>>746
四面体Kの4頂点を,AB,C,Dとする。
四面体を有理数幅平行移動させても体積は変わりなく4頂点の成分も有理数のままなので
点Aが原点の場合に成り立つことを示せばよい。
3点B,C,Dからなる平面はxy平面,yz平面,zx平面の少なくとも2つと交わるので
xy平面と交わるとしても一般性を失わない。
直線BC,BDとxy平面の交点を順に点E,Fとすれば点E,Fの成分も有理数となる(計算略)
このとき四面体ABEDの体積は四面体ABCDの体積の有理数倍になり
四面体ABEFの体積は四面体ABEDの体積の有理数倍となるので(計算略)
四面体ABEFの体積が有理数であることを示せばよいが、E(p,q,0), F(r,s,0)とおけば(p,q,r,sは有理数)
三角形AEFの面積は|ps-qr|/2と有理数であり、三角形AEFを底面と見たときの高さは点Bのz成分となるため
四面体ABEFの体積は有理数となるので、四面体Kの体積も有理数となる