z・y^x・z^y)/2
x^x・y^ｙ・z^z ≧ x^{(y+z)/2}・y^{(z+x)/2}・z^{(x+y)/2}
もっと面白いのできないかな？
|
＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
／＿＿＿＼
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ＜ 相加ッ！ 相乗だったのか！ ﾊｧﾊｧ…
ヽ::::... .ワ.....ノ
0653１３２人目の素数さん
2011/09/18(日) 21:34:16.82Prove that
(x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2]
0654１３２人目の素数さん
2011/09/18(日) 21:35:58.39Find the maximum value of
(x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2]
0655１３２人目の素数さん
2011/09/18(日) 21:37:38.42For x, y, z>0 with xyz=1.
Find the minimum value of
(x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2]
0656１３２人目の素数さん
2011/09/19(月) 13:41:18.19ハーディーと誰かがコレクション集だしてたよね
おまえ等、買った？
0657１３２人目の素数さん
2011/09/19(月) 14:37:40.12コレクションですと！
ｋｗｓｋ！
0658１３２人目の素数さん
2011/09/19(月) 16:46:53.200659１３２人目の素数さん
2011/09/19(月) 21:32:54.72http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/630
0660１３２人目の素数さん
2011/09/19(月) 22:09:41.76つまり >637 によれば
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -(a+b+c)x^2 +(ab+bc+ca) -abc,
とおくと
f(x)f(-x) = (-x^2 +a^2)(-x^2 +b^2)(-x^2 +c^2)
= -x^6 +(a^2+b^2+c^2)x^4 -{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}x^2 +(abc)^2
= -(x^2){(ab+bc+ca) + x^2}^2 + {abc + (a+b+c)x^2}^2, (恒等式)
x^2 = -1 を代入して
(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) = (ab+bc+ca-1)^2 + (abc -a-b-c)^2,
0661１３２人目の素数さん
2011/09/20(火) 12:41:18.890662MaxValu
2011/09/21(水) 12:37:20.35(x+3)/(x+1)^2 = 1/(x+1) + 2/(1+x)^2 ≦ 3/(1+x),
1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1) = (3+2s+t)/(1+s+t+u)
= 2 - (-1+t+u)/(1+s+t+u)
< 2,
ここに、s=x+y+z≧3, t=xy+yz+zx≧3, u=xyz=1,
よって
(与式) < 6,
上限に近づくのは、(例) x→0, y→0 のとき。
0663Aeon
2011/09/21(水) 13:44:34.021/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1)
= (3+2s+t)/(1+s+t+u)
= 2 - (-1+t+２u)/(1+s+t+u)
< 2,
>>655
1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1)
= (3+2s+t)/(1+s+t+u),
1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 + 1/(z+1)^2
= {(3-6u) + (4-2u)s + 2s^2 + 2st + t^2}/(1+s+t+u)^2,
(与式) ={9(1-u) + (13-2u)s +(4+u)t +6s^2 +7st +3t^2}/(1+s+t+u)^2
= 3 + {3(2-5u-u^2) +(7-8u)s -(2+5u)t +3s^2 +st}/(1+s+t+u)^2
= 3 + (-12 -s -7t +3s^2 +st)/(1+s+t+u)^2 (← u=1)
= 3 + {(5s/3 +4 +t)(s-3) +(4/3)(s^2 -3t)}/(1+s+t+u)^2
≧ 3,
等号成立は s=t=3 すなわち x=y=z=1 のとき。
0664１３２人目の素数さん
2011/09/21(水) 19:33:44.044(a^3+b^3+c^3-3abc)^3≧27(a^2b+b^2c+c^2a-3abc)^3
0665１３２人目の素数さん
2011/09/22(木) 21:55:07.55a^3 +b^3 +c^3 -3abc ≧ 3k･(aab +bbc +cca -3abc),
k = 1/{4^(1/3)} ～ 0.630
----------------------------------------------------
Let's put
m = min{a, b, c}
(a, b, c) = (m, m+x, m+x') or its rotation,
where x≧0, x'≧0.
Then,
a^3 + b^3 + c^3 -3abc = (a+b+c){(a-c)^2 -(a-c)(b-c) +(b-c)^2}
= (3m+x+x'){x^2 -xx' +(x')^2},
aab +bbc +cca -3abc = m{x^2 -xx' +(x')^2} + (x^2)x',
and
LHS - RHS ≧ (x+x'){x^2 -xx' +(x')^2} -3k(x^2)x'
= (x + kx')(x - x'/√k)^2
≧ 0.
Equality holds for (m, m+x, m+x') = (0, 1, √k)
0666１３２人目の素数さん
2011/09/22(木) 22:37:30.61>>2の[1]のことか？
0667１３２人目の素数さん
2011/09/22(木) 23:58:15.432(ab + ac + ad + bc + bd + cd)^3 ≧ 27(abc + abd + acd + bcd)^2
( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
0668１３２人目の素数さん
2011/09/23(金) 00:28:08.23(x-a[1])(x-a[2])(x-a[3])…(x-a[n])=Σ[k=0,n] (-1)^(n-k)p[k]x^kとしたとき、
i＜j⇒(p[i]/binomial(n,i))^(1/i)≧(p[j]/binomial(n,j))^(1/j) (等号成立はa[1]=a[2]=a[3]=…=a[n]のとき)
らしいのですが、どうやって証明するのが一番きれいですか？
コーシーシュワルツのようなきれいな証明を知りたいです。
0669１３２人目の素数さん
2011/09/23(金) 00:54:07.39S_k = p[k]/binomial(n,k) とおいて、(S_k)^2 ≧ S_(k-1)・S_(k+1) を示し、これを用いるのぢゃ
0670１３２人目の素数さん
2011/09/23(金) 08:23:21.67[初代スレ.455、473-474]
>>668
Π[k=1,j-1] (S_k)^(2k) ≧ Π[k=1,j-1] {S_(k-1)･S_(k+1)}^k,
より
(S_{j-1})^j ≧ S_0･(S_j)^(j-1),
S_0 = 1,
[初代スレ.257, 263-271]
参考文献[1] Cambridge版 (1934) の 2.22節、公式51-55
E.F.Beckenbach - R.Bellman, "Inequalities", Ergebnisse叢書、Springer (1961) p.11
>>669
Q_k = (S_k)^2 - S_(k-1)・S_(k+1) = {1/(n･k･C[n,k]･C[n-1,k])}Σ{j=0,k-1} [k;j]/(j+1) ≧ 0,
ここに [k;j] は {a1･a2･････a(k-j-1)}^2 a(k-j)････a(k+j-1){a(k+j)-a(k+j-1)}^2 という型の積すべての和
ですね。
[初代スレ.480-481]
数セミ増刊「数学の問題 第１集」No.21 (1977.2)
0671１３２人目の素数さん
2011/09/23(金) 09:52:01.92＿＿＿
.／ ≧ ＼ ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
|:::: ＼ .／ | 初代スレ懐かしい…
|::::: (● (● | あれから７年も経ったのか…
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
0672仙石６０
2011/09/23(金) 09:56:22.550673１３２人目の素数さん
2011/09/23(金) 10:15:54.71誰だね君は？
0674仙石６０
2011/09/23(金) 10:18:00.02職業に関係する知識とノウハウは誰にも負けん。
0675猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
2011/09/23(金) 13:50:55.86馬鹿潰しに関係する知識とノウハウは誰にも負けん。
猫
0676１３２人目の素数さん
2011/09/23(金) 13:56:54.760677猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
2011/09/23(金) 15:53:56.74猫
0678１３２人目の素数さん
2011/09/23(金) 19:22:28.01(S_k)^2 ≧ S_(k-1)･S_(k+1),
より
1/S_0 ≧ ･･････ ≧ (S_k)^(k-1)／(S_{k-1})^k ≧ (S_{k+1})^k／(S_k)^(k+1) ≧ ････,
S_0 = 1,
とすべきか....
0679１３２人目の素数さん
2011/09/24(土) 00:27:51.12遅くなりましたがありがとうございます。
これは相加相乗平均の関係の拡張版と見なしていいですよね。
不等式の奥深さを改めて感じました。
n=6の場合についての問題が本に載っていたのですが、
皆目見当が付かず、答えが載っていなかったため数週間迷った挙句本屋に行っても
これについて解説している本が見つからなくて途方に暮れていました。
紹介していただいた参考文献[1]を是非読んでみたいと思います。
0680１３２人目の素数さん
2011/09/24(土) 01:53:55.13> n=6の場合についての問題が本に載っていたのですが、
その本の紹介きぼんぬ！ですぢゃ
0681１３２人目の素数さん
2011/09/25(日) 09:38:07.220682１３２人目の素数さん
2011/09/25(日) 18:40:04.63シュプリンガーの『数学発想ゼミナール』3巻（第7章の題は「不等式」です）p.357
「x^6-6x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+1=0の解は全て正であるという。
このときa,b,c,dを決定せよ。」
という問題です。
2次、3次方程式の解が全て実数かつ正であるための条件は
増減表などによって調べることが出来ました。
ここで上の命題を予想し、解が全て正である4次以上の方程式についても確かめたところ、正しそうだと分かりました。
相加-相乗平均の関係についての節の問題だったうえ、2項係数が出てきたため、
予想を導くこと自体はそれほど難しくありませんでした。
もし正しければa=15,b=-20,c=15,d=-6と定まり、x=1を6重解として持ちます。
しかし、証明がなかなか思いつかなかったので今回質問させていただきました。
0683１３２人目の素数さん
2011/09/25(日) 19:55:12.30根をα,β,γ,δ,ε,ζ とする。根と係数の関係より
(α+β+γ+δ+ε+ζ)/6 = 1 = (αβγδεζ)^(1/6),
相加平均 = 相乗平均,
また、題意より 根>0 だから 等号条件より
α = β = γ = δ = ε = ζ = 1,
以下ry)
0684１３２人目の素数さん
2011/09/26(月) 07:09:34.820685１３２人目の素数さん
2011/09/27(火) 00:12:09.52根を A,B,C,D,E,F >0 とするとき
（A+B+C+D+E+F)^6 - (6^6)ABCDEF = Σ' {･･正の式･･･}(A-B)^2,
の形になることを示そう。
0686685
2011/09/27(火) 00:18:25.59まづ、
(A+B+C+D+E+F)^6 = (1/60)g + (1/2)h + (5/4)i + 5j1 + (5/6)j2 + 20k + 20L1 + 5L2 + 45m + 30n + 2o,
ここに
g = 60(A^6 + B^6 + … + F^6) = 60[6],
h = 12Σ (A^5)B = 12[5,1],
i = 12Σ (A^4)(B^2) = 12[4,2],
j1 = 6Σ（A^4)BC = 6[4,1,1],
j2 = 24Σ (AB)^3 = 24[3,3],
k = 3Σ (A^3)(B^2)C = 3[3,2,1],
L1 = 6Σ (A^3)BCD = 6[3,1,1,1],
L2 = 18Σ (ABC)^2 = 18[2,2,2],
m = 4Σ (AB)^2･CD = 4[2,2,1,1],
n = 12Σ (A^2)BCDE = 12[2,1,1,1,1,1],
o = 360･ABCDEF,
である。
ここで、Muirhead により
g - h = 12Σ (A^5 - B^5)(A-B) = 12Σ {A^4 +A^3･B + (AB)^2 +AB^3 +B^4}(A-B)^2,
h - i = 12Σ AB(A^3 - B^3)(A-B) = 12Σ AB(A^2 +AB +B^2)(A-B)^2,
i - j1 = 12Σ C^4･(A-B)^2,
i - j2 = 12Σ (AB)^2･(A-B)^2,
j1 - k = 3Σ (A^2)BC･(A-B)^2,
j2 - k = 3Σ (B^3)C･(A-B)^2,
k - L1 = 3Σ (C^3)D･(A-B)^2,
k - L2 = 3Σ AB(C^2)･(A-B)^2,
L1 - m = 2Σ ABCD･(A-B)^2,
L2 - m = 2Σ (CD)^2･(A-B)^2,
m - n = 4Σ (C^2)DE･(A-B)^2,
n - o = 12Σ CDEF･(A-B)^2,
を使う。(終)
0687685
2011/09/27(火) 00:58:03.82Σ' はあらゆる文字の入替えに亘る和。（ただし同じものは1回ずつ）
g = 60Σ' A^6,
0688１３２人目の素数さん
2011/09/27(火) 01:51:31.96顔文字に見えた
0689１３２人目の素数さん
2011/09/28(水) 21:32:43.48恥ずかしながら、上述の定理を予想していざ計算！
…という段階になってはじめてその解法に気付きました。
もっとも、遠回りの結果美しい不等式に出会えたので良かったのですが。
>>685-687
調べてみたところ、Muirhead's inequalityという名称があるのですね。
かなり複雑に見えますが、じっくり読ませていただきます。
0690１３２人目の素数さん
2011/10/03(月) 22:24:05.40⇒e*x^(ex)≧1
0691１３２人目の素数さん
