>>382
知恵袋から引用

a(k)=πk/nと書くことにすると、
..... I=∫<x=0..π>(e^x)|sin(nx)|dx
..... =<k=1..n>∫<x=a(k-1)..a(k)>(e^x)|sin(nx)|dx
..... =<k=1..n>(-1)^(k-1)∫<x=a(k-1)..a(k)>(e^x)･sin(nx)dx
また、部分積分を2回使うと、
..... ∫<x=s..t>(e^x)･sin(nx)dx
..... =[(e^x)･sin(nx)]<x=s..t>-∫<x=s..t>(e^x)･n･cos(nx)dx
..... =[(e^x)･sin(nx)]<x=s..t>-[(e^x)･n･cos(nx)]<x=s..t>-∫<x=s..t>(e^x)･(n^2)･sin(nx)dx
..... ∴(n^2+1)∫<x=s..t>(e^x)･sin(nx)dx=[(e^x)･{sin(nx)-n･cos(nx)}]<x=s..t>
となります。
いま、s=a(k-1)=π(k-1)/n、t=a(k)=πk/nで、
..... sin(n･a(k-1))=sin(π(k-1))=0
..... sin(n･a(k))=sin(πk)=0
..... cos(n･a(k-1))cos(π(k-1))=(-1)^(k-1)
..... cos(n･a(k))cos(πk)=(-1)^k
ですから、これらを代入して整理すればかなり簡単な式になります。
最後は等比級数の公式も使ってください。