f(x)＝e^x−x−1と置く。仮定からf(a[n])＝(sin a[n])/nだから、
lim[n→∞]f(a[n])＝0となる。よってlim[n→∞]a[n]＝0となる。
(これは自明ではないが、証明は省略する。)

次に、a[n]≠0だからf(a[n])≠0である。(∵x≠0のときf(x)≠0)
よって、f(a[n])＝(sin a[n])/nの両辺をf(a[n])で割り算できて
1＝(sin a[n])/(nf(a[n]))となる。この式の両辺にna[n]を掛け算して
na[n]＝a[n](sin a[n])/f(a[n]) となる。右辺をさらに変形して
na[n]＝{(sin a[n])/a[n]}*{a[n]^2/f(a[n])}となる。
lim[x→0](sin x)/x＝1，lim[x→0]f(x)/x^2＝1/2を使って
lim[n→∞]na[n]＝2となる。

∴lim[n→∞]na[n]＝2