2011/10/07(金) 13:50:28.390692１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 02:12:36.05⇒ 1/x = e/(ex) ≦ e^(1/(ex)),
⇒ -log(x) ≦ 1/(ex),
⇒ x･log(x) ≧ -1/e,
0693１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 12:12:24.28∀x、 y∈R に対して f(x+y) ≦ yf(x) + f(f(x)) が成立するとき、
∀x<0 に対して f(x)=0 を示せ
0694１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 12:13:03.150695１３２人目の素数さん
2011/10/10(月) 00:08:46.16http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwasen/egyptian/egyptian.html
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&start=46
Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 出題(不等式)
http://planetmath.org/encyclopedia/MuirheadsInequality.html (英語)
示野信一:「対称式と不等式」数セミ、48巻、2号、通巻569 (2009/Feb) の p.26-29
G.H.Hardy、J.E.Littlewood & G.Polya: 「不等式」、ｼｭﾌﾟﾘﾝｶﾞｰ･ﾌｪｱﾗｰｸ東京 (2003/9) \5040 の 2.19節
0696１３２人目の素数さん
2011/10/10(月) 00:22:46.59http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&start=46
0697１３２人目の素数さん
2011/10/11(火) 08:37:52.47IMO 2011 Problem 3
0698１３２人目の素数さん
2011/10/19(水) 01:01:58.860699１３２人目の素数さん
2011/10/19(水) 11:52:19.940700１３２人目の素数さん
2011/10/20(木) 11:41:10.61わからん！
0701１３２人目の素数さん
2011/10/21(金) 22:08:38.80f :R → Rは三回微分可能な関数で,全てのxについて次の条件①,②が成り立っている
①f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0,f'''(x)>0
②f'''(x)≦f(x)
このとき全てのxについて2f(x)>f'(x)が成立することを示せ
0702１３２人目の素数さん
2011/10/22(土) 01:18:30.970703１３２人目の素数さん
2011/10/22(土) 08:08:04.990704１３２人目の素数さん
2011/10/22(土) 08:33:46.75俺は気づかなんだが、あとは推して知るべしだぞ！
0705１３２人目の素数さん
2011/10/22(土) 16:57:35.040706１３２人目の素数さん
2011/10/24(月) 16:01:25.22これどうするん？
和歌んねーよ！
0707１３２人目の素数さん
2011/10/24(月) 18:16:31.51これスツルムの定理で解けない？
0708１３２人目の素数さん
2011/10/26(水) 22:05:09.91(1) a,b,c の中に１以上のものがあるときは明らか。
次に M = Max{b+c,c+a,a+b} とおく。
(2) a,b,c ≦ 1 かつ M ≦ 1 のとき
b+c≦1, …, …
y=x^(b+c) は xについて上に凸だから（x=1での）接線の下側にある。
x^(b+c) ≦ 1 +(b+c)(x-1) ≦ 1 + (b+c)x,
(1/x)^(b+c) ≧ 1/{1 + (b+c)x}, (ベルヌーイの式)
x=1/a とおいて
a^(b+c) ≧ a/(a+b+c),
循環的にたす。
(3) a,b,c ≦ 1 かつ M ≧ 1 のとき
0 < a ≦ b,c ≦ 1 としても一般性を失わない。
a+b, a+c ≦ b+c = M,
(与式) ≧ b^(c+a) + c^(a+b)
≧ b^M + c^M
≧ 2･(M/2)^M (← 下に凸)
≧ 2(1/2) (← *)
= 1,
*) {M･log(M/2)} ' = 1 + log(M/2),
∴ (M/2)^M は M>2/e で単調増加。
∴ (M/2)^M ≧ 1/2, (M≧1)
casphy - 高校数学 - 不等式 - 710～713
0709１３２人目の素数さん
2011/10/31(月) 21:43:49.36( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0710１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 11:57:24.96a/√(a+b)+b/√(b+c)+c/√(c+a)≧3/√2
0711１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 19:18:16.060712１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 23:21:22.64例によって
(a+b+c)/2 = s,
(s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)+(s-c)(s-a) = t,
(s-a)(s-b)(s-c) = u,
とおく。
△不等式より、s-a>0, s-b>0, s-c>0,
ヘロンの公式： Ｓ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su),
4R = abc/Ｓ = (st-u)/√(su),
r = Ｓ/s = u/√(su)
よって
{4R + (5/2)r}^2 = {st + (3/2)u}^2 /su
= (2s)^2 + (s/tu)(t^3 -4stu +9u^2) + (3/t)(t^2 -3st) + (9u/4s)
= (2s)^2 + (su/t)F_{-2}(s-a,s-b,s-c) + (3u/t)F_{-1}(s-a,s-b,s-c) + (9u/4s)
> (2s)^2
= (a+b+c)^2,
〔Schur不等式〕
F_n(x,y,z) = x^n･(x-y)(x-z) + y^n･(y-z)(y-x) + z^n･(z-x)(z-y)
= x^n･(x-y)^2 + (x^n -y^n +z^n)(x-y)(y-z) + z^n･(y-z)^2 ≧ 0.
ここで y は x と z の中間にあるとした。（終）
0713１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 20:20:36.93> 例によって
> (a+b+c)/2 = s,
> (s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)+(s-c)(s-a) = t,
> (s-a)(s-b)(s-c) = u,
いや、この置き換え、初見なんだけど… (ﾟ∀ﾟ；)ﾌﾞﾙﾌﾞﾙ
0714β
2011/11/03(木) 20:24:14.570715１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 23:12:58.69(a+b+c)/2 = s とおくと
(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
……
なのですが、簡単なので省略しました。
0716１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 00:11:08.55(1) 1 + sin x + (sin 2x)/2 + … + (sin nx)/n > 0
(2) 1 + cos x + (cos 2x)/2 + … + (cos nx)/n > 0
( ﾟAﾟ) ぐぬぬ…
0717１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 04:03:13.97nについての帰納法による。
与式の左辺を 1 + S_n(x) とおく。
S_1(x) = sin(x) >0,
S_2(x) = sin(x){1+cos(x)} > 0,
n>2 のとき
(d/dx)S_n(x) = cos(x) + cos(2x) + …… + cos(n･x)
= {sin((n+1/2)x) - sin(x/2)}/{2sin(x/2)} (積和公式)
= sin(n･x/2)cos((n+1)x/2)/sin(x/2), (和積公式)
S_n が極値をとる点 x=x0 に注目する。
(1) sin(n･x0/2) = 0 のとき
S_(x0) - S_{n-1}(x0) = sin(n･x0) = 0,
(2) cos((n+1)x0 /2) = 0 のとき
倍角公式より sin((n+1)x0) = 0, cos((n+1)x0) = -1,
S_n(x) - S_{n-1}(x) = sin(n･x)
= sin((n+1)x-x)
= sin((n+1)x)cos(x) - cos((n+1)x)sin(x), (加法公式)
S_n(x0) - S_{n-1}(x0) = sin(x0) > 0,
参考文献[3] p.134-135, 例題8
〔類題〕
S_n(x) = Σ[k=1,n] sin(kx)/k は sin(x) と同符号で、
| S_n(x) | < G' = Si(π) = 1.8519370519824…,
[第２章.50、53、55]
0718１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 04:53:07.18与式の左辺を Ｃ_n(x) とおく。
Ｃ_1(x) = 1 + cos(x) > 0,
Ｃ_2(x) = 1 + cos(x) + cos(2x)/2
= 1/2 + cos(x) + cos(x)^2 (倍角公式)
= 1/4 + {(1/2) + cos(x)}^2 > 1/4,
さて、
(d/dx)Ｃ_n(x) = -sin(x) - sin(2x) + …… - sin(n･x)
= {cos((n+1/2)x) - cos(x/2)}/{2sin(x/2)} (積和公式)
= -(1/2)sin(n･x) - {1-cos(n･x)}cos(x/2)/{2sin(x/2)} (加法公式)
< -(1/2)sin(n･x),
Ｃ_n(π) - Ｃ_n(x) < -(1/2)∫[x,π] sin(n･t)dt
= {(-1)^n - cos(n･x)}/(2n)
< {(-1)^n + 1}/(2n) (n:偶数のとき 1/n、n:奇数のとき 0）
< (1-1) + (1/2 - 1/3) + …… + (-1)^n /n
= Ｃ_n(π),
∴ Ｃ_n(x) > 0, (森氏、ζ氏による.)
数セミ、３４巻7号（1995/7）出題、３４巻10号（1995/10）解説
0719１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 09:35:22.580720１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 11:24:52.78( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0721１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 15:27:43.34(1+|z|^2)w - (1+|w|^2)z = (w-z) - zw(w-z)~,
zw~ - z~w = (1/2){(w+z)(w-z)~ - (w+z)~･(w-z)},
∴ |左辺|^2 - |右辺|^2 = {(w-z) -zw(w-z)~}{(w-z)~ -z~w~(w-z)}
- (1/4){(w+z)(w-z)~ - (w+z)~(w-z)}{(w+z)~(w-z) - (w+z)(w-z)~}
= (w-z)(w-z)~(1 + |zw|^2 -zw~ -z~w)
= (w-z)(w-z)~(1-zw~)(1-z~w)
= |w-z|^2 |1-zw~|^2
≧ 0,
0722１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 19:58:51.760723１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 22:11:14.990724１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 22:33:32.63君が解き給へ(・∀・)！
0725１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 23:47:08.21>>699
いつものように
f(x,y,z) = x^4 + y^4 + z^4 -12(xy+yz+zx) + 33
とくおく。
f(x,y,z) - f(x, √(yz), √(yz)) = (y^2 -z^2)^2 -12x(√y -√z)^2
= (√y -√z)^2 {(y+z)^2･(√y +√z)^2 - 12x}
≧ (√y -√z)^2 {(4yz)(4√yz) - 12x}
= (√y -√z)^2 {16/(x^1.5) - 12x} (← yz=1/x)
ところで f(x,y,z) は対称式だから x≦y,z としてもよい。
∴ x ≦ 1,
∴ 16/(x^1.5) - 12x > 0,
∴ f(x,y,z) ≧ f(x, 1/√x, √x), (x≦1)
また
x^2･f(x, 1/√x, 1/√x) = x^6 -24x^2.5 +33x^2 -12x +2
= (√x - 1)^2 (x^5 +2x^4.5 +3x^4 +4x＾3.5 +5x^3 +6x^2.5 +7x^2 -16x^1.5 -6x +4√x +2)
= (√x - 1)^2 g(x)
≧ 0,
∵ g(x) ≧ g(0.4811730855931836) = 0.258670936041927
なお、x = 0.0394556281276082 に極大がある。（2.44552474861856)
0726１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 00:08:48.59真ん中より少し下
∴ f(x,y,z) ≧ f(x, 1/√x, １／√x), (x≦1)
0727１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 07:42:17.98a/(a^3+8)+b/(b^3+8)+c/(c^3+8)+d/(d^3+8)≦4/9
0728１３２人目の素数さん
2011/11/08(火) 00:41:43.07(x^3 +8)(2x+1) - 27x = (x-1)^2･(2x^2 +5x+8) ≧ 0,
x/(x^3 +8) ≦ (2x+1)/27, … x=1 での接線
x = a,b,c,d についてたす。
0729１３２人目の素数さん
2011/11/08(火) 02:04:44.31相加･相乗平均より
x^3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ≧ 9 x^(1/3),
∴ (左辺) ≦ (1/9){a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) + d^(2/3)}
≦ (4/9){(a+b+c+d)/4}^(2/3) (上に凸)
= 4/9,
0730１３２人目の素数さん
2011/11/08(火) 16:04:19.53a^4+b^4+c^4+2abc(a+b+c)≧a^3b+b^3c+c^3a
0731１３２人目の素数さん
2011/11/08(火) 16:57:38.99Step 1 a^3≧3a-2
Step 2 AM-GM-HM
Done!
