★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問
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0001１３２人目の素数さん
2010/10/15(金) 14:05:36解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
前々スレ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/
0175１３２人目の素数さん
2011/01/30(日) 19:22:070176１３２人目の素数さん
2011/01/30(日) 21:43:080177１３２人目の素数さん
2011/01/30(日) 23:46:520178１３２人目の素数さん
2011/01/30(日) 23:47:31Fランク大学の数学の入試問題を考える。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208196395/269
269 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 15:03:40
円周率の問題（π>3.05を示せ）だが、0≦x≦1において不等式
1/(1+x^2) = 1-x^2 + (x^4)/(1+x^2)≧1-x^2+(1/2)x^4 と
∫[0,1]{1/(1+x^2)}dx = π/4
の２つを奇跡的に気がつけば、後はFランクレベルで
π/4≧1-1/3+1/10
∴π≧46/15=3.0666...
これも、東大生でも気がつくのは無理かな？
0179１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 00:24:54箱の中に0,1,2,3,4,5の数字が書かれたカードが1枚ずつ計6枚ある
無作為に1枚取りだし,数字を記録して元に戻すという試行をn回繰り返す
このとき,引いたn個の数字の積が4の倍数になる確率を求めよ
n桁(n≧3)の自然数のうち,次の条件を満たすものはいくつあるか
条件
2～(n-1)の各桁の数字は隣り合う桁の2つの数字とは異なる
1桁目の数字は2桁目の数字,n桁目の数字とは異なる
n桁目の数字は1桁目の数字,(n-1)桁目の数字とは異なる
0181１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 02:09:58＞ 曲面部分は球帯で、表面積は両端のzの差(h)に比例する： 2πR･h
なんで？
それ、高校生でも理解できる？
0182由緒正しき解凍者
2011/01/31(月) 03:10:43以下のように考えますた。
半径Rの球を、厚さ⊿zの円板にスライスしたとすると、
表面の幅は ⊿z/cosθ で、1周の長さは 2π(R･cosθ) だから、
表面積は (2πR)⊿z となり、θ(= z軸から測った天頂角) によらない。
0183１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 04:19:17⑤ 求める領域は
36x^3 -12x ≦ y ≦ 0,
に含まれる。 よって
S = -∫[a,b] (36x^3 -12x+1)dx ≦ -∫[0,1/√3] (36x^3 -12x)dx = -[9x^4 -6x^2](x=0,1/√3) = 1,
0184１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 11:10:21＞π≧3.0666...
苦労した割には評価が悪すぎだろ
0185１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 11:50:11π = 6∫[0,1/2]dx/√(1-x^2)
≧ 6∫[0,1/2](1+x^2/2)dx
= 25/8 = 3.125
0186１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 12:29:01球（半径R）の中心から、天頂方向に軸を取り、その軸から角度θを取る
物体の曲面側の表面積は、
θからθ+dθまでの線素：Rdθ
その線素の回転半径：Rsinθ
従って、面積は∫[0,Θ]RsinθRdθで与えられる。ただしΘは cosΘ=4/5を満たす角
という方法は、高校の範囲外になったのか？
0187１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 14:25:420188１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 15:13:57いつの時代なら高校の範囲内だったのか答えよ
