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初等幾何学の難問（中学レベル）

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001数学教師2010/10/11(月) 08:01:30
凸四辺形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ，ＢＤの交点をＯ
とするとき、ＯＡ＜ＯＣ、ＯＤ＜ＯＢとする。
ＡＣ，ＢＤの中点Ｍ，Ｎを結ぶ直線とＡＢ，ＣＤ
との交点をＥ，Ｆとし、ＣＥ，ＢＦの交点をＰとすれば、
直線ＯＰは線分ＥＦを２等分することを証明せよ。
0002数学教師2010/10/11(月) 08:02:29
凸四辺形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ、ＢＤの交点をＯとし、
ＡＣ，ＢＤの中点をそれぞれＭ、Ｎとする。
四辺形内に点ＰをＮＰ//ＡＣ、ＭＰ//ＢＤにとれば、


△ＯＡＢ＋△ＯＣＤ＝２△ＰＢＣ

であることを証明せよ。
0003数学教師2010/10/11(月) 08:03:15
台形ＡＢＣＤにおいて、ＡＤ//ＢＣとし、
対角線ＡＣ，ＢＤの交点をＯとする。
Ｏを通る直線が辺ＡＤ，ＢＣと交わる点を
Ｍ，Ｎとし、ＡＮ，ＢＭの交点をＰ、
ＣＭ，ＤＮの交点をＱとすれば、
Ｐ、Ｏ，Ｑは同一直線上にあることを証明せよ。
0004べ2010/10/11(月) 09:38:49
凸四角形ABCDについて、BA≠BCが成り立つ。
三角形ABC,三角形ADCの内接円をそれぞれω_1、ω_2とする。
直線AD,CDに接する円であって、直線BAとAに関してBの反対側(Aは含まない)で接し、
直線BCとCに関してBの反対側（Cは含まない）で接するものが存在したとし、この円をωとする。
このとき、ω_1、ω_2の2本の共通外接線はω上で交わることを示せ。
0005数学教師2010/10/11(月) 15:50:26
age
0006１３２人目の素数さん2010/10/11(月) 18:52:47
すべての三角形は辺を3つ持つことを証明せよ。
0007 ◆27Tn7FHaVY 2010/10/11(月) 19:02:39
>>1
生徒にいじめられんなよ。
0008１３２人目の素数さん2010/10/11(月) 20:02:13
作図して折れば分かるだろ。射影幾何学つかえよ。
0009１３２人目の素数さん2010/10/11(月) 20:10:27
作図して祈れば分かるだろ。祈祷幾何学つかえよ。
0010初等幾何スレ2010/10/11(月) 22:38:23
>>1
ベクトル使ったら一瞬だろ。本スレつかえよ。
0011１３２人目の素数さん2010/10/11(月) 22:54:26
>>4 2008年IMOの⑥
金メダリストの副島氏でも正答できなかった超難問
0012１３２人目の素数さん2010/10/14(木) 07:51:49
>>11
俺は解けたけど？
0013１３２人目の素数さん2010/10/14(木) 19:42:47
良かったね
君には折り紙製の金メダルをあげよう
0014数学教師2010/10/17(日) 08:39:06
age
0015数学教師2010/10/22(金) 14:11:21
>>1の問題を期末テストに出した。
だれもできなかった
0016１３２人目の素数さん2010/10/22(金) 20:07:38
そうですか
0017１３２人目の素数さん2010/10/26(火) 16:57:19
猫に小判、まで読んだ。
0018猫に小判 ◆MuKUnGPXAY 2010/10/26(火) 17:11:22
ココかてカキコしたらアカン。