0732１３２人目の素数さん
2011/11/09(水) 22:36:50.76(左辺) - (右辺) = a^4 +b^4 +c^4 + 2abc(a+b+c) -a^3･b -b^3･c -c^3･a
= (1/2)(a^2 -b^2 -ab -ca)^2 + cyclic
≧ 0,
〔類題268〕
(a^2 + b^2 + c^2)^2 ≧ 3(a^3･b + b^3･c + c^3･a),
>>268
>>284-290
0733１３２人目の素数さん
2011/11/12(土) 12:11:39.84ab(c+2)/(c+1)+bc(a+2)/(a+1)+ca(b+2)/(b+1)≦7/12
0734１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 02:00:45.58(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0 より
ab + bc + ca ≦ (1/3)(a+b+c)^2 = 1/3,
これを与式から差引くと、つまり次式を示せばよい。
ab/(c+1) + bc/(a+1) + ca/(b+1) ≦ 1/4,
(左辺) = ab{1 - c/(c+1)} + bc{1 - a/(a+1)} + ca{1 - b/(b+1)}
= (ab+bc+ca) -abc{1/(c+1) + 1/(a+1) + 1/(b+1)}
≦ (ab+bc+ca) - 9abc/(a+b+c+3) (← 相加･調和平均 または y=1/x:下に凸)
= (ab+bc+ca) - 9abc/{4(a+b+c)} (← a+b+c=1)
= (1/4)(a+b+c)^2 - F_1(a,b,c)/{4(a+b+c)}
≦ 1/4, (← a+b+c=1)
ここに
F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= (a+b+c)^3 -4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc ≧ 0, (Schur)
0735１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 04:20:40.33最初の３行に気づかなんだ
難しく見せているゴミを消すんだな
0736１３２人目の素数さん
2011/11/17(木) 09:34:49.23|f’(x)| の最大値 M’とおくとき、M’≦ n^2M が成り立つことを示せ
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0737１３２人目の素数さん
2011/11/17(木) 12:10:36.920738１３２人目の素数さん
2011/11/17(木) 23:24:58.13ｋｗｓｋ！
0739１３２人目の素数さん
2011/11/18(金) 15:34:07.09エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索
0740１３２人目の素数さん
2011/11/18(金) 15:34:50.73誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
0741１３２人目の素数さん
2011/11/18(金) 15:55:38.02(a+b+c+d-2)(1/a+1/b+1/c+1/d+1/2)≧9.
0742１３２人目の素数さん
2011/11/19(土) 00:17:55.690743β
2011/11/19(土) 00:20:06.150744１３２人目の素数さん
2011/11/19(土) 01:03:24.34藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
0745猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/11/19(土) 01:21:19.310746１３２人目の素数さん
2011/11/19(土) 02:01:00.070747猫は痴漢野郎 ◆MuKUnGPXAY
2011/11/19(土) 02:04:41.16馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
猫
0748猫は痴漢野郎 ◆MuKUnGPXAY
2011/11/19(土) 02:08:03.06私は数学科ではなくて応用物理みたいな学科の学卒なので、従って物理
は仕方無く勉強しました。そんで化学は必修科目として結構含まれてい
ましたが、全然好きにはなれませんでした。とにかく実験の演習は苦痛
でしかアリマセンでしたね。
だから物理も化学もみっちりでも何でもありません。最低限ですね。
猫
0749１３２人目の素数さん
2011/11/19(土) 11:01:43.280750１３２人目の素数さん
2011/11/19(土) 17:57:36.100751１３２人目の素数さん
2011/11/19(土) 20:14:46.04どうやって, 相加相乗使えるねん？！
0752１３２人目の素数さん
2011/11/19(土) 22:17:02.331/a+1/b+1/c+1/d≧4(1/abcd)^(1/4)
0753１３２人目の素数さん
2011/11/19(土) 22:59:59.78それでは証明できない。
0754１３２人目の素数さん
2011/11/20(日) 12:57:28.57自作の不等式問題投げたときも30分で解かれたし。
0755Y
2011/11/20(日) 18:16:34.400756１３２人目の素数さん
2011/11/20(日) 19:29:31.45↓こうやって、微分を1つ減らした問題なら解けるんだけどなあ。
f :R → Rは二回微分可能な関数で,全てのxについて次の条件①,②が成り立っている
①f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0
②f''(x)≦f(x)
このとき全てのxについて2f(x)>f'(x)が成立することを示せ
0757１３２人目の素数さん
2011/11/20(日) 22:21:04.68ｋｗｓｋ！
0758１３２人目の素数さん
2011/11/21(月) 00:28:55.43f(x) は下に有界かつ単調増加だから、lim[x→ -∞] f(x) は収束する。
f(-∞) = lim[x→ -∞] f(x) = a ≧ 0.
f '(-∞) = lim[x→ -∞] f '(x) = 0.
f '(x) >0 と (2)から
(d/dx){f(x)^2 - f '(x)^2} = 2f '(x){f(x) - f "(x)} ≧ 0,
∴ f(x)^2 - f '(x)^2 は単調増加。
∴ f(x)^2 - f '(x)^2 ≧ f(-∞)^2 - f '(-∞)^2 = a^2 - 0^2 ≧ 0,
f(x) + f '(x) >0 で割れば
f(x) - f '(x) ≧ 0,
0759１３２人目の素数さん
2011/11/22(火) 06:33:29.44(d/dx){f(x)exp(-x)} ≦ 0,
∴ f(x) は単調増加だが、f(x)exp(-x) は(広義)単調減少。
0760１３２人目の素数さん
2011/11/22(火) 07:26:54.80p' = a^2 -b^2 +bc,
q' = b^2 -c^2 +ca,
r' = c^2 -a^2 +ab,
とおくと、
(左辺) - (右辺) = (1/2)(p'+q')^2 + (1/2)(q'+r')^2 + (1/2)(r'+p')^2 ≧ 0
casphy - 高校数学 - 不等式、718
0761１３２人目の素数さん
2011/11/22(火) 13:57:08.76Exactly same as mine.
0762１３２人目の素数さん
2011/11/22(火) 21:17:03.300763１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 22:29:54.05a,b,c が実数で ⊿=(a-b)(b-c)(c-a) のとき、
(1)
納n=1,2] {a^(2n) +b^(2n) +c^(2n) -(ab)^n -(bc)^n -(ca)^n}
≧ (3/2)|⊿|,
(2)
納n=1,4] {a^(2n) +b^(2n) +c^(2n) -(ab)^n -(bc)^n -(ca)^n}
≧ 3(1 + a+b+c +a^2 +b^2 +c^2)|⊿|,
を、示して下さい。
casphy - 高校数学 - 不等式、719,722,725
0764１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 07:13:35.37３枚目の２番
0765１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 09:46:58.28１．Let ａ be an arbitrary real number and ｂ a positive real number. Evaluate the integral
∫[0,∞） cos(ax)/cosh(bx) dx.
（Recall that cosh(x) = (1/2)(e^x + e^-x) is the hyperbolic cosine.)
{Wed., 2010/Jan/20 (Day 2)}
２．Let ｆ be a holomorphic function on a domain containing the closed disc {z : |z|≦3}, and suppose that
f(1) = f(i) = f(-1) = f(-i) = 0.
Show that
|f(0)| ≦ (1/80)･max{|f(z)| : |z|=3},
and find all such functions for which equality holds in this inequality.
{Thu., 2010/Jan/21 (Day 3)}
0766１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 10:33:54.24cos(ax) = (1/2){e^(iax) + e^(-iax)} から、
∫[0,∞) cos(ax)e^(-cx) dx
= (1/2)∫[0,∞) {e^(-(c-ia)x) + e^(-(c+ia)x)} dx
= (1/2){1/(c-ia) + 1/(c+ia)}
= c/(a^2+c^2), (c>0)
と
1/cosh(bx) = 2e^(-bx)/{1+e^(-2bx)} = 2Σ[k=0,∞) e^(-(2k+1)bx),
を使っても出せぬぅ.....
答： π/{2b･cosh(πa/2b)},
〔参考書〕
森口･宇田川･一松:「数学公式I」岩波全書221, ｐ.256 (1956)
0767１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 11:48:54.541/cosh(bx) = 2e^(-bx)/{1+e^(-2bx)} = 2Σ[k=0,∞) (-1)^k･e^(-(2k+1)bx),
0768１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 20:36:13.48http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/105_09_JIPAM/105_09.pdf
に目を通しておいて下さい。ついでに、
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq.pdf
も読んで頂けると幸いです。
0769１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 20:43:16.45定理1. 4次斉次多項式f(a,b,c)について、
任意の実数a,b,cに対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、
f(1,0,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x∈R)である。
定理2. 3～5次斉次多項式f(a,b,c)について、
任意のa,b,c≧0に対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、
f(x,1,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x≧0)である。
0770１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 20:45:04.43定理1. 4次斉次対称多項式f(a,b,c)について、
任意の実数a,b,cに対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、
f(1,0,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x∈R)である。
定理2. 3～5次斉次対称多項式f(a,b,c)について、
任意のa,b,c≧0に対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、
f(x,1,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x≧0)である。
0771１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 21:30:54.77b> 0
Pi/2b sech(a Pi/2b)
0772１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 22:13:07.75>>570 で
N→w, I→-p, J→-q, K→r, L→(p+q-r-w)
とおけば (1.6) になりますね。
もっとも、これらの文献では w=1 としているようですが....
0773１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 22:11:38.11基本対称式を x+y+z=s, xy+yz+zx=t, xyz=u とおくと
f(x,y,z) = f(1,0,0)(s^4 -6sst +8tt +3su) + f(0,1,1)(8tt-sst-15su)/4 + f(1,1,1)(8tt-2sst-5su)/3 + f(2,1,1)(sst-4tt+3su)/4
と書けるが…
0774１３２人目の素数さん
2011/11/30(水) 13:27:41.48http://www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/kadai10-11.pdf
( ﾟ∀ﾟ)ﾑﾑﾑ…
0775１３２人目の素数さん
2011/11/30(水) 23:51:09.00(64_1)
(1) sgn(a), x = |a|･tanθ とおく。
(2) 部分分数に分けて
f(x)f(t-x) = (1/2π)f(t/2){(1/2 + x/t)f(x) + (1/2 + (t-x)/t)f(t-x)}
xf(x) は奇関数だから、積分すれば0.
(t-x)f(t-x) も同様。
∴ (1/2π)f(t/2)∫(-∞,∞) {f(x) + f(t-x)}/2 dx = (1/2π)f(t/2),
66-5
問題1.
(左辺) - (右辺) = (4/5)(x-y)^2 + (4/5)(x+y)(z-x-y) + (z-x-y)^2 ≧0,
z = x+y+Z (Z≧0) を与式に代入する。
問題2.
(与式) > ∫[0,1] (x^2)e^(-x) dx
= [ -(x^2 +2x +2)e^(-x) ](x=0,1)
= 2 - (5/e) = 0.160603
(与式) < ∫[0,1] (x^2)･e^(-x^3) dx
= [ -(1/3)e^(-x^3) ](x=0,1)
= (1/3)(1 - 1/e) = 0.210707
（真値は (1/4)(√π)erf(1) - 1/(2e) = 0.189472345820492...）
67-2
(1) f(x) = (x+1/x)^2 は下に凸だから
(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 + (c + 1/c)^2
= f(a) + f(b) + f(c)
≧ 3f((a+b+c)/3) (← 下に凸)
= 3f(1/3) = 3(10/3)^2 = 100/3,
0776１３２人目の素数さん
2011/12/02(金) 01:41:46.250777１３２人目の素数さん
2011/12/02(金) 01:43:06.65m は {m(m-1)+2}/2 項目に初めて現れれる。これをnとすると、mは
a_n = [ （1 + √(8n-7)）/2 ]
>>774
66-5
I_n = ∫[0,1] x^2･exp(-x^n) dx
は nについて単調増加で、 1/3 に収束する。
I_n ≒ 1/3 - 1/(1.2553312n + 4.22642) (n>>1)
0778１３２人目の素数さん
2011/12/02(金) 14:24:30.4367-2 (1)
〔補題〕
ある区間で f(x) >0 とする。
(1) f が下に凸, a>1 ⇒ f^a も下に凸。
(2) f が上に凸, 0<a<1 ⇒ f^a も上に凸。
(3) f が上に凸, a<0 ⇒ f^a は下に凸。
(略証)
f が上に凸 ⇔ f " >0,
f が下に凸 ⇔ f " <0,
f(x)^a = g(x) とおくと
g ' = a･f^(a-1)f ',
g " = a(a-1)f^(a-2){f '}^2 + a･f^(a-1)･f ",
0779１３２人目の素数さん
2011/12/02(金) 14:51:44.63(略証)
f が下に凸 ⇔ f " >0,
f が上に凸 ⇔ f " <0,
0780１３２人目の素数さん
2011/12/02(金) 21:23:27.67・三角不等式 |b+c| + |a+b| ≧ |c-a| を使って
(左辺) = {a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca} + {a^4 +b^4 +c^4 -(ab)^2 -(bc)^2 -(ca)^2}
= (1/2){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2} + (1/2){(a^2 -b^2)^2 +(b^2 -c^2)^2 +(c^2 -a^2)^2}
= (1/4){(a-b)^2 +(b^2 -c^2)^2} + (1/4){(b-c)^2 +(a^2 -b^2)^2} + cyclic
≧(1/2){|a-b||b^2 -c^2| + |b-c||a^2 -b^2|} + cyclic (← 相加･相乗平均)
= (1/2)|a-b||b-c|(|b+c|+|a+b|) + cyclic
≧(1/2)|a-b||b-c||c-a| + cyclic (← △不等式)
= (3/2)|⊿|,
・あるいは
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a) = (1/3){(c-a)+(c-b)}(a^2 -b^2) + cyclic,
から
(左辺) - (3/2)|⊿| = (1/4)(c-a)^2 + (1/4)(c-b)^2 + (1/2)(a^2 -b^2)^2 ±(1/2){(c-a)+(c-b)}(a^2 -b^2) + cyclic
= (1/4){(c-a)±(a^2 -b^2)}^2 + (1/4){(c-b)±(a^2 -b^2)}^2 + cyclic (複号同順)
= (1/8){(2c-a-b)±2(a^2 -b^2)}^2 + (1/8)(a-b)^2 + cyclic
≧ 0,
0781Y
2011/12/07(水) 18:11:04.990782１３２人目の素数さん
2011/12/08(木) 23:37:47.560783１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 00:09:56.400784１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 00:50:16.480785１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 06:09:30.37http://www.sugakukobo.com/
問題
http://www.sugakukobo.com/pdf/SuuSemi_1.pdf
解説
http://www.sugakukobo.com/pdf/SuuSemi_2.pdf
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0786１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 06:12:53.86さっさとよこせ！でございます
0787１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 14:19:18.490788１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 23:36:44.27http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1113...