0189１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 17:33:160190１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 21:08:09表面積の概念を習うかどうかだろ。
0191１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 21:46:23それとも、表面積の概念は小学や中学で習うから、高校の範囲外だっていいたいのか？
0192１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 23:18:500193１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 23:34:48>>171
球（半径R）の中心から、天頂方向に軸を取り、その軸から角度θを取る
物体の曲面側の表面積は、
θからθ+dθまでの線素：Rdθ
その線素の回転半径：Rsinθ
従って、面積は∫[0,Θ]RsinθRdθで与えられる。ただしΘは cosΘ=4/5を満たす角
という方法は、高校の範囲外になったのか？
189 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2011/01/31(月) 17:33:16
積分の基本は、xとx+Δxの間の量をxやΔxで表し、その積算が積分だというのは、高校で習うだろ
191 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2011/01/31(月) 21:46:23
表面積の概念を習わず、表面積を求める問題は出されるっていいたいのか？
それとも、表面積の概念は小学や中学で習うから、高校の範囲外だっていいたいのか？
0194１３２人目の素数さん
2011/01/31(月) 23:36:03既に習っている概念に対し、ごく自然に積分法を適用すればたどり着く解法。「応用問題」と分類してもよい。
かつて、「表面積を積分を用いて計算する方法」という分野があり、ある時期から、その分野が指導要領から明示的に
はずされたからといって、「表面積を積分を用いて計算する問題」を出してはいけない理由にはならない。
なぜなら、その問題は、既に学習しているものの延長上にある問題だからだ。
（実際にこの様な時代背景があったのかどうかは知らない）
0195１３２人目の素数さん
2011/02/02(水) 01:17:13⑤ f '(x) = 12(9x^2 -1) = 12(3x+1)(3x-1),
f '(±1/3) = 0,
x≧0 で f(x)≧ f(1/3) = -5/3,
∴ f(x) - (5/8){f(x) -1} = (3/8){f(x) + 5/3} ≧ 0,
∴ 求める領域は
(5/8){f(x)-1} ≦ y ≦ 0,
に含まれる。 よって
∴ S = -∫[a,b] f(x) dx ≦ -(5/8)∫[0,1/√3] {f(x) -1} dx
= -(5/8)∫[0,1/√3] 12(3x^3 -x) dx
= -(5/8)[ 9x^4 - 6x^2 ](x=0,1/√3)
= 5/8,
0196墓場の陰から身籠もってやる
2011/02/02(水) 22:27:35表面積は、積分で求まった体積を利用して、中学生でも求められる方法があるんだけど。
表面積を積分で求めさせる問題が有りなら、
いっそ、2π∫[a→b]f(x)√～という回転体の側面積の公式を自力で導け、みたいな問題も有り、だと思うんだけど、
そんな問題、時間内にできる受験生はそうそういないような気がするけどねえ。
0197１３２人目の素数さん
2011/02/03(木) 00:54:03例の物体と結合させたものの体積は、曲面の部分の面積をＳとすると、
Ｓ×（球の半径）×（１／３）に等しいという式から導かせようとしているようだな。
ところで、かたくなに表面積の扱いについて否定的な意見を出しているようだが、
球の表面積を求めようとする行為をデカルト座標下で行おうとすると、「積分の応用」
の中の「表面積」と一分野として設けても良いような内容になるかも知れないが、極座
標下において行おうとすると、y=f(x)、y=0、x=a、x=bで囲まれた領域の面積を求める
「定積分」の問題に毛が生えたものに帰している事実を無視してないか？
結果的には「曲面の表面積を求めた」かもしれないが、使ったテクニックは「定積分」レベルだぞ。
0198１３２人目の素数さん