猫
0019１３２人目の素数さん2010/10/29(金) 02:35:46
猫が寝転んだ。
0020１３２人目の素数さん2010/11/06(土) 01:10:40
猫の手なんて借りたくない。
0021１３２人目の素数さん2010/11/06(土) 01:18:51
猫の耳に真珠まで読んだ
0022１３２人目の素数さん2010/11/06(土) 21:13:50
まだスレ主がここみてるか解からんから解き方はちゃんと書かないけど
②は普通に面積比でゴリ押しで解けた
③もメネラウス連発で
①はしらね
0023清水次郎長2010/11/10(水) 15:26:00
age
0024１３２人目の素数さん2010/11/13(土) 00:09:58
難問なのに中学レベルって、なんか暑い冬みたいな中途半端さだな
0025数学教師2010/11/13(土) 08:31:15
ひし形ＡＢＣＤの辺ＡＢ，ＡＤ上の点をそれぞれＥ，Ｆとし、
ＣＥ，ＣＦとＢＤとの交点をＰ，Ｑとする。
（ＡＥ／ＥＢ）×（ＡＦ／ＦＤ）＝２ならば、
ＢＰ：ＰＱ：ＱＤ＝ＡＦ：（ＢＥ＋ＤＦ）：ＡＥ

であることを証明せよ。
＊このスレッドに証明の過程もすべて書き込むこと
0026１３２人目の素数さん2010/11/13(土) 09:08:34
楕円体ax^2+by^2+c^2=1の表面にできる格子点の数をa,b,cで表しなさい。
0027１３２人目の素数さん2010/11/13(土) 09:10:38
楕円体ax^2+by^2+cz^2=1の表面にできる格子点の数をa,b,cで表しなさい。
0028１３２人目の素数さん2010/11/13(土) 17:19:18
>>25
ACとBDの交点をOとすると
OQ:QD=△COQ:△CDQ=(△ACQ/2):△CDQ=AF/2:DF
　　　　={AF×(EB/AE)×(FD/AF)}:DF=EB:AE
となるのでQD/OD=AE/AB
同様にBP/BO=AF/AD
ここでOD=BO, AB=ADより
BP/BD=AF/2AB, QD/BD=AE/2AB
PQ/BD=1-BP/BD-QD/BD=(BE+DF)/2AB
以上からBP:PQ:QD=AF:(BE+DF):AE
0029じゅー2010/11/18(木) 19:57:56
>>3
パップスの定理より明らか。
>>2
△ABCで三角形ABCの面積を表すものとします。
△OAB+△OCD=△ABC+△DBC-2△OBC=2(△MBC+△NBC-△OBC)
=2(△NBC-△OBM)=2(△NBC-△OPB)=2(△NBC-△NPB-△NPM)
=2(△NBC-△NPB-△NPC)
=2△PBC
今外出中なんで家に帰ってから1と4を紙に書いてやってみます。
間違ってたらご指摘を。
0030じゅー2010/11/18(木) 22:55:09
>>1
適当に…
AE:EB=△ANM:△BMM=△MNC:△MND=DF:FC …
AE/EB=@とおくと、AE/EB=@/(1-@)となるから、
△EPO
＝◇ABPO-△BPE-△AEO＝◇ABPO-(1-@)△BPA-@△ABO＝△APO-@(△BPA-△ABO)＝△APO-@(△BPO-△APO)
＝@△BPO+(1-@)△APO
です。これを用いて、
△EPO/△BPC
=@△BPO/△BPC+(1-@)△APO/△BPC＝@(△BPO/△BPD)(△BPD/△BPC)+(1-@)(△APO/△APC)(△APC/△BPC)＝@BO/BD*(1-@)/@+(1-@)AO/AC*@/(1-@)
＝(1-@)BO/BD+@AO/AC …
より同様にすると、
△FPO/△BPC＝(1-@)OD/BD+@OC/AC …
メネラウスの定理より、
CM/MO*ON/ND*DF/FC=1 ⇔ CM/MO*ON/ND*(1-@)/@=1 ⇔ (1-@)ON/ND=@MO/CM ⇔ (1-@)*(BO-OD)/BD=@*(OC-AO)/AC (∵M,NはBD,ACの中点)
⇔(1-@)BO/BD+@AO/AC=(1-@)OD/BD+@OC/AC
⇔△EPO＝△FPO (∵)
よってOPはEFを二等分する。
0031じゅー2010/11/19(金) 00:27:43
ω_1,ω_2,ωに接し、BDに平行であり、BDそのものではない3本の直線が各々接する点を順にP,S,Tとします。ただし、Tは、BDに近い方を選ぶとします。
BDとω_1,ω_2の接点をQ,Rとします。
相似拡大の変換で平行である関係が保たれることを利用すると、A,P,TとS,C,Tはそれぞれ同一直線上にあります。 …
ω_1とAB,AD、ω_2とCB,CDの接点をK,L,M,Nとおき、ωとAB,BC,CD,DAとの接点をW,X,Y,Zとします。
AB+BC
=AW+BC-BW=AZ+BC-BY==AZ-CY=AZ-CX=AD+DX-CX
=AD+CD
AK=AL,CM=CNより、
BK+BM=DL+DN …
また、BM=BQ,BK=BR,DL=DR,DN=DQより、
BK+DL=DN+BM …
を連立させて解くと、BK=DC,BC=DLを得ます。
つまり、BR=QDであり、Rは△ABDの内接円とBDの接点だから、Qは△ABDの角A内の傍接円とBDの接点になります。同じようにRは△BCDの角C内の傍接円とBDの接点です。
よってA,P,Qと、R,S,Cはそれぞれ同一直線上にあります。
PとRはQとSをω_2をω_1に相似拡大するときに写る点なので、PQ,RSはこの相似の中心、つまり、共通外接線の交点で交わります。
より、PQ,RSはTで交わり、Tはω上の点だから、ω_1とω_2の共通外接線はω上で交わります。