嫁！ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0789１３２人目の素数さん
2011/12/10(土) 05:07:17.81x^4・y + y^4・z + z^4・x ≧ x^2・y^2・z + y^2・z^2・x + z^2・x^2・y
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0790１３２人目の素数さん
2011/12/10(土) 17:07:44.95http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/
A5／192ページ／2011年11月25日
定価2730円
数学オリンピック（JMO・IMO）出場者自身による，類例のない数学オリンピック問題の解説書。
単なる「問題と解答」にとどまらず，知っておきたい知識や実際の試験での考え方，答案の組み立て方などにも踏み込んで高い実践力を養成する。
>>789
相加･相乗平均より
(6x^4･y + 5y^4･z + 2z^4･x)/(6+5+2) ≧ x^2･y^2･z,
循環的にたす。
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0791１３２人目の素数さん
2011/12/10(土) 17:31:36.86> 獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
> http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/
■Muirheadの不等式■
x、y、z >0 とする
p_1 ≧ q_1
p_1 + p_2 ≧ q_1 + q_2
p_1 + p_2 + p_3 ＝ q_1 + q_2 + q_3
のとき、(i、j、k) は (1、2、3) の並び替えとして
Σx^(p_i)・y^(p_j)・z^(p_k) ≧ Σx^(q_i)・y^(q_j)・z^(q_k)
（P.10より）
Muirheadの不等式を用いて不等式を照明することを Bunching といいます
（日本選手の間でも2003年頃から普及しはじめ、「バンチ」と呼ぶ人が多いです）
＿＿＿ なんで Bunching なのか小一時間問い詰めたい
.／ ≧ ＼ ああ問い詰めたいね
|:::: ＼ .／ | 別にﾑｯﾊｧ-でもいいじゃんかと！
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
0792１３２人目の素数さん
2011/12/10(土) 19:40:28.18Bunchin さんは63歳になられました....
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A1%82%E6%96%87%E7%8F%8D
0793１３２人目の素数さん
2011/12/10(土) 22:21:58.20「ねこやなぎ」の由来は？
http://www.youtube.com/watch?v=PYHozLh3QyA
0794１３２人目の素数さん
2011/12/11(日) 06:20:05.34http://www.youtube.com/watch?v=aW5DJHMrrcA
0795１３２人目の素数さん
2011/12/11(日) 07:08:35.730796１３２人目の素数さん
2011/12/11(日) 21:06:29.75p_1 ≧ p_2 ≧ p_3,
q_1 ≧ q_2 ≧ q_3,
とするんでつか？
（ｐ）ゝ（ｑ）
と書き、ｐはｑの優数列である（ｐ majorizes ｑ）という。
参考文献[3] p.125 (1987.10)
0797１３２人目の素数さん
2011/12/12(月) 17:25:05.25For f(a, b, c)=a+b^{20}+c^{11},
f(a, b, c)+f(b, c, a)+f(c, a, b)≦1
0798１３２人目の素数さん
2011/12/12(月) 21:23:27.28問題自体に不備がある悪寒
0799１３２人目の素数さん
2011/12/12(月) 21:51:50.200800１３２人目の素数さん
2011/12/12(月) 23:44:50.54両辺を xyz で割ると
x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y ≧ xy + yz + zx,
となる。これはコーシー
(x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y)(xz+yx+zy) ≧ (x^2 + y^2 + z^2)^2 ≧ (xy+yz+zx)^2,
より明らか。（冬）
casphy - 高校数学 - 不等式 - 735
0801１３２人目の素数さん
2011/12/13(火) 09:19:04.81チェビシェフによる。
Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) から
x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y ≧ x^3 /x + y^3 /y + z^3 /z
= x^2 + y^2 + z^2 ≧ xy + yz + zx,
または
xy=Z, yz=X, zx=Y とおいて
Σ(同順序積) ≧ Σ(乱順序積) より
x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y = YZZ/XX + ZXX/YY + XYY/ZZ
≧ YZZ/ZZ + ZXX/XX + XYY/YY = Y + Z + X = zx + xy + yz,
0802１３２人目の素数さん
2011/12/15(木) 15:04:08.16_ ∩
( ﾟ∀ﾟ)彡 モロー！ モロー！
⊂彡
0803１３２人目の素数さん
2011/12/15(木) 15:12:21.25おっぱい！ おっぱい！
おっぱい おっぱい！ おっぱい！
おっぱい！ ∩ ∩ ﾉ) おっぱい！
おっぱい！ 川 ∩ 川彡'三つ おっぱい！
おっぱい！ ⊂ミ∩､⊂ミ∩彡⊃ おっぱい！
おっぱい！⊂三ミ( ﾟ∀ﾟ)彡三彡三⊃ おっぱい！
おっぱい！ ⊂彡川⊂彡川ミ⊃ おっぱい！
おっぱい！⊂彡川∪⊃ Ｕ川彡⊃ おっぱい！
おっぱい！ (ノ ∪ 川 ∪ミ) おっぱい！
おっぱい！ ∪ おっぱい！
おっぱい！ おっぱい！ おっぱい！
おっぱい！ おっぱい！
おっぱい！
0804１３２人目の素数さん
2011/12/15(木) 21:42:40.44b_n = (1 + 1/n)^(n+1)
e/(2n+2) < e - a_n < e/(2n+1) < b_n - e < e/(2n)
_ ∩
( ﾟ∀ﾟ)彡 モロー！ モロー！
⊂彡
0805１３２人目の素数さん
2011/12/15(木) 23:57:48.12676 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2011/12/15(木) 22:38:11.63
>>675
要は
a_n=(1 +1/n)^n
b_n=(1 +1/n)^(n+1)
から、
2=a_1<a_2<…<a_n<…<b_n<…<b_2<b_1=4
の相加相乗を使った証明。
数検1級（H23/4)の問題
『(1 +1/n)^(n +1/2) > e を証明せよ』
とテイラー展開を使った模範解答。
別解として、積分（中点公式）を使った解法
さらに、出題として、
台形公式を適用した場合、eに対するどのような関係式となるか
発展課題として、
モローの不等式の証明
『e/(2n+2)＜e - a_n < e/(2n+1) < b_n - e < e/(2n)』
_ ∩
( ﾟ∀ﾟ)彡 モロー！ モロー！
⊂彡
0806１３２人目の素数さん
2011/12/16(金) 09:22:44.68a, b, c>0 with abc=1.
For f(a, b, c)=a+b^{20}+c^{11},
1/f(a, b, c)+1/f(b, c, a)+1/f(c, a, b)≦1.
0807１３２人目の素数さん
2011/12/16(金) 14:16:29.16元の問題ではfはC^3級になってる
0808１３２人目の素数さん
2011/12/16(金) 15:47:23.94模範解答はないのですか？
0809１３２人目の素数さん
2011/12/16(金) 18:57:34.400810１３２人目の素数さん
2011/12/16(金) 22:38:36.36http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/66-67
0811１３２人目の素数さん
2011/12/17(土) 01:07:55.84(1 +1/n)^(n +1/2) > e も二項展開でOK
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/68-69
0812１３２人目の素数さん
2011/12/17(土) 17:02:28.96うちの田舎町では売っていないんだけど、相加相乗の証明を教えてちょ
0813１３２人目の素数さん
2011/12/17(土) 17:14:52.36a[n-1]/a[n]
=(n^2/(n^2-1))^(n-1)*n/(n+1)
<(((n-1)*(n^2/(n^2-1))+n/(n+1))/n)^n
=1
∴a[n-1]<a[n]
b[n]も同様
0814１３２人目の素数さん
2011/12/17(土) 21:11:12.610815１３２人目の素数さん
2011/12/18(日) 03:57:07.52=(n^2/(n^2-1))^(n-1)*n/(n+1)
<(((n-1)*(n^2/(n^2-1))+n/(n+1))/n)^n
これがよくわかりません
0816１３２人目の素数さん
2011/12/18(日) 10:35:34.65相加相乗
0817１３２人目の素数さん
2011/12/18(日) 10:46:04.970818１３２人目の素数さん
2011/12/18(日) 20:53:38.40{n/(n-1), n/(n-1), ……, n/(n-1), 1}
(n-1)個 1個
の相乗･相加平均で
{n/(n-1)}^(n-1) < {(n+1)/n}^n,
∴ a[n-1] < a[n],
0819１３２人目の素数さん
2011/12/19(月) 06:39:23.970820１３２人目の素数さん
2011/12/19(月) 11:54:03.82> さらに、出題として、
> 台形公式を適用した場合、eに対するどのような関係式となるか
∫[a,b] f(x)dx < (b-a)(f(a)+f(b))/2 からeに関する何が得られるか謎でござるよ、ﾆﾝﾆﾝ
0821１３２人目の素数さん
2011/12/20(火) 15:36:42.61こういう感じの基本的な不等式をしっかりと扱った本って他にある？
洋書でもいいんで教えてください
0822１３２人目の素数さん
2011/12/20(火) 20:17:44.59本題をケチるなど言語道断！
0823１３２人目の素数さん
2011/12/20(火) 20:18:35.64http://www.math.ust.hk/excalibur/v16_n2.pdf
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0824１３２人目の素数さん
2011/12/20(火) 20:46:00.62( ﾟ∀ﾟ)つ lim[n→∞] { (n+1)^(n+1) / n^n - n^n / (n-1)^(n-1) } =
0825１３２人目の素数さん
2011/12/20(火) 22:34:11.62Problem 2.
Given real numbers x,y,z such that x+y+z=0, show that
x(x+2)/(2x^2 +1) + y(y+1)/(2y^2 +1) + z(z+2)/(2z^2 +1) ≧ 0,
When does equality hold ?
Problem 372.
For all a,b,c>0 and abc=1, prove that
1/{a(a+1)+ab(ab+1)} + 1/{b(b+1)+bc(bc+1)} + 1/{c(c+1)+ca(ca+1)} ≧ 3/4.
0826１３２人目の素数さん
2011/12/20(火) 22:55:55.48YOSHIO > TETSUYA
0827猫は共著のみ ◆MuKUnGPXAY
2011/12/20(火) 22:57:00.38--neko--
0828１３２人目の素数さん
2011/12/20(火) 22:58:03.530829１３２人目の素数さん
2011/12/21(水) 00:33:42.480830１３２人目の素数さん
2011/12/21(水) 03:02:29.47Problem 2.
通分して
(左辺)･(2x^2 +1)(2y^2 +1)(2z^2 +1)
= (2xyz +2xy +x+y)^2 + (2xyz +2yz +y+z)^2 + (2xyz +2zx +z+x)^2 -(x+y+z)(8xyz+x+y+z-2)
= (2xyz +2xy +x+y)^2 + (2xyz +2yz +y+z)^2 + (2xyz +2zx +z+x)^2 (← 題意)
≧ 0,
等号成立は (0,0,0) (-1/2,-1/2,1) etc. のとき。
0831１３２人目の素数さん
2011/12/21(水) 03:58:42.26通分して、(1 + 1/(n-1))^(n-1)を括り出したまではいいが、その後が進マンボー
/^i
/:::::|
＿＿/::::::::|
,. ‐' ´::::::::::::::::::::::::::ヽ:.､
, ‐'´:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ:＼
. （:::(ｏ):::::::／i:::::::::::::::::::::::::::::::::i::::::i
ヽ ￣ ::::::::::::::::::::::::::::::|::::::l 進マンボー
＼ ::::::::::::::::::ｉ::::::i
`‐ ､ ::::::/::／
｀ ー-- ､.......::／ '´
i:::::::|
i:::::::!