2011/02/05(土) 17:06:37球面 x^2+y^2+z^2=r^2 が 二つの平面 z=α とz=β (-r≦α＜β≦r)
によって切り取られる部分の面積は 2π(β-α)r で与えられる事を示せ。
0199１３２人目の素数さん
2011/02/05(土) 23:25:54いいえ。
(1/6)π^2 = ζ(2)
= Σ[k=1,∞) 1/k^2
= Σ[k=1,n] 1/k^2 + Σ[k=n+1,∞) 1/k^2
< Σ[k=1,n] 1/k^2 + Σ[k=n+1,∞) 1/(k^2 -1/4)
= Σ[k=1,n] 1/k^2 + Σ[k=n+1,∞) {1/(k -1/2) - 1/(k +1/2)}
= Σ[k=1,n] 1/k^2 + 1/(n + 1/2)
= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 2/9 (← n=4 とおく)
= 5/3 - 1/48
< 5/3 - 1/49
= (1/6)(22/7)^2,
∴ π < 22/7,
0200１３２人目の素数さん
2011/02/06(日) 01:08:22>>185, >>199 から
〔補題〕
3 + 1/8 < π < 3 + 1/7,
(補足)
(1-x^2){1 + (1/2)x^2}^2 = (1-x^2){1 +x^2 + (1/4)x^4} = 1 - (3/4)x^4 -(1/6)x^6 < 1,
∴ 1/√(1-x^2) > 1 + (1/2)x^2,
0201１３２人目の素数さん
2011/02/07(月) 18:46:37類題：東大
0202１３２人目の素数さん
2011/02/08(火) 04:28:57それって内接球じゃないか？
0203１３２人目の素数さん
2011/02/08(火) 06:31:200204１３２人目の素数さん
2011/02/08(火) 06:50:52勉強になった。
補足説明ありがとう。
0205１３２人目の素数さん
2011/02/08(火) 08:14:030206１３２人目の素数さん
2011/02/11(金) 04:31:53立方体を
|x| ≦ 1/2, |y| ≦ 1/2, |z| ≦ 1/2,
とすると 中接球は
x^2 + y^2 + z^2 = 1/2,
z=一定 の断面は、正方形と円(半径√(1/2 - z^2) の共通部分で,
4つの2等辺△の面積： √(1-4z^2),
4つの扇形部分の面積： π/4 - arctan(√(1-4z^2)),
∴ S(z) = √(1-4z^2) + {π/4 - arctan(√(1-4z^2))},
∴ ∫S(z) dz = ∫√(1-4z^2)dz + (π/4)z - ∫arctan(√(1-4z^2))dz
= (1/2)∫(1-8z^2)/√(1-4z^2) + (1/2)∫1/√(1-4z^2)dz + (π/4)∫dz - z･arctan[√(1-4z^2)] -∫(2z^2)/{(1-2z^2)√(1-4z^2)} dz
= (1/2)z√(1-4z^2) + (1/4)arcsin(2z) +(π/4)z -z･arctan[√(1-4z^2)] -2∫(z^2)/{(1-2z^2)√(1-4z^2)} dz
= (1/2)z√(1-4z^2) + (3/4)arcsin(2z) +(π/4)z -z･arctan[√(1-4z^2)] -(1/√2)arctan[(√2)z/√(1-4z^2)],
z=-1/2 から z=1/2 まで積分すれば
V = ∫[-1/2,1/2] S(z) dz = π(1 - 1/√2) = 0.92015118451061011495470288824916
0207１３２人目の素数さん
2011/02/11(金) 17:53:12だから、
４の扇系の面積=4*(1/2)*(1/2-z^2){π/2-2arctan(√(1-4z^2))}
の間違いだろ？
っていうか、
V=(4/3)π(√2/2)^3-6π∫[1/2,√2/2](1/2-x^2)dx=π(5/4-2√2/3)=0.9650688582...
とすればいいだけじゃね？
0209１３２人目の素数さん
2011/02/11(金) 20:25:37球を切り取ってできた、断面の円の半径が 1/2、断面を下にして、地面に置いた時の高さが (1/√2 - 1/2) の甲羅形の体積を求めよ。
0210206
2011/02/12(土) 03:29:18S(z) = √(1-4z^2) + (1-2z^2){π/2 - 2arctan(√(1-4z^2))},
ですた。
これを使って計算をやり直したら >>205 >>207 と同じ結果になりますた。
ｽﾏｿ.
