★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問
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0199132人目の素数さん
2011/02/05(土) 23:25:54いいえ。
(1/6)π^2 = ζ(2)
= Σ[k=1,∞) 1/k^2
= Σ[k=1,n] 1/k^2 + Σ[k=n+1,∞) 1/k^2
< Σ[k=1,n] 1/k^2 + Σ[k=n+1,∞) 1/(k^2 -1/4)
= Σ[k=1,n] 1/k^2 + Σ[k=n+1,∞) {1/(k -1/2) - 1/(k +1/2)}
= Σ[k=1,n] 1/k^2 + 1/(n + 1/2)
= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 2/9 (← n=4 とおく)
= 5/3 - 1/48
< 5/3 - 1/49
= (1/6)(22/7)^2,
∴ π < 22/7,
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