ヽ:_|
0832１３２人目の素数さん
2011/12/21(水) 05:37:53.010833猫の育て方 ◆MuKUnGPXAY
2011/12/21(水) 10:04:54.39猫
0834１３２人目の素数さん
2011/12/21(水) 11:50:38.85|2q 1|
|1 3q|
じゃないかと想像がつくやろ
ほしたらA(5)=4q A(4)-2q がどうなるかはピンと来てもおかしくないやろ
それにA(n)はちゃあんとn-2次の行列式で表せるわい
0835１３２人目の素数さん
2011/12/21(水) 11:52:23.120836１３２人目の素数さん
2011/12/21(水) 15:26:06.45> (3) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
> を 3つの対称式の平方和で表わせ。
>>389
> (a^2 + p^2)(b^2 + q^2)(c^2 +r^2) = (abc-aqr-pbr-pqc)^2 + (pbc+aqc+abr-pqr)^2,
> だと２つになるし･････
>>390
> p=q=r=√2 を入れて
> {abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2)^2 + (bc+ca+ab-2)^2,
390が分かりませぬ ('A`)
p=q=r=√2 を入れたら、 {abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2√2)^2 で止まって進マンボー！
0837１３２人目の素数さん
2011/12/21(水) 15:28:32.650838１３２人目の素数さん
2011/12/21(水) 23:19:52.06{2n/(2n+1)}e < a_n < {(2n+1)/(2n+2)}e,
{(2n+2)/(2n+1)}e < b_n < {(2n+1)/2n}e,
は同値
左側
>>811 と相加相乗平均より
{2√(n(n+1))／(2n+1)}e < e < g_n,
右側
(1 - 1/k^2)^(k+1) > 1 -(k+1)/k^2 = (k^2 -k-1)/k^2, (下に凸)
a[k]/a[k-1] = (k+1)^k･(k-1)^(k-1)／k^(2k-1) > {2k/(2k-1)}･{(2k+1)/(2k+2)},
k = n+1～∞ について掛けて
e / a[n] > (2n+2)/(2n+1),
a[n] < {(2n+1)/(2n+2)}e,
0839１３２人目の素数さん
2011/12/22(木) 00:35:36.85g_n = √(a_n･b_n) とおくと >>838 より
e < g_n < {(2n+1)/2√(n(n+1))}e < {1 + 1/(8n^2)}e,
>>824
(与式) = √(n(n+1))･g_n - √((n-1)n)･g_(n-1)
= {√(n(n+1)) - √((n-1)n)}･e + O(1/n)
= 2n/{√(n(n+1)) + √((n-1)n)}･e + O(1/n)
= e + O(1/n)
→ e, (n→∞)
0840１３２人目の素数さん
2011/12/22(木) 23:16:14.96e < g_n < {(2n+1)/2√(n(n+1))}e < {1 + 1/(8n(n+1))}e,
でござるよ。
もっとも、マクローリンを使えば一発だが...
log(g_n) = (n + 1/2)log(1 + 1/n)
= (n + 1/2){1/n - 1/(2n^2) +1/(3n^3) - …}
= 1 + 1/(12n^2) -1/(12n^3) + 3/(40n^4) - …
< 1 + 1/[12n(n+1)] - 1/[288(n^2)(n+1)^2] + …
∴ e < g_n < {1 + 1/[12n(n+1)]}e,
0841１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 12:32:28.53g_n = {1 + δ - (7/10)δ^2 + 1.0237δ^3 - …}e,
ここに、δ=1/[12n(n+1)],
0842１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 13:34:13.89lim[n→∞] { (n+1)^(n+1) / n^n - n^n / (n-1)^(n-1) }
= lim[n→∞] (1 + 1/(n-1))^(n-1) * { (2 + 2/n)*(1 - 1/(n^2))^(n-1) - 1/n Σ[k=1 to n] (1 - 1/(n^2))^(k-1) }
= e(2*1-1)
= e
(1 - 1/(n^2))^(n-1) = 1/{ (1 + 1/(n^2-1))^(n^2-1) }^(1/(n+1)) → 1/e^0 =1
1/n Σ[k=1 to n] (1 - 1/(n^2))^(k-1) → 1 になるのは、はさみうちナリよキテレツ！
／/
／ /＿＿
/ ／ lim ＼ ﾊﾟｶｯ！
/.∩|:::: ＼ .／ |
/ | ||::::(● (●.|_ 呼んだ？
/／| |ヽ::::....ワ....ノ／
"￣￣￣￣￣￣"
0843１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 17:31:57.89F(x)=(x+1)^(x+1)/x^x と置くと (n+1)^(n+1)/n^n-n^n/(n-1)^(n-1)=F(n)-F(n-1)
f(x)=F'(x)={(x+1)^(x+1)/x^x}*log(1+1/x) とすれば F(n)-F(n-1)=∫[n-1,n]f(x)dx
a(x)=(1+1/x)^x ,b(x)=(1+1/x)^(x+1) と置くと f(x)=a(x)*log(b(x))=b(x)*log(a(x))
x>0のときa(x)は単調増加、b(x)は単調減少で、ともにx→∞でeに収束するので
a(x)<e<b(x)より、a(x)*log(e)<f(x)<b(x)*log(e) すなわち a(x)<f(x)<b(x)
1<n-1≦x≦nのとき a(n-1)<f(x)<b(n-1) なので
∫[n-1,n]a(n-1)dx<∫[n-1,n]f(x)dx<∫[n-1,n]b(n-1)dx
{1+1/(n-1)}^(n-1)<(n+1)^(n+1)/n^n-n^n/(n-1)^(n-1)<{1+1/(n-1)}^n
0844１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 19:39:19.09＿＿＿
.／ ≧ ＼ 上のほうで平方和に変形するのがあったような希ガス！
|:::: ＼ .／ | ﾊｧﾊｧ
|::::: (● (● | ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
0845１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 20:01:06.57g_n = (1 +1/n)^(n +1/2) より
log(g_n) = (n +1/2)･log(1 +1/n)
= 1 + Σ[k=1,∞) 1／{(2k+1)(2n+1)^k}
= 1 + 1/{12(n +1/2)^2} + 1/{80(n +1/2)^4} + 1/{448(n +1/2)^6} + …
= 1 +δ -(6/5)δ^2 +(72/35)δ^3 -(144/35)δ^4 + …
よって
g_n = {1 + δ -(7/10)δ^2 +(43/42)δ^3 -(7961/4200)δ^4 + …}e,
ここに、δ=1/[12n(n+1)],
0846１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 20:25:17.98オイラに聞き給え、オイラに。オイラこそ汝らすべての四なれば…
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_four-square_identity
http://mathworld.wolfram.com/EulerFour-SquareIdentity.html
http://sites.google.com/site/tpiezas/005b/
0847１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 20:47:22.190848１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 20:52:43.00>>842
呼ばない...
0849１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 01:26:35.21(；´д｀) ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
0850１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 01:50:06.06どうやって７つに？
>>844
行列式で証明するのが線形代数の問題集に載っていたような
0851( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
2011/12/24(土) 02:49:48.95http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201112&t=mat&l=en
A545、546
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201112&t=mat&l=en
B4376、4378
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201109&t=mat&l=en
A536、B4364、B4370、B4371
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201105&t=mat&l=en
A534、B4355
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201104&t=mat&l=en
B4342
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201103&t=mat&l=en
B4340
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201102&t=mat&l=en
B4321
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201012&t=mat&l=en
B4303、B4306、B4310
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201011&t=mat&l=en
B4296、B4297
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201010&t=mat&l=en
B4291
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201009&t=mat&l=en
0852１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 03:11:41.99(n+1)^(n+1)／(n^n) - (n^n)／(n-1)^(n-1)
= {1 + 1/(n-1)}^n * {(n+1)(1 - 1/n^2)^n - (n-1)}
= b[n-1] * {(n+1)(1 - 1/n^2)^n -(n-1)},
ここで↓を使う。
〔補題〕
(n-1)/n < (1 - 1/n^2)^n < n/(n+1),
(略証)
(1+x)^n > 1 + nx （下に凸）より
(1 - 1/n^2)^n > 1 - 1/n = (n-1)/n,
{1 + 1/(n^2 -1)}^n > 1 + n/(n^2 -1) > (n+1)/n,
0853１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 04:10:10.46コーシーの証明に出て来る「ラグランジュの恒等式」
>>1 まとめWiki → まとめページ → よく使う不等式 → コーシーの不等式 → 証明
http://mathworld.wolfram.com/LagrangesIdentity.html
0854１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 07:32:59.66A.534.
三角形の３辺が a,b and c で、対応する中線（medians）の長さはそれぞれ sa, sb and sc とする。
このとき次を示せ。 sa･sb/(a^2+b^2) + sb･sc/(b^2+c^2) + sc･sa/(c^2+a^2) ≧ 9/8.
A.536.
正の実数 a,b,c,d が a+b+c+d = abc+abd+acd+bcd を満たす。次を証せ。 >>477 >>507
(a+b)(c+d) + (a+d)(b+c) ≧ 4√{(1+ac)(1+bd)}.
A.545.
Prove that whenever a>b>1 are integers such that a+b divides ab+1 and a+b and a-b divides ab-1,
then a < b√3.
A.546.
次を示せ。
1/{sin[π/(4k+2)]}^2 + 1/{sin[3π/(4k+2)]}^2 + …… + 1/{sin[(2k-1)π/(4k+2)]}^2 = 2k(k+1),
（k=3: B.4371.を参照。)
A.548.
Prove that
Π[i=1,n] {1 + 1/(x1+…+xi)} + Π[j=1,n] {1 + 1/(xi+…+xn)} ≦ n+1,
holds for arbitrary real numbers x1,……,xn ≧1.
0855１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 07:34:53.93すべての正数 a,b,c について、a^b･b^c･c^a ≦ a^a･b^b･c^c,
B.4296.
m_a、m_b は 三角形の辺a、辺b から見た高さを表わす。
a>b ならば a^2010 + (m_a)^2010 ≧ b^2010 + (m_b)^2010 を示せ。
B.4297.
すべての実数x,yに対して -1/2 ≦ (x+y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)} ≦ 1/2 を証せ。
B.4303.
長方形（正方形でない）をその対角線に沿って２つに折る。
結果として生じる５角形の周長は、元の長方形の周長より短いことを証せ。
B.4306.
方程式 16^(x^2 +y) + 16^(y^2 +x) = 1 を解け。
B.4310.
a0,a1,…,an は正の数で、a(k+1) - ak ≧ 1 （k=0,1,…,n-1）とする。次を示せ。
1 + (1/a0){1 +1/(a1-a0)}…{1 +1/(an-a0)} ≦ (1+1/a0)(1+1/a1)…(1+1/an),
B.4321.
どんな三角形でも、次の不等式が成り立つことを証せ。
b／sin(γ + α/3) + c／sin(β + α/3) > (2/3)a／sin(α/3),
0856１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 07:36:05.65すべての正数 a1,a2,…,an に対して次の不等式が成り立つことを証せ。
{a1/(a2+…+an)}^2 + {a2/(a3+･･･+a1)}^2 + …… + {an/(a1+…+a(n-1))}^2 ≧ n/(n-1)^2,
B.4343.
a,b は正の数を表わし、a^3 + b^3 =1 とする。a^2 +ab +b^2 -a-b >0 を示せ。
B.4355.
正数 x,y,z の積が1ならば、次式を証せ。
(z^3 +y^3)/(x^2 +xy +y^2) + (x^3 +y^3)/(y^2 +yz +z^2) + (y^3 +z^3)/(z^2 +zx +z^2) ≧ 2,
B.4370.
頂点A,B,C,の対辺の長さを a,b,c とする。BC=a, CA=b, AB=c,
内心をIとおき、AI=u, BI=v, CI=w とおく。このとき次を示せ。
(a+b+c)(1/u+1/v+1/w) ≦ 3(a/u + b/v + c/w), >>477 >>480
B.4371.
1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{sin(5π/14)}^2 = 24,
を示せ。（A.536を参照。） >>492
B.4376.
x,y は負でない数ならば、次式を証せ。
x^4 + y^3 + x^2 + y + 1 > (9/2)xy,
B.4378.
pは正の素数とする。
方程式 x^3･y^3 + x^3･y^2 - x^2･y^3 + x^2･y^2 -x +y = p+2 を解け。
0857１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 08:31:18.57(1+x^2)(1+y^2) = (x+y)^2 + (1-xy)^2 ≧ 2|(x+y)(1-xy)|,
B.4306.
x = y = -1/2,
B.4343.
a^2 +ab +b^2 -a -b = (a^3 + b^3)/(a+b) +2ab -a -b
= {1/(a+b) +(a+b) -2} + 2(1-a)(1-b) > 0,
B.4376.