0211210
2011/02/12(土) 03:33:17∫S(z) dz = ∫√(1-4z^2) dz + ∫(1-2z^2){π/2 - 2arctan(√(1-4z^2))dz
= ∫√(1-4z^2) dz + {z-(2/3)z^3}{π/2 - 2arctan(√(1-4z^2))} - ∫{z-(2/3)z^3}4z/{(1-2z^2)√(1-4z^2)}dz
= ∫(1-4z^2)/√(1-4z^2) dz + {z-(2/3)z^3}{π/2 - 2arctan(√(1-4z^2))} + (4/3)∫(1-z^2)/√(1-4z^2) dz -(4/3)∫1/{(1-2z^2)√(1-4z^2)} dz
= (1/3)∫(7-16z^2)/√(1-4z^2) dz + {z-(2/3)z^3}{π/2 - 2arctan(√(1-4z^2))} -(4/3)∫1/{(1-2z^2)√(1-4z^2)} dz
= (2/3)∫(1-8z^2)/√(1-4z^2) dz + (5/3)∫1/√(1-4z^2) dz + {z-(2/3)z^3}{π/2 - 2arctan(√(1-4z^2))} -(4/3)∫1/{(1-2z^2)√(1-4z^2)} dz
= (2/3)z√(1-4z^2) + (5/6)arcsin(2z) + {z-(2/3)z^3}{π/2 - 2arctan(√(1-4z^2))} - (2/3)(√2)arctan((√2)z/√(1-4z^2)),
z=-1/2 から z=1/2 まで積分すれば
V = ∫[-1/2,1/2] S(z) dz = π(5/4 - (2/3)√2) = 0.9650688582...
0212１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:31:48どのようなbに対しても、xの方程式F(x)=F(ax+b)が0≦x＜cで解を持つようにaの範囲を定めよ。
0213１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 23:02:52△ABCは正三角形ではないものとする。
△ABCの内接円の中心をOとし、この内接円上に点Pをとる。
辺AB，辺BC，辺CAに関してPと対称な点をD,E,Fとする。
（１）(△DEFの面積)≦(△ABCの面積)を示せ。また、等号が成り立つための条件を求めよ。
（２）△ABCを固定し、点Pを内接円上で自由に動かすとき、△DEFの面積が最大となるときのPをP1、最小になるときのPをP2とすると、P1とP2は中心Oについて対称な点であることを示せ。
0214１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 23:04:5522/7 < √2 + √3 < √10
を示してくださいです。
0215１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 23:13:040216１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 23:19:170217１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 23:21:0922/7 < π < √10
の間違いじゃないの？
0218１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 23:24:18・左側
49^2 > 48･50 = (1/6)(120^2),
∴ √6 > 120/49,
(√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 485/49 > 484/49 = (22/7)^2,
∴ 22/7 < √2 + √3,
・右側
y=√x は上に凸: √a + √b < 2√((a+b)/2) = √{2(a+b)},
あるいは √a + √b = √{2(a+b) - (√a -√b)^2} < √{2(a+b)},
0219１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 23:24:500220１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 23:33:40〔補題〕
3 + 1/8 < π < 22/7 < √2 + √3 < √10,
左側から
>>185, 200
>>187, 199
>>214, 218
0221１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 23:36:400222１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 23:44:110223１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 10:34:32曲線y=n/(1+x)^n (n=2, 3,・・・)上の第1象限の点における接線およびx$軸, y軸とで
囲まれる部分の面積の最大値をS_nとする。lim_{n→∞}S_nを求めよ。
0224１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 13:37:570225１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 16:13:46出典 198? TDU でした。
東大入試直前 2
3辺の長さが整数, ∠B=2∠A かつ ∠C が鈍角となる三角形 ABCの周長の最小値を
求めよ。
0226１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 16:27:13さすが数学板。日本語が不自由やで！
0227１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 16:43:170228１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 16:57:590229１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 17:01:27東大レベルの受験生なら,15分以下が目標ですかね。理3だったら, 10分？
