点(1,1)で共通接線を持つんだから
x^3 + ax^2 + bx +c - (-x^2 + x + 1) = (x-1)^2*(x-α)　とかける
ここで点(1,1)以外に共有点が無いときは
αが1あるいは虚数であることになる
a,b,cが実数ならばαは実数でなければならないので
α=1
つまり x^3 + ax^2 + bx +c - (-x^2 + x + 1) = (x-1)^3
(左辺) = x^3 + (a+1)x^2 + (b-1)x + (c-1)
(右辺) = x^3 -3x^2 + 3x - 1
比較して　a=-4, b=4, c=0