相加・相乗平均で。
x^4 + x^2 + 1 ≧ 3x^2,
y^3 + y ≧ 2y^2,
(左辺) ≧ 3x^2 + 2y^2 ≧ (2√6)xy > (9/2)xy,
0858１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 08:57:05.85成程そのまんまでしたね （恥…
|
8 ＜ｻﾝｸｽ
'`
￣
0859１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 16:06:27.63三角不等式より。
長方形をABCDとし
BCで折るとする。AD,BCの交点をEとする
AB+BC+CD+DA
=AB+CD+AE+CE+(BE+DE)
＞AB+CD+AE+CE+BC
0860１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 16:52:29.17チェビシェフより
(左辺) ≧ (x^3 +y^3)/(x^2 +xy+y^2) + (y^3 +z^3)/(y^2 +yz+z^2) + (z^3 +x^3)/(z^2 +zx+z^2)
≧ (x+y)/3 + (y+z)/3 + (z+x)/3 (← *)
= 2{(x+y+z)/3},
以下、相加･相乗平均で簡単。
*) x^2 +xy +y^2 = 3(x^2 -xy +y^2) -2(x-y)^2 ≦ 3(x^2 -xy +y^2),
0861１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 22:36:08.92nについての帰納法による。
n=0 のときは等号成立。
n≧1 のとき
a_k - a_0 ≧ k, (← 題意)
左辺を A_n とおくと、
A_n = 1 + (1/a0)Π[k=1,n] {1 + 1/(a_k - a_0)}
≦ 1 + (1/a0)Π[k=1,n] (1 + 1/k)
= 1 + (n+1)/a0,
よって
A_{n+1} = 1 + (A_n - 1){1 + 1/(a(n+1) - a0)}
= A_n･(1 + 1/a{n+1}) - a0{a_(n+1)/a0 - A_n}/{a(n+1)･(a(n+1) - a0)}
≦ A_n･(1 + 1/a{n+1}) - a0{1 + (n+1)/a0 - A_n}/{a(n+1)･(a(n+1) - a0)}
≦ A_n･(1 + 1/a{n+1}),
0862859
2011/12/25(日) 11:06:38.950863１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 16:31:30.91↑a=(1,x),↑b=(1,-y)とし
↑a,↑bのなす角度をθとすると
(x+y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)}=sinθ･cosθ
0864１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 16:45:47.03\vec{a}・\vec{b} / |\vec{a}|・|\vec{b}| = cosθで、あとの奴らは何でござる蟹？
0865１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 21:43:19.42Prove that x^3+y^3+z^3+6≧(x+y+z)^2
0866１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 21:56:48.42x = tanξ, y = tanη とおくと、
θ = ξ + η,
tanθ = tan(ξ+η) = (x+y)/(1-xy), (加法公式)
そこで
cosθ = cosξ･cosη - sinξ･sinη
= (1-xy)･cosξ･cosη,
sinθ = sinξ･cosη + cosξ･sinη
= (x+y)･cosξ･cosη,
を辺々掛けて右辺に
(cosξ)^2 = 1/{1 + (tanξ)^2} = 1/(1+x^2),
(cosη)^2 = 1/{1 + (tanη)^2} = 1/(1+y^2),
を使ったでご猿。
0867１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 22:16:26.36なんと！そんなやり方が…
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ＜ ナルホドナー！
ヽ::::... .ワ.....ノ
( つ旦O ,.-、 ,.-、 ,.-、
と＿)_) (,,■) (,,■) (,,■)
0868１３２人目の素数さん
2011/12/27(火) 00:09:48.53僕の考えてたこととは違ってたりして勉強になりますた。
ありがとうございます。m(__)m
863の者ですが、
A(1,x),B(1,-y)とすると
x+y=2△OAB (Oは原点)
となります。
2△OAB=|↑a||↑b|sinθ
ってことを考えてました。
0869１３２人目の素数さん
2011/12/27(火) 04:40:53.320870１３２人目の素数さん
2011/12/28(水) 23:56:03.000 < a,b ≦ c,d としても一般性を失わない。
題意により ab ≦ 1 ≦ cd,
また、a+b+c+d ≧ 2√(ab) +c+d ≧ 2√(ab) + 2/√(ab) ≡ t とおくと t ≧ 4,
左辺を g(a,b,c,d) とおくと
g(a,b,c,d) - g(√(ab), √(ab),c,d)
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9/[(a+b+c+d)(2√ab +c +d)]}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(t^2)}
≧ (√a - √b)^2･(1 - 9/16) ≧ 0, >>508
∴ a=b の場合を考えれば十分。以下、数セミ（2012/01）と同様。
s ≡ a+b+c+d ≧ 2a + 2√(cd) = 2a + 2/a ≡ t とおくと t≧4,
(左辺) = 2/a + (c+d)/cd + 9/s
= 2/a + (a^2)(s-2a) + 9/s
= 2/a -2a^3 + (a^2･s + 9/s) ≡ f(s),
sの変域は [t,∞) で、極小となるのは s = 3/a のとき。
(i) a ≧ 1/√2 のとき、t≧3/a,
f(s) ≦ f(t) = t + 9/t
= 25/4 + (t-4)(t - 9/4)/t
≧ 25/4,
(ii) a ≦ 1/√2 のとき、t≦3/a,
f(s) ≧ f(3/a) = 2/a +6a -2a^3 (aについて単調減少)
= 9/√2 + (1/√2 - a) + (2/a)(1/√2 - a)^2･{2 -(√2)a -a^2},
≧ 9/√2 > 25/4,
0871１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 18:30:34.49次の命題の(2)のn=2の場合と, (1)でm=n=1の場合を合わせると得られます.
命題. m, n は非負整数, r は2以上の整数,
x,y,z≧0 とするとき, 以下の不等式が成立する.
(1) x^(m+n) + y^(m+n) + z^(m+n) ≧ x^m y^n + y^m z^n + z^m x^n
(2) x^(n+2) y + y^(n+2) z + z^(n+2) x ≧ xyz(x^n + y^n + z^n)
(3) x^(n+r) y^r + y^(n+r) z^r + z^(n+r) x^r
≧ xyz(x^(n+r-2) y^(r-1) + y^(n+r-2) z^(r-1) + z^(n+r2) x^(r-1))
証明は, 並べ替え不等式や, 重み付きAM-GM不等式を使うだけです.
斉次交代不等式は, 斉次対称不等式と異なり, Muirheadの不等式等が
使えなくて, 時々, 不等式の形が弱くなります.
> 770 に3変数3～5次斉次対称不等式の話を書いたけど,
3変数6～8次斉次対称不等式についても似たような定理(もっとステートメントが
長い)があって, 大体それで解決できてしまいますが,
5次以上の3変数斉次交代不等式のほうは, あまり強力な一般論がありません.
0872１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 19:47:35.43不等式ｽﾚより
743 じゅー [2011/12/29(木) 16:01:06]
出題です
実数 a,b,c,d,e,f が
ae + bf + cd + af + bd + ce =0
ad + be + cf + de + ef + fd = 0
a^2 + b^2 + c^2 = 1
d^2 + e^2 + f^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 2
を満たすとき
|ae + bf + cd - af - bd - ce|
の最大値を求めて下さい。
考え方もよければお願いします。
0873１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 19:51:21.65文字化け(？)するのか...
0874１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 04:48:34.62・並べ替え（チェビシェフ）:
Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) より
x{x^(n+r-1)･y^r} + y{y^(n+r-1)･z^r} + z{z^(n+r-1)･x^r} ≧ {x^(n+r-1)･y^r}z + {y^(n+r-1)･z^r}x + {z^(n+r-1)･x^r}y,
・ x^(n+r)･y^r を{(n^2+nr+r^2) -r-n}個、y^(n+r)･z^r をr個、z^(n+r)･x^r をn個でAM-GM。
0875１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 05:00:25.30Problem 372. の Solution を貼っておこう....
abc=1 ゆえ、例によって a=z/y, b=x/z, c=y/x とおく。
(左辺) = y^2／[z(z+y) +x(x+y)] + z^2／[x(x+z) +y(y+z)] + x^2／[y(y+x) +z(z+x)]
≧ (x^2 +y^2 +z^2)^2／{y^2･[z(z+y) +x(x+y)] + cyclic} （← コーシー または 重み付きAM-HM)
= (x^2 +y^2 +z^2)^2／{xy(x+y)^2 +yz(y+z)^2 +zx(z+x)^2}
= {(1/2)(x^2 -y^2)^2 +3(xy)^2 + cyclic}／{xy(x+y)^2 +cyclic}
= 3/4 + {(5/16)(x^2 -y^2)^2 + (3/16)(x-y)^4 + cyclic}／{xy(x+y)^2 +cyclic},
≧ 3/4,
*)
(x^2 -y^2)^2 = (x+y)^2･(x-y)^2 = 4xy(x-y)^2 + (x-y)^4,
(xy)^2 = (1/4)xy(x+y)^2 -(1/4)xy(x-y)^2,
0876１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 05:24:30.98http://www.youtube.com/watch?v=k45IJSI_BLA
Bunchin師匠の独演会
0877１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 06:22:02.22Problem 377.
nは正の整数とする。
i=1,2,･･･,n に対して z_i および w_i は複素数で、次を満たす:
ε1, ε2,････,εn = ±1 のすべて（2^n とおり）の組合せについて、
| Σ[i=1,n] εi･z_i | ≦ | Σ[j=1,n] εj･w_j |,
が成り立つ。次式を証せ。
Σ[i=1,n] |z_i|^2 ≦ Σ[j=1,n] |w_j|^2,
0878１３２人目の素数さん
2011/12/31(土) 06:13:08.99条件式は (両辺) ≧0 だから、2乗しても成り立つ。すなわち、
{Σ[i=1,n] εi･zi}{Σ[j=1,n] εj･(zj)~} ≦ {Σ[i=1,n] εi･wi}{Σ[j=1,n] εj･(w_j)~},
Σ[j=1,n] εj･(wj)~},
Σ[i=1,n][j=1,n] εi･εj･zi･(zj)~ ≦ Σ[i=1,n][j=1,n] εi･εj･wi･(wj)~,
εのすべて(2^nとおり）の組合せについて加えると、
εi･εj → 2^n (i=j)
→ 0 (i≠j) （±1が同数あるから）
となり、i=j だけが残る。よって
Σ[i=1,n] zi･zi~ ≦ Σ[j=1,n] wj･wj~,
0879１３２人目の素数さん
2012/01/01(日) 04:29:42.89C.1043. (201009)
f(x) = (x+a)^2 /{(a-b)(a-c)} + (x+b)^2 /{(b-c)(b-a)} + (x+c)^2 /{(c-a)(c-b)},
の値を求めよ。ここに a,b,c は相異なる実数である。
K.266. (201011)
bd > 0 のとき、(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の中間にある。
bd < 0 のとき、(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の外側にある。
0880１３２人目の素数さん
2012/01/01(日) 04:39:55.40(略解)
C.1043.
f(x) ={(c-b)(x+a)^2 + (a-c)(x+b)^2 + (b-a)(x+c)^2} /{(a-b)(b-c)(c-a)} = 1,
または f(-a) = (b-a)/(b-c) + (c-a)/(c-b) = 1, f(-b) = 1, f(-c) = 1, から。
K.266.
{(a/b) - (a+c)/(b+d)}{(a+c)/(b+d) - (c/d)} = (ad-bc)^2／{bd(b+d)^2},
B.4306.