0230１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 17:51:33東大入試直前 2 是非, 解いてみてください。
0231１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 19:39:01∠A=θとしたとき、0＜θ＜π/6で、
sinθ：sin2θ：sin3θが整数比になるようなθが存在するか？
となって詰まった。
0232１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 19:46:360233１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 00:59:06倍角公式、3倍角公式より
sinθ : sin(2θ) : sin(3θ) = 1 : 2cosθ : (2cosθ)^2 - 1,
よって 題意は cosθ が有理数であることと同値。
cos(π/6) < r < 1,
なる有理数rをとって θ = arccos(r) とおく。
0234１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 01:24:19r = (2n-1)/2n (n≧4) のとき
a : b : c = sin(A) : sin(B) : sin(C)
= sinθ : sin(2θ) : sin(3θ)
= n^2 : n(2n-1) : (n-1)(3n-1),
0235１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 02:23:13π^6 = 945ζ(6) = 945･Σ[k=1,∞) (1/k)^6
> 945･{1 + (1/2)^6 + (1/3)^6}
= 945 + 945/64 + 35/27
> 945 + 944/64 + 35/28
= 945 + 59/4 + 5/4
= 961
= 31^2,
∴ π > (31)^(1/3),
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/192-193
不等式スレ５
0236１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 11:30:34a : b : c = sin(A) : sin(B) : sin(C)
= sinθ : sin(2θ) : sin(3θ)
= n^2 : n(2n-1) : (n-1)(3n-1)
ということは, n=4⇔a=16, b=28, c=33のとき, Min(a+b+c==77ってことか？
r = (2n-1)/2n (n≧4)の導出も含めて, 答案をみせてくれ。
0237１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 13:54:09という数列がある。
(1) この数列の法則を述べよ。
(2) この数列の第n項をa(n)とすると、a(n+5)=a(n)+6を満たす最小のnを求めよ。
0238１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 13:56:39正：(2) この数列の第n項をa(n)とすると、a(n+5)=a(n)+6を満たす最小のa(n)を求めよ。
0239１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 12:01:52http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=2178762#p2178762
0240１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 16:28:13半径１の球面上に４点Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃを∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ＝９０°
を満たすようにとる。ＯＡ＝a，ＯＢ＝ｂ，ＯＣ＝ｃとおく
(１)四面体ＯＡＢＣの体積の最大値を求めよ
(２)四面体ＯＡＢＣに内接する球の半径の最大値を求めよ
これ解けたらかなりきてると思う
0241１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 17:17:474点を通る球面の方程式は x(x－a)＋y(y－b)＋z(z－c)＝0
(x－a/2)^2＋(y－b/2)^2＋(z－c/2)^2＝(a^2＋b^2＋c^2)/4
球の半径が 1 だから，a^2＋b^2＋c^2＝4
相加相乗の不等式より, abcの最大値は(8√3)/9
四面体OABC の体積の最大値は，(4√3)/27…(1)
内接球の半径を r とする。中心の座標は (r，r，r)、
中心から平面 ABの方程式 x/a＋y/b＋z/c－1＝0の距離が r
{1－(r/a＋r/b＋r/c)}/√(1/a^2＋1/b^2＋1/c^2)＝r
r＝1/(√(1/a^2＋1/b^2＋1/c^2)＋(1/a＋1/b＋1/c))
a＝b＝c＝(2√3)/3 のとき最大値 (√3－1)/3…(2)
0242１３２人目の素数さん
2011/02/25(金) 02:26:40.17F[n+2]=F[n+1]+F[n],F[1]=F[2]=1を満たすとき,
F[n+2]F[n]+(-1)^n={F[n+1]}^2
が成り立つことを示せ.
②△ABCにおいて,
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2{(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2}
を満たす三角形はどのような三角形か.
③p^q-q^p=1を満たす素数の組(p,q)を求めよ.
④1からnまでの数字が書かれたカードが1枚ずつ,計n枚ある.
無作為に1枚カードを選び,書かれた数字を記録して元に戻すという試行を3回繰り返す.
このとき,記録した3つの数字のうちのどの2つの和をとっても,和がn+1以下になる確率を求めよ.
⑤2次正方行列Aが,
A^2-2A+E=O
を満たすとき,Aは逆行列をもつことを示せ.
また,nを自然数として,
{A^(-1)}^n=p[n]A+q[n]E
を満たす実数p[n],q[n]を求めよ.