個人的にはやりやすかったかな。ベクトルを習ってない僕的には>>1の方が難しかった。
相似を使うのはすぐに見抜けるし、あとはA,P,Qが一直線に並ぶだけってとこまいけたら長さでいろいろやればQが傍接円との接点になることもすぐわかるし…
ほんまに国際数学オリンピックの問6か??
これなら問4にすべきやろ。
0032数学教師2010/11/30(火) 14:45:45



四辺形ＡＢＣＤの辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ，ＤＡ上にそれぞれ、
点Ｐ、Ｑ、Ｒ，Ｓを、
ＡＰ：ＰＢ＝ＣＲ：ＲＤ，ＢＱ：ＱＣ＝ＤＳ：ＳＡ
にとるとき、四辺形ＰＱＲＳの面積が、四辺形ＡＢＣＤの面積の
半分ならば、Ｐ，ＲはそれぞれＡＢ，ＣＤの中点であるか、
または、Ｑ，ＳはそれぞれＢＣ、ＤＡの中点であることを証明せよ。
0033数学教師2010/11/30(火) 14:47:30
>>32
この問題は超難問ですが、数学オリンピックの過去問では
ありません。
0034数学教師2010/11/30(火) 14:59:19
基本こそ厳密に証明しようとすれば難しい。

次の問題をどうぞ。

「二つの三角形の対応する３辺がそれぞれ平行ならば、両三角形は相似である」
ということを、厳密に証明せよ。
0035１３２人目の素数さん2010/11/30(火) 15:11:04
「相似」って、どれが定義なんだっけ？
0036数学教師2010/12/03(金) 14:22:42
「相似の定義」


一方の図形が他方の図形の拡大または
縮小した図形であるとき、２つの図形は相似であるという
0037１３２人目の素数さん2010/12/03(金) 22:04:08
拡大または縮小　を定義せよ
0038清水次郎長2010/12/04(土) 13:38:39
>>37
要するに、「できない」んでしょ？
証明が。
多少厳密でなくてもいいから、やってみてよ。
東大理学部数学科の学生さん、京都大学理学部数学科の学生さん。