相加･相乗平均で
(左辺) = 16^(x^2 + y) + 16^(y^2 + x)
≧ 16^{(x^2 + y + y^2 + x)/2 + 1/4}
= 16^{(1/2)(x + 1/2)^2 + (1/2)(y + 1/2)^2}
≧ 16^0
= 1,
等号条件から x = y = -1/2,
B.4340.
a1 + a2 + ･･･ + an = s とおく。
φ(x) = {x/(s-x)}^2 = {s/(s-x) - 1}^2 は x<s で下に凸。
0881１３２人目の素数さん
2012/01/03(火) 08:06:41.12(x+y+z)/3 = A, (xyz)^(1/3) = G とおく。 A-G ≧ 0,
(左辺) - (右辺) = 9{A^3 + (x-A)(y-A)(z-A)} - 9AAG
= 9AA(A-G) + 9(x-A)(y-A)(z-A)
= 9AA(A-G) + 9{2A^3 -(xy+yz+zx)A +xyz}
= 9AA(A-G)/4 + (9/4)(2A+G)(A-G)^2 + (3/4)F1(x,y,z)
≧ 0,
ここに
F1(x,y,z) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)
= (x+y+z)^3 -4(x+y+z)(xy+yz+zx) + 9xyz ≧ 0, (Schur)
ぬるぽ
0882１３２人目の素数さん
2012/01/03(火) 20:12:43.06http://mathsoc.jp/meeting/shinshu11sept/talklist/talkList_02.pdf#search=
これ気にならん？ ('A`)プケラ
0883１３２人目の素数さん
2012/01/04(水) 00:09:32.16■射影幾何学における２つの定理
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/666_p3.htm
「代数曲線・代数曲面入門」新装版 －複素代数幾何の源流－
安藤哲哉（著）
出版社：(有)数学書房 (2011/01)
判型: A5判、496頁、
定価: 7350円
ISBN-10: 490334262X
ISBN-13: 978-4903342627
http://www.sugakushobo.co.jp/903342_62_mae.html
日本人初のフィールズ賞受賞者小平邦彦先生をはじめ多くの日本人数学者が貢献した複素代数幾何学への入門書。
定義・命題・定理・証明などの修正、および誤植の訂正をして新装版として出版。
「代数曲線・代数曲面入門」－複素代数幾何の源流－
安藤哲哉（著）
出版社: 白揚社 (2007/02)
判型：A5判、478頁、22cm
定価：7350円
ISBN-10: 4826931077
ISBN-13: 978-4826931076
安藤 哲哉
1959年愛知県瀬戸市生まれ。岐阜県(旧)明智町出身。1982年東京大学理学部数学科卒業。同大学院を経て、1986年千葉大学講師。千葉大学理学部情報・数理学科助教授。理学博士(東京大学)、専門は代数幾何学。(BOOK)
0884１３２人目の素数さん
2012/01/06(金) 19:22:20.17その話の内容の2/3は下に書いてあります。
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq.pdf
残りの1/3の内容は、暇を見つけてタイプします。
日本語のメモ程度のものはタイプしてありますが、UPするにはどうも。
0885あのこうちやんは始皇帝だった
2012/01/06(金) 19:29:55.16お前は、定職に就くのが、先決だろが！！！！！！！！！！
0886１３２人目の素数さん
2012/01/08(日) 05:57:33.720887１３２人目の素数さん
2012/01/10(火) 23:35:14.84a,b,c が実数のとき
|(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ {1/(3√6)}{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}^(3/2),
0888１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 00:36:08.04(略証)
bはaとcの中間にある、としてもよい。
(a-b)(b-c)(c-a) = ⊿ とおくと
|⊿| ≦ (1/4)(|a-b|+|b-c|)^2 |c-a| = (1/4)|c-a|^3,
ところで、
(c-a)^2 = (1/3){2(a-b)^2 + 2(b-c)^2 - (a-2b+c)^2} + (2/3)(c-a)^2
≦ (2/3){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
= (4/3)(s^2 -3t),
なお、a,b,c ≧ 0 のときは
|⊿| ≦ 0.227083346211･s(s^2 -3t),
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/744-745 , 527
高校数学 - 不等式
0889１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 22:07:10.38⊿^2 = {(a-b)(b-c)(c-a)}^2
= (1/54){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}^3 - (1/27){(2a-b-c)(2b-c-a)(2c-a-b)}^2,
= (4/27)(s^2 -3t)^3 - (1/27){(3a-s)(3b-s)(3c-s)}^2,
0890１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 22:28:53.84メモメモ...φ(．．)
0891１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 04:08:40.30(2a-b-c)/3 = a - s/3 = a ',
(2b-c-a)/3 = b - s/3 = b ',
(2c-a-b)/3 = c - s/3 = c ',
と置くのがいいらしいヨ
casphy - 高校数学 - 不等式 - 749
0892１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:37:42.810893１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:49:34.37a,b,c ≧ 0
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
のとき
|⊿| ≦ {(a+b+c)^3 -27abc}/(6√3),
casphy - 高校数学 - 不等式 - 748-750
0894１３２人目の素数さん
2012/01/20(金) 14:45:56.52http://mainichi.jp/select/science/news/20120116k0000m040090000c.html
0895１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 03:12:10.06http://ja.wikipedia.org/wiki/不確定性原理#小澤の不等式
0896１３２人目の素数さん
2012/01/22(日) 17:12:30.470897１３２人目の素数さん
2012/01/22(日) 22:36:25.330898１３２人目の素数さん
2012/01/22(日) 22:56:54.51rr2r=2r^3
3^3b^3-27(b^2-r^2)b=27r^2b/6*3^.5=4.5r^2b/3^.5
0899１３２人目の素数さん
2012/01/23(月) 23:53:25.33x^y+y^x>1
x,y>1を示せ
対数とか取らずに解いて欲しいですね
0900１３２人目の素数さん
2012/01/23(月) 23:54:14.950901１３２人目の素数さん
2012/01/24(火) 01:34:42.06過去ログを見たまえ
0902１３２人目の素数さん
2012/01/24(火) 01:45:26.560903１３２人目の素数さん
2012/01/28(土) 00:35:32.84さいきん立読み中に見かけた問題だが、既出な伊予柑 ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0904１３２人目の素数さん
2012/01/28(土) 00:42:37.07むしろ対数を取って証明する方法を知りたい
さあ、改造手術の時間です！
a、b >0に対して、 a^a + b^b ≧ a^b + b^a > 1
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0905１３２人目の素数さん
2012/01/28(土) 00:54:02.62a^3/(a+b)^2≧(2a-b)/4から示す
0906１３２人目の素数さん
2012/01/28(土) 01:40:14.79どこから出てくるん、その発想
0907名無しさん
2012/01/30(月) 21:15:10.90ID:AiSkvLuwではでは、次はどんな方法で？
a、b、c >0 のとき、a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ (a+b+c)/2
一般化はできますか？ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/？
0908名無しさん
2012/01/30(月) 21:17:38.49ID:AiSkvLuwIDが出てるし、何が起こったのだ ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
0909名無しさん
2012/01/30(月) 21:30:41.60ID:xfpFxcpO0910名無しさん
2012/01/30(月) 21:34:49.65ID:qQ0NhdK4a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/2^n
0913名無しさん
2012/01/30(月) 22:01:11.43ID:???0914名無しさん
2012/01/30(月) 22:32:37.59ID:???( ﾟ∀ﾟ) しゅっび どぅっび～
0915名無しさん
2012/01/30(月) 22:41:55.32ID:???a^2/(a+b)≧(xa+(1-x)b)/2
から上手くなってくれるように調整
2a^2≧xa^2+ab+(1-x)b^2
(a-b)((2-x)a+(1-x)b)≧0
からx=3/2だとうまくいくなーと
0917１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 01:56:44.26(左辺) = a･f(b/a) + b･f(c/b) + c･f(a/c) ≧ (a+b+c)･f(1) = (a+b+c)/(2^n),
>>912
t=1 で接線を曳く。
f(t) ≧ f(1) + f '(1)(t-1) = (n+2 -nt)/(2^(n+1)),
0918１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 05:27:35.88神光臨キタ━━━┌(_Д_┌ )┐━━━！！
0919１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 22:45:48.88{sinθ, sinθ, tanθ} の相加平均Ａ、相乗平均Ｇ、調和平均Ｈについて
H ≦ θ ≦ G ≦ A,
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328045950/22-24
大関：参考書[3] p.45-46 x=cos(2θ) とおく。
0920１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 17:04:34.060921１３２人目の素数さん
2012/02/21(火) 19:34:44.87( ﾟ∀ﾟ)つ http://arxiv.org/pdf/1201.5534v1.pdf
0922１３２人目の素数さん
2012/02/22(水) 02:14:02.62大関：参考書[3] の p.71-72 方法4.
0923１３２人目の素数さん
2012/02/22(水) 11:49:02.40＿_ _ﾉ うっうっうっ・・・
／__ ｀ヽ_ ⌒ヽ～～～～～
|〈___ﾉf レ1(
,L| しL.し'ﾞ"
"｀ "′
0924１３２人目の素数さん
2012/02/22(水) 19:17:21.73( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾞﾘッ！
0925１３２人目の素数さん
2012/02/22(水) 21:46:39.74大関[3]でも取り上げられています。
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/Shapiro.pdf
0926１３２人目の素数さん
2012/02/22(水) 22:41:53.90z = x + y + Z' を入れて
x^2 + y^2 + z^2 - (6/5)(xy+yz+zx)
= x^2 + y^2 + (x+y+Z')^2 - (6/5){xy + (x+y)(x+y+Z')}
= (4/5)(x-y)^2 + (4/5)(x+y)Z' + (Z')^2,
ここで題意より x+y>0, Z' ≧0.
0927１３２人目の素数さん
2012/02/23(木) 00:15:12.40, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
0928１３２人目の素数さん
2012/02/23(木) 08:30:24.39夢見ているような人もいるわけだから、世の中いろいろだね。
0929１３２人目の素数さん
2012/02/23(木) 20:00:02.25http://www.math.ust.hk/excalibur/v16_n3.pdf
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ おまいらも不等式を見てボッキするだろ？
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
0930１３２人目の素数さん
2012/02/24(金) 00:13:04.88〔Problem 384.〕
For all positive real numbers a,b,c satisfying a+b+c=3, prove that
(aa+3bb)/{abb(4-ab)} + (bb+3cc)/{bcc(4-bc)} + (cc+3aa)/{caa(4-ca)} ≧ 4.
0931１３２人目の素数さん
2012/02/27(月) 21:51:47.13お手上げ侍 ヽ(・∀・)／
0932１３２人目の素数さん
2012/02/28(火) 13:03:59.60ttp://www.amazon.co.jp/dp/432001989X
0933１３２人目の素数さん
2012/02/28(火) 16:38:34.82うむ、大関の書いた本だからな。ぶりっ
0934１３２人目の素数さん
2012/02/28(火) 18:41:17.41先月予約済みだわい
0935１３２人目の素数さん
2012/02/29(水) 11:43:48.53( ﾟρﾟ)つhttp://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
0936１３２人目の素数さん
2012/02/29(水) 19:34:28.87マシューの不等式って、何ぞや？
0937１３２人目の素数さん
2012/03/01(木) 03:56:10.95( ﾟ∀ﾟ)つ △ABCの面積Sについて、S ≦ (a+b+c)^2 / (12√3)
0938１３２人目の素数さん
2012/03/03(土) 15:26:50.71〔マシュー（Mathieu）の不等式〕
K > 0 のとき
1/(K + 1/2) < Σ(n=1,∞) 2n/(n^2 + K)^2 < 1/K,
casphy - 高校数学 - 不等式 - 783～784
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/783-784
>>937
例によって (a+b+c)/2 = s とおく。
相乗・相加平均から、
(s-a)(s-b)(s-c) ≦ (s/3)^3,
これをヘロンの公式に入れて
Ｓ = √{ｓ(s-a)(s-b)(s-c)} ≦ √{s(s/3)^3} = (s^2)/(3√3).
0939１３２人目の素数さん
2012/03/03(土) 17:47:32.94-1 < K < 1 では
2{ζ(3) - 2Kζ(5)} ≦ Σ(n=1,∞) 2n/(n^2 + K)^2 ≦ 2ζ(3),
の方がいい鴨。
(略証)
(n^2 -2K)/n^6 < {(n^2 - K)/n^4}^2 < 1/(n^2 + K)^2 < 1/n^4,
から。
0940１３２人目の素数さん
2012/03/08(木) 18:02:50.09鋭角三角形の辺の長さをa、b、c、内接円の半径r、外接円の半径Rに対して、
r/R ≦ sqrt{2*(2a^2-(b-c)^2)*(2b^2-(c-a)^2)*(2c^2-(a-b)^2)} / {(a+b)(b+c)(c+a)}
0941１３２人目の素数さん
2012/03/08(木) 18:22:22.06R/2r ≧ exp{(a-b)^2/2c^2 + (b-c)^2/2a^2 + (c-a)^2/2b^2}
0942１３２人目の素数さん
2012/03/08(木) 18:23:06.920943１３２人目の素数さん
2012/03/08(木) 23:01:47.16t,x,yは任意の実数
この不等式の証明が判りません。
教えていただければ幸いです。
お願いします。
0944１３２人目の素数さん
2012/03/09(金) 04:01:50.89u>0 とする。
f(u) = exp(u) とおくと
∫[-u,u] f(u ') du ' = ∫[-u,u] exp(u ') du ' = exp(u) - exp(-u),
一方、台形近似では
u*{f(u)+f(-u)} = u*{exp(u)+exp(-u)},
f(u) は下に凸だから、
|exp(u) - exp(-u)| ≦ |u|{exp(u) + exp(-u)},
これに u = |(t/2)(x-y)| を入れて exp{(t/2)(x+y)} を掛ける。
0945１３２人目の素数さん
2012/03/09(金) 10:49:34.81すごい！ありがとうございます、お陰ですっきりしました！
0946１３２人目の素数さん
2012/03/09(金) 16:17:45.67t<0なら成立しない
0947１３２人目の素数さん
2012/03/09(金) 22:39:54.45ご指摘ありがとう。
0948１３２人目の素数さん
2012/03/10(土) 03:09:30.30u ' = 0 での接線で近似すると、面積は 2u
以上により
2|u| ≦ |exp(u) - exp(-u)| ≦ |u|{exp(u)+exp(-u)},
0949１３２人目の素数さん
2012/03/11(日) 23:26:05.210950１３２人目の素数さん
2012/03/12(月) 14:11:25.99a^3 + b^3 + c^3 ≧ a^2 + b^2 + c^2
が成り立つことを証明せよ。
0951１３２人目の素数さん
2012/03/12(月) 16:14:45.47一目で５通りくらいの解法が浮かぶほどの既出問題。
ぶりぶりっと改造せずにはいられない。( ﾟ∀ﾟ)ブリｯ！
abc=1をみたす正の数a、b、cと任意の自然数nに対して、
a^n + b^n + c^n ≧ a^{n-1} + b^{n-1} + c^{n-1}
0952１３２人目の素数さん
2012/03/12(月) 18:02:52.915通りもあるのか・・・１日考えたが解けん
既出問題なら答えを教えてくれませんか？
ちなみに出展は大数2002年4月号の宿題
0953１３２人目の素数さん
2012/03/12(月) 18:47:43.70f(x) = a^x + b^x + c^x が単調増加することを示す
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｯ！
0954１３２人目の素数さん
2012/03/12(月) 20:00:00.25ｘ≧０。
ｙ≧０。
ｚ≧０。
ｒ＝（ｐ－ｑ）／３ｐ。
ｓ＝（ｐ＋２ｑ）／３ｐ。
ｒｘ＋ｒｙ＋ｓｚ≧ｘ＾ｒｙ＾ｒｚ＾ｓ。
ｘ＋ｙ＋ｚ≧（ｘｙｚ）＾ｒ（ｘ＾（ｓ－ｒ）＋ｙ＾（ｓ－ｒ）＋ｚ＾（ｓ－ｒ））。
ｘ＝ａ＾ｐ。
ｙ＝ｂ＾ｐ。
ｚ＝ｃ＾ｐ。
ａｂｃ＝１。
ａ＾ｐ＋ｂ＾ｐ＋ｃ＾ｐ≧ａ＾ｑ＋ｂ＾ｑ＋ｃ＾ｑ。
0955１３２人目の素数さん
2012/03/15(木) 07:24:30.66, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
0956１３２人目の素数さん
2012/03/23(金) 20:45:32.87／ ∩| |
／ / /|不等式
／ / / |____|
/ / | |
. ／ / /∧ ./ /
/ / ´_ゝ`）／ おうい！大関の新刊書を手に入れたぞー！
／ | ／
| /
| ／⌒l
ヽ | /
／ | ﾞー'| L
／ | /（_ ヽ
／ ／ ノ
／ / ／
／ （ ヽ
0957１３２人目の素数さん
2012/03/23(金) 20:47:16.26| | | || | | | |
| | ∧＿∧ | |
|| | /⌒（ ´_ゝ`） 本気だせよ！ タコ助
| |/ ノ ) ﾉ || | |
| / ﾉゝ / ﾉ | | | |
（ ヽ ＿＿ヽ || | | | |
＼ ＼ | | / ／ | || || | |
| |＿/ /ヽ つ|不等式つ 7 | || || | |
| / _＿__＜ |＿_| ＞
＜ ガシャッ!!!