⑥lim[n→∞]∫[0→1]{dx/(1+x^n)}の値を求めよ.
①数列{F[n]}が,
F[n+2]=F[n+1]+F[n],F[1]=F[2]=1を満たすとき,
{F[1]}^2+{F[2]}^2+…+{F[n]}^2=F[n]F[n+1]
が成り立つことを示せ.
③p^p-q^q=23を満たす素数の組(p,q)を求めよ.
④1からnまでの数字が書かれたカードが1枚ずつ,計n枚ある.
無作為に1枚カードを選び,書かれた数字を記録して元に戻すという試行を2回繰り返す.
このとき,記録した2つの数字の和がn+1以下になる確率を求めよ.
⑤xy平面上において,3点O(0,0),A(a,a^3),B(1,1)がある.ただし,0<a<1とする.
y=x^3と線分OA,ABによって囲まれた2つの図形の面積の和が最小となるようなaの値を求めよ.
0243１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 16:09:03.54http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tokyo/zenki/index.html
0244１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 22:52:06.090245１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 23:10:06.69やっつけ仕事で作った感がすごい。
0246１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 23:41:03.73受かると問題すら見る気なくすわ
そして恐らく解けもしないｗ
0247１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 23:48:07.17四面体は三角錐以外に存在しますか？
0248１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 23:50:59.03ほんとだ
どしたんだろう
0249１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 23:52:54.82①
F[m+1]F[n] - F[m]F[n+1] = G[m,n] とおく。
G[n,n] = 0,
G[2,1] = F[3]F[1] - (F[2])^2 = 1,
G[m,n] + G[m-1,n-1] = F[m+1]F[n] - F[m]F[n+1] + F[m]F[n-1] - F[m-1]F[n]
= {F[m+1]-F[m]-F[m-1]}･F[n] - F[m]･{F[n+1]-F[n]-F[n-1]} = 0,
∴ G[n+1,n] = -G[n,n-1] = ･･････ = (-1)^(n-1)･G[2,1] = (-1)^(n-1),
②
(左辺) - (右辺) = 3{1 - [cos(A)]^2 - [cos(B)]^2 - [cos(C)]^2}
= －(3/2){cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + 1},
ところで、恒等式 A+B+C+D=0 ⇒
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) = 4cos(A)cos(B)cos(C)cos(D)－4sin(A)sin(B)sin(C)sin(D),
に D = -180ﾟ を代入して
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + 1 = －4cos(A)･cos(B)･cos(C),
∴ cos(A)･cos(B)･cos(C) = 0,
∴ cos(A), cos(B), cos(C) のいずれかが0,
∴ A,B,C のいずれかが90ﾟ、
∴ ABCは直角⊿.
③
(p､q)=(3,2) に限るらしい。
Le Veque (1952)
H.B.Yu (1999) ････初等的｛数セミ, ３８(6) (1999/June) による｝
・カタランの予想については
数セミ増刊「数学100の問題」p.104-105 (1984/Sep)
Preda Mihuailescu (Paderbon大学): J.reine angew. Math., ５７２, p.167-195 (2004)
0250１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 04:19:37.95④
出た数を i,j,k とする。(1≦i,j,k≦n)
題意に適するのは i+j ≦ n+1 かつ max(i,j) + k ≦ n+1,
Σ[i+j≦n+1] {n+1-max(i,j)} = (1/4)(n^3 +n^2 +3n -1), (n:奇数)
= (1/4){n^3 +(3/2)n^2 +n}, (n:偶数)
これを n^3 で割る。
⑤ 与式より
A･(-A +2E) = (-A +2E)･A = E,
∴定義により A^(-1) = -A +2E,
また、A≠E のとき
p[1] = -1,
q[1] = 2,
p[n+1]A + q[n+1]E = {p[n]A + q[n]E}A^(-1)
= p[n]E + q[n]A^(-1)
= p[n]E + q[n](-A +2E)