中学レベルの問題だよ。
0039清水次郎長2010/12/04(土) 13:41:00
ヒント：二つの三角形の対応する三つの角が等しいことを証明する。


これでできなかったら、東大の学生証を没収！
0040清水次郎長2010/12/04(土) 13:43:16
>>34
この中学レベルの問題が証明できないということは、
東大理系の学生のほとんどが、小手先の受験テクニックで
数学の試験を突破したことになる。
0041クロ駒野勝三2010/12/04(土) 15:41:20
拡大または縮小：
　恒温の一定湿度において、十分な剛性を有する物体をそのいかなる
2点の長さを、ある一定の倍率の長さにする物体をつくる。
思考実験ではイメージだけ作成しても可能。
0042１３２人目の素数さん2010/12/04(土) 15:45:49
次の式が成り立つような6 桁の数abcdef で考えられるのはア通りです。但し
abcde やcdefa は5 桁の整数であることを表します。(中2 松崎)
abcde+bcdef+cdefa+defab+efabc+fabcd=abcdef÷2
0043１３２人目の素数さん2010/12/04(土) 19:26:52
a≠b≠c…とかの条件はないの?
0044１３２人目の素数さん2010/12/30(木) 11:08:33
まだ書ける。
このまま三が日まで規制かからないことを祈る。
0045じゅー2010/12/30(木) 22:11:22
>>34
平行移動させて角が一致するようにしたらいいんじゃないか??
0046１３２人目の素数さん2010/12/31(金) 04:38:26
>>34
　各辺を延長して交わらせ、同位角が等しいことを使う。
0047１３２人目の素数さん2010/12/31(金) 10:26:13
分割合同の問題は相当な難問が作れそうだ
0048１３２人目の素数さん2010/12/31(金) 13:30:41
>>42
そのabcdefがa10^5+b10^4+c10^3+d10^2+e10^1+f10^0を表しているのなら、
多分アは16。与式を整理して、22222(a+b+c+d+e+f)=abcdefを得るので、
abcdef≡0(mod 22222)。よって、100000≦abcdef≦999999より、5≦a+b+c+d+e+f≦45。
a+b+c+d+e+f≡0(mod 5)の場合とか考慮して、機械的に16通りと求まると思う。

>>46
厳密という以上、ユークリッド幾何学の第五公準を引用した上で、
しかも、各辺を延長した直線の位置関係によって何回も場合分けしないといけないのかな？
ただ、正直そこまでくると根気の問題だよな…
0049１３２人目の素数さん2011/01/06(木) 15:58:29
厳密じゃない証明って？
0050１３２人目の素数さん2011/01/06(木) 16:01:16
>>47
四角形を相似な四角形2011個に分割して
0051１３２人目の素数さん2011/01/07(金) 18:37:44
>>49
さあ。厳密な証明がある以上、厳密ではない証明もあるんじゃないの？
「厳密な証明」を要求する問題を作った出題者にでも聞いてくれ。
0052猫は作業 ◆MuKUnGPXAY 2011/01/07(金) 23:53:22
>>51
厳密ではないモノは数学では証明とは言いません。

猫
0053１３２人目の素数さん2011/01/07(金) 23:56:07
猫がまともなこと言うなボケ
0054猫は作業 ◆MuKUnGPXAY 2011/01/07(金) 23:57:50
ワシは任意の主張をスル権利がアルので。悪かったナ。

猫
0055１３２人目の素数さん2011/01/08(土) 01:42:57
ワシは任意のスレを潰す権利がアルので。悪かったナ。

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

猫
0056１３２人目の素数さん2011/02/05(土) 20:59:40
ねこはかすで屑でどうしようもない奴
0057１３２人目の素数さん2011/02/05(土) 21:04:30
棺桶の近いジジイだ、多めに見たれ。
0058１３２人目の素数さん2011/02/06(日) 02:21:36
1辺4cmの立方体ABCDEFGHをまずA,C,Fを含む平面で切る。つぎにA,F,Hを含む平面で切ったとき、Gを含むほうの立方の体積を求めよ。
（解説）2回目の切断で、1回目の切断と同じ体積の三角錐A-EFHが取れるから、1回目の切断で取れた三角錐の体積をもう1回引けばよい。
…問題集の解説、理系なのに理解できない。納得できん。誰か易しく教えて？
0059１３２人目の素数さん2011/02/06(日) 02:40:41
>>58

どこがどうわからんのだ？そのままだと思うが。
0060１３２人目の素数さん2011/02/06(日) 09:49:50
初等幾何ばっかが載ってる問題集あれば教えて君
0061１３２人目の素数さん2011/02/06(日) 16:03:31
モノグラフ　幾何学
0062Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g 2011/02/06(日) 17:26:54
岩田至康『幾何学大辞典』
深川英俊『日本の数学 何題解けますか？』
のシリーズは鉄板．洋書では，
Alfred S. Posamentier, C.T. Salkind, "Challenging Problems in Geometry