Ｖ Ｖ Ｖ Ｖ
0958１３２人目の素数さん
2012/03/23(金) 20:52:36.97∧＿∧ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
（ ・∀・）＜ 不等式専門の本が出ただけでも良しとせねば
（ 建前 ） ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
｜ ｜ |
__（_＿）＿）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（ ＿）＿）
｜ ｜ ｜
（ 本音 ） ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
（ 。Ａ。）＜ いくら素人向けシリーズでも、手を抜くなよ！
∨￣∨ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
0959１３２人目の素数さん
2012/03/24(土) 12:35:17.99他のシリーズとレベルを合わせたのかもね
0960１３２人目の素数さん
2012/03/24(土) 18:41:11.73かつてのワンポイント双書の平成版ということらしいが、どうだか…
0961１３２人目の素数さん
2012/03/24(土) 19:04:10.090962１３２人目の素数さん
2012/03/24(土) 20:57:23.870963１３２人目の素数さん
2012/03/25(日) 02:31:17.730964１３２人目の素数さん
2012/03/25(日) 10:17:10.37kwsk
0965１３２人目の素数さん
2012/03/25(日) 10:45:17.90http://www.amazon.com/Analytic-Inequalities-D-S-Mitrinovic/dp/0387048375
不等式ヲタに違いない著者の大関が、こう述べている
「一応分類はされているが、不等式がこれでもかというほど並んでいて、いくら眺めても飽きない」
0966１３２人目の素数さん
2012/03/25(日) 11:25:59.51他のシリーズを立読みしてみたら、なんとなく分かったような気がした
前作の「不等式への招待」は枠で囲んであって読みやすかったが、
今回の読みづらさ、余白の多さはシリーズ全般に当てはまる
シリーズの構成上、紹介本にせざるを得なかったんじゃないのかなと…
だからこそ、シリーズじゃない不等式の本を出してほしいと思った
0967１３２人目の素数さん
2012/03/26(月) 13:23:55.51, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
0968１３２人目の素数さん
2012/03/26(月) 17:56:17.70, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
0969１３２人目の素数さん
2012/03/26(月) 18:53:37.980970１３２人目の素数さん
2012/03/27(火) 00:40:55.78, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
0971１３２人目の素数さん
2012/03/27(火) 04:14:07.440972１３２人目の素数さん
2012/03/27(火) 05:06:09.35略すんなら、掲載されている論文とか書いとけよと… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
0973１３２人目の素数さん
2012/03/27(火) 06:50:32.28( ﾟ∀ﾟ)つ 自然数m、nに対して、1/(m+n+1) - 1/{(m+1)(n+1)} ≦ 4/45
0974１３２人目の素数さん
2012/03/27(火) 12:35:26.750975１３２人目の素数さん
2012/03/27(火) 12:54:03.92, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
0976１３２人目の素数さん
2012/03/27(火) 13:15:59.00a, b, c を任意の実数とするとき，
(3+\sqrt{3})(a^6+b^6+c^6) + (45-3\sqrt{3}) a^2 b^2 c^2 ≧ 18 a b c (a^3+b^3+c^3)
等号成立条件は a=b=c の他，(a:b:c) = (\sqrt{3}-1 : 1 : 1) とその置換.
類似の不等式が10個ほどあります．
私も不等式の本を1冊書きますので，よろしくお願いします．
0977１３２人目の素数さん
2012/03/27(火) 14:20:46.81, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
0978１３２人目の素数さん
2012/03/28(水) 08:41:48.74これ持ってる人いる？
0979１３２人目の素数さん
2012/03/28(水) 08:42:34.67いつ頃でるん？
0980１３２人目の素数さん
2012/03/28(水) 09:58:14.33ﾉｼ
0981１３２人目の素数さん
2012/03/28(水) 10:02:59.93あ、これはこれは安藤哲哉先生ですね。
論文拝見しました。
不等式の本は、日本語の本ですか？
楽しみにしています。
0982１３２人目の素数さん
2012/03/28(水) 12:43:18.52( ﾟ∀ﾟ)ﾔｯﾎｰｩｨ！ﾒﾃﾞﾀｲ！
0983１３２人目の素数さん
2012/03/28(水) 12:51:40.52円高で計算しても、めっさ高いやん！
>>980
どれくらい大量に載っているのか
scanなりして数ページ見せてほしいな
>>976>>981
今度は期待できそうですな
△、AMGM、CS、ﾁｪﾋﾞ、ﾍﾙﾀﾞｰ、凸、ﾔﾝｸﾞ、ｸﾞﾛﾝ、求殻、…
といった初歩的な不等式の紹介は今更必要ない
不等式ヲタがﾊｧﾊｧできるような新鮮なものを期待するぜ！
と釘を刺しておこう ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0984１３２人目の素数さん
2012/03/28(水) 16:54:34.09この著者の他の不等式の本も借りてきたぜ!!
0985１３２人目の素数さん
2012/03/28(水) 21:28:23.65地元のＤＱＮ大学図書館には洋書の数学書なんて…
雑誌のAMMを購読中止された時点で期待はしていないが…
0986１３２人目の素数さん
2012/03/28(水) 21:34:42.77http://livedoor.blogimg.jp/umashika1209/imgs/3/b/3b3c44b3.jpg
http://livedoor.blogimg.jp/umashika1209/imgs/e/9/e9211671.jpg
http://livedoor.blogimg.jp/umashika1209/imgs/f/1/f1628e4d.jpg
0987１３２人目の素数さん
2012/03/28(水) 21:37:47.29ﾊｧﾊｧできそうな不等式うｐしろん！
0988１３２人目の素数さん
2012/03/28(水) 21:56:27.35／ .＼
../ ヽ. ＼
(./ ≧ ヽ. ）
/ l"
.ﾉ l >>984
l ＞ ＜ ..|
l 一 | >>965の怒涛の不等式を拝見したいです
ヽ.._____ _,ノ ビクッ
. 丿ﾉ ﾉ 丁丁￣l＼ ぶるぶる
. く_(__（＿（_._」____）ノ
0989１３２人目の素数さん
2012/03/28(水) 23:41:41.283abc+√(4+(abc)^2)≧(a+b)(b+c)(c+a)
0990１３２人目の素数さん
2012/03/28(水) 23:56:56.320991１３２人目の素数さん
2012/03/29(木) 01:09:15.18http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/l50
ﾊｧﾊｧ ∩
( ⌒)＿ ∩_ _ ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿ ／/,. ノ≧ ＼ .i .,,E）__
／ nCr ＼| / /＼ .／ |/ / cos ＼
_n .|::::＼ .／ |/ /(● (● | ノ＼ .／ |
（ l |::●) ●) .| /:::... .ワ ....ノ／(● (● | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!
＼ ＼ヽ:::::.∀ .ノ ／ヽ:::::... .▽....ノ n
ヽ__￣ ノ ヽ | ￣ ＼ （ E）
/ / ＼ ヽ ﾌ / ヽ ヽ_／／
0992１３２人目の素数さん
2012/03/29(木) 01:10:33.90＿|＿＿＿＿_|＿ わたしが訓練教官のハートマン先任軍曹であるッ！
|::: ＼ .／ | 話しかけられたとき以外は口を開くな。
|:::: (● (●| 口でクソたれる前と後に『Ｓｉｒ』と言え！！
ヽ::::......ワ...ノ 分かったか、ウジ虫どもー！
人つゝ 人,, ----- sir, yes sir !
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ ふざけんな！ もっと大声をだせー！
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡 ----- SIR, YES SIR !!!
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿 よーし、まずは小手調べだ！
⌒～⌒ >>989を解いてみろー！
0993１３２人目の素数さん
2012/03/29(木) 01:10:53.21＿ （）)二) )) 、,r:ﾆヽ いいぞ ベイべー！
@ニ＝＝＝)二二ニニ)('A` )) 不等式を収集し証明する奴は 数ヲタだ！！
^￣" ﾌ＼''|ﾉ=ﾉ-( ) 不等式を改造し拡張する奴は よく訓練された数ヲタだ！！
_/ ＼_ L L ホント不等式はﾊｧﾊｧするぜ！ ﾌｩﾊﾊﾊｰﾊｧｰ
0994１３２人目の素数さん
2012/03/29(木) 01:11:34.010995１３２人目の素数さん
2012/03/29(木) 01:12:54.27━━━mm━━━━━━━━━
||| lll | | .／ ≧ ＼ ガラッ
| | |:::: ＼ .／ | ||| ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
||| | | |::::: (● (● | ／
＼＼ヽ::::... .ワ......ノ ＜ 不等式も貼らずにレスとな！
＼ ＼ ＼
||| ガラッ ） ﾄ、ヽ ||| ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
||| / （ | | |||
━━━━━━━━━mm━━━
─────────────‐
0996１３２人目の素数さん
2012/03/29(木) 01:13:39.85＿＿＿
.／ nCr ＼ 神降臨キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
|:::: ＼ .／ | ﾊｧﾊｧ
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
0997１３２人目の素数さん
2012/03/29(木) 01:14:10.94／/
／ /＿＿
/ ／ ≧ ＼ ﾊﾟｶｯ！
/.∩|:::: ＼ .／ |
/ | ||::::(● (●.|_ あ、不等式ヲタ インしたお！
/／| |ヽ::::....ワ....ノ／
"￣￣￣￣￣￣"
0998１３２人目の素数さん
2012/03/29(木) 01:14:27.26＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
／＿＿＿＼
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ＜ 相加！ 相乗か！
ヽ::::... .ワ.....ノ
0999１３２人目の素数さん
2012/03/29(木) 01:15:04.10| | | | |┃|i | ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| | | | ｶﾞﾀｶﾞﾀ |┃| ＜ 不等式と聞いちゃ、黙っていられ・・・・
| | | |＿＿＿＿＿＿|ミ | .i.| | あれ？開かない・・・？
| |￣￣￣￣￣￣| | |┃|:. ,| ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
| | | | |┃| i|
| | | | |┃| :|
| | | | |┃|i |
| | | | |┃|, :.|
|_|====――●==|_|＿＿＿＿＿＿|┃| i|＿＿＿＿＿＿＿
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ ￣
1000１３２人目の素数さん
2012/03/29(木) 01:27:51.541001１００１
Over 1000Threadもう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。