>>617
工学系で教わったのですが，離散な点から連続な関数で近似する方法には，
内挿あるいは補間 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E6%8C%BF
と呼ばれるものがあります．一つの解析関数ならラグランジュ補間
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E8%A3%9C%E9%96%93
もっと一般的には多項式補間 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E8%A3%9C%E9%96%93
と呼ばれるものを使えば，ある点列を通る関数が得られると思います．

以上より，ｎが自然数以外のある点(n, f(n))を用意すればいくらでもあるような
気がしましたが，無限点列だし謎…ということで，「ガンマ関数 - Wikipedia」を見たところ，

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0
猫先生がおっしゃるとおり，↑の引用「正の実軸上で対数凸である解析関数という条件を付ければ、
それは一意に定まりガンマ関数に他ならない（→ボーア・モレルップの定理）」↓と書いてありました．
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%82%A2%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%83%AC%E3%83%AB%E3%83%83%E3%83%97%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
略してモップの定理