= (-q[n])A + (p[n]+2q[n])E,
∴ p[n+1] = -q[n],
q[n+1] = p[n] + 2q[n],
∴ p[n] = -n,
q[n] = n+1,
なお、A=E のときも p[n]+q[n]=1 は成立つ。
⑥
1/(1+x^n) = 1 - (x^n)/(1+x^n), と分ければ簡単。
∫[0→1] dx = [ x ](x=0,1) = 1,
0 < ∫[0→1] (x^n)/(1+x^n) dx
< ∫[0→1] x^n dx
= [ {1/(n+1)}x^(n+1) ](x=0,1)
= 1/(n+1) → 0, (n→0)
0251１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 04:33:55.64>>242
①
F[k]^2 = F[k](F[k+1]-F[k-1]) = F[k]F[k+1] - F[k-1]F[k], (k>1)
F[1]^2 = F[1]F[2],
の総和をとる。
③ (p,q)=(3,2) に限るらしい。
p>3 のとき p^p - q^q > p^p - (p-1)^(p-1) > (p-1)^p > 3^4 = 81,
∴ 3 ≧ p > q > 1,
④ 出た数を i,j とする。(1≦i,j≦n)
i+j = n+1 となる確率は 1/n,
i+j < n+1 ⇔ (n+1-i) + (n+1-j) > n+1,
i+j < n+1 となる確率と i+j > n+1 となる確率は等しく, (n-1)/(2n),
よって (n+1)/(2n),
⑤ n=3 とする。問題の面積は
S(a) = (1/2)a･(0+a^n) + (1/2)(1-a)(1+a^n) - ∫[0,1] x^n dx = (1/2)(1 -a +a^n) - ∫[0,1] x^n dx,
S '(a) = (1/2){-1 + n･a^(n-1)},
よって、最小となるのは a = 1/{n^(1/(n-1))} のとき。
なお、∫[0,1] x^n dx を計算する必要はない。
〔別法〕 相加･相乗平均より
(a0)^n + (a0)^n + ･････ + (a0)^n + a^n ≧ n･(a0)^(n-1)･a,
････ (n-1)個 ････
そこで a0 = (1/n)^(1/(n-1)), とおくと、
1 -a +a^n ≧ 1 - (n-1)(a0)^n,
等号成立は a=a0 のとき。
0252１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 06:09:42.70無限に伸びた四角柱・四角錐などを除いて有限な多面体で考えれば、三角錐以外には存在しない。
頂点数をv, 稜の数をe, 面の数をf とする。
各頂点は3つ以上の稜が集まり、それらを２頂点で共有しているから、
2e ≧ 3v, …… (1)
各面には3つ以上の稜があり、それを２面で共有しているから、
2e ≧ 3f = 12, …… (2)
また、オイラーの多面体定理から、
v-e = 2-f = -2, …… (3)
(1),(2),(3)から
v=4, e=6,
>>249 (2)
何もそんな複雑な恒等式を持ち出さなくても････
と言いつつ、もう２つ。
A+B+C+D = 0 ⇒
tan(A) + tan(B) + tan(C) + tan(D) = tan(A)tan(B)tan(C) + tan(A)tan(B)tan(D) + tan(A)tan(C)tan(D) + tan(B)tan(C)tan(D),
cot(A) + cot(B) + cot(C) + cot(D) = cot(A)cot(B)cot(C) + cot(A)cot(B)cot(D) + cot(A)cot(C)cot(D) + cot(B)cot(C)cot(D),
辺々割ると、 tan(A)tan(B)tan(C)tan(D) = 1/{cot(A)cot(B)cot(C)cot(D)},
0253１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 06:13:08.930254１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 06:14:47.470255１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 07:23:55.39http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/214-215
不等式スレ５
0256１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 11:06:40.46底面に穴を開けたところ、１００秒で容器内の水が半分になった。
ある時刻において容器から流れ出る水の量は水面の高さの平方根に比例するとして、
立方体の水が全て流れ出るまでの時間を求めよ。
0257１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 12:39:43.08京大入試の数学でカンニングがあったみたいね
図太い神経しとるのう(^o^;
去年、今年の京大の数学見ると
阪大や東北大の方が
よっぽど難しいね
京大よ、どうした？
