>>338
(*)は2次曲線なので、一般解は
x=(1/√a)cosθ、x'=(1/√b)sinθ
然るに、君はこれがお気に召さないという。
なので、x' について解く。なお、簡単の為、係数を書き換えさせていただく。

(*) ⇔ (x')^2 = ±ω√(C^2 - x^2)

この時点で、既に x=csin(ωt) なのだが、あくまで定量的に解いてみよう。
両辺を　√(C^2 - x^2) で割り、dtをかけると、

(*) ⇔ ∫dx/√(C^2 - x^2) = ∫ωdt

と、変数分離形に帰着する。つまり、ωt = Arcsin(x/C)　∴x=Csinωt.
いかがだろうか？