定義
(X, Φ, μ) を測度空間とする。
A, B ∈ Φ、μ(A - B) = 0 のとき A ≦ B と書く。
Φ における関係 ≦ は前順序である。
よって、A ≦ B かつ B ≦ A のとき、即ち μ(AΔB) = 0 のとき A 〜 B と書けば
関係 〜 は Φ における同値関係であり、Φ/〜 は順序集合となる。
ここで、AΔB は A と B の対称差、即ち (A - B) ∪ (B - A) である。
p：Φ → Φ/〜 を標準写像とする。
Γ を μ-可測な集合からなるある集合とする。
即ち Γ ⊂ Φ とする。
E ∈ Φ とする。
p(E) が p(Γ) の上界となるとき、即ち、任意の A ∈ Γ に対して A ≦ E となるとき
E を Γ の本質的上界(essential upper bound)と言う。

p(E) が p(Γ) の上限となるとき、E を Γ の本質的上限(essential supremum)と言う。
即ち、E は Γ の本質的上界であり、Γ の任意の本質的上界 F に対して
E ≦ F となるとき、E を Γ の本質的上限と言う。
このとき、E = ess.sup Γ と書く。
Γ が空のときは φ = ess.sup Γ とする。

同様に Γ の本質的下界(essential lower bound)と本質的下限(essential infimum)を定義する。
Γ の本質的下限を ess.inf Γ と書く。
ただし、Γ が空のときは ess.inf Γ = X とする。