0258１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 15:34:59.80水量は、底面から水面までの高さzに比例する。題意より
dz/dt = -√{k･z(t)},
これは変数分離形なのですぐ解けて
z(t) = (k/4)(c-t)^2, (0<t<c)
ここに cは水量が0になる時間である。また、
z(0)/z(100) = {c/(c-100)}^2 = 2,
c/(c-100) = √2,
ここで、算数チャチャチャ（ペギー葉山）を口ずさむと、自然に
c = 100(2+√2), [秒]
が分かると思うんだが････
0259１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 20:17:51.50次の条件を同時に満たす整数の組(x[1],x[2],x[3])は何通りか
(i）0≦x[1]≦x[2]≦x[3]
(ii)x[i]+x[j]≦n (i≠j)
0260１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 20:37:41.62以下の式を因数分解せよ
Σ[k=1,n](a[k]^3)-3Σ[1≦i<j<k≦n](a[i]*a[j]*a[k])
0261１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 23:56:53.21'１１年の２・２６事件、と呼ぶらしい。
0262１３２人目の素数さん
2011/02/28(月) 18:11:29.13正解。簡単すぎたかな
0263１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 11:39:35.04http://cid-d357afbb34f5b26f.office.live.com/browse.aspx/.Public/%E6%9D%B1%E5%A4%A7%E5%85%A5%E8%A9%A6%E4%BD%9C%E5%95%8F%E8%80%85%E3%82%B9%E3%83%AC
からダウンロードできます。
0264∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/02(水) 23:02:29.76>724 名前：１３２人目の素数さん ：2011/03/02(水) 22:28:23.32
> >>KuzuNOSeihanzaish
> 数学に捨てられ「た」性犯罪者でしょうか？
> 社会の屑の印象をどうしても受けます。
>
0265１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 23:14:06.76立方体のサイコロをふりでた目が偶数がでれば正四面体のサイコロを転がし、奇数がでれば正四面体のサイコロを転がさない。
地面に接した面をサイコロの目とし、初め1の目の状態にあるとすると
n回目に正四面体の目が1である確率を求めよ。
ただし、転がすとは地面に接した面の任意の辺を一つ選び、その辺を
軸に目が変わるように回転させることである。
0266１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 00:52:44.280267１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 01:13:25.930268１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 01:17:58.880269１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 01:30:42.06p[n+1]=(1/2)p[n]+(1/2){(0/3)p[n]+(1/3)q[n]+(1/3)r[n]+(1/3)s[n]}、p[0]=1,q[0]=r[0]=s[0]=0
対称性から、q[n]=r[n]=s[n]、当然、どこかは常に地面に接しているから、p[n]+q[n]+r[n]+s[n]=1
整理すると p[n+1] = (1/3)p[n] + (1/6) 漸化式を解くと p[n] = (1/4) + 3^(1-n)/4
0270sage
2011/03/03(木) 01:39:16.72(ax+b)-x=N(整数）、aは明らかに１でないから、x=(N-b)/(a-1)
0≦(N-b)/(a-1)＜c
b≦N＜c(a-1)+b
任意のbに対して、整数Nが存在するのは c(a-1)≧1
a≧1+1/c
0271sage
2011/03/03(木) 01:43:43.150272１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 02:02:29.80(与式) = s*{Σ[k=1,n] a[k]^2 - t} = s*(s^2 -3t),
ここに基本対称式を
s = Σ[i=1,n] a[i],
t = Σ[1≦i<j≦n] a[i]*a[j],
u = Σ[1≦i<j<k≦n] a[i]*a[j]*a[k],
･････
とおいた。
0273sage
2011/03/03(木) 02:03:07.360274１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 11:37:21.75お見事。
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