実際の解答：
R^2内の、定置でない連続曲線fを任意に取る。
このとき、あるa≠bが存在して、f(a)≠f(b)が成り立つ。
R^2内の2点f(a), f(b)を結ぶ線分をTと置く。Tと交点を持つ直線 y＝ax＋b であって、
a,bがともに有理数であり、かつ、Tとの交点がf(a)でもf(b)でも無いものをとる。
簡単のため、この直線をLと置く。
なお、このような直線 L が存在することを言うには、Rにおける有理数の稠密性が必要になる。
これが "高校の範囲内で" 証明できるかは知らない。

以下では、このLの存在を認めて議論する。

直感的には、2点f(a),f(b)は "Lに関して互いに反対側にある" のだから、
中間値の定理のようなものが使えて、Lとfは交点を持つことが予想される。
そして、これは実際に正しい。
以下で、Lとfは交点を持つことを示す(これが言えれば、証明は終わる)。

Lの上に点Aを1つ取って固定する。また、Lの上には無い点Bであって、線分ABが
Lと直交するものを1つ取って固定する。ベクトルAf(t)とベクトルABの内積を考え、
g(t)＝Af(t)・AB と置く。Lの取り方から、g(a)g(b)＜0であることが高校の範囲内で言える。
また、gは連続関数であることが高校の範囲内で言える。よって、中間値の定理が使えて、
g(t)＝0を満たすtが存在する。このtに対して、点f(t)はLの上にあることが言える。
以上より、Lとfは交点を持つ。