>>242

①
　F[m+1]F[n] - F[m]F[n+1] = G[m,n]　とおく。
　G[n,n] = 0,
　G[2,1] = F[3]F[1] - (F[2])^2 = 1,
　G[m,n] + G[m-1,n-1] = F[m+1]F[n] - F[m]F[n+1] + F[m]F[n-1] - F[m-1]F[n]
　　　　= {F[m+1]-F[m]-F[m-1]}･F[n] - F[m]･{F[n+1]-F[n]-F[n-1]} = 0,
∴　G[n+1,n] = -G[n,n-1] = ･･････ = (-1)^(n-1)･G[2,1] = (-1)^(n-1),

②
　(左辺) - (右辺) = 3{1 - [cos(A)]^2 - [cos(B)]^2 - [cos(C)]^2}
　= －(3/2){cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + 1},
ところで、恒等式 A+B+C+D=0　⇒
　cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) = 4cos(A)cos(B)cos(C)cos(D)－4sin(A)sin(B)sin(C)sin(D),
に D = -180ﾟ を代入して
　cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + 1 = －4cos(A)･cos(B)･cos(C),
∴　cos(A)･cos(B)･cos(C) = 0,
∴　cos(A), cos(B), cos(C) のいずれかが0,
∴　A,B,C のいずれかが90ﾟ、
∴　ABCは直角⊿.

③
　(p､q)=(3,2) に限るらしい。
　Le Veque (1952)
　H.B.Yu (1999) ････初等的｛数セミ, ３８(6) (1999/June) による｝

・カタランの予想については
　数セミ増刊「数学100の問題」p.104-105 (1984/Sep)
　Preda Mihuailescu (Paderbon大学): J.reine angew. Math., ５７２, p.167-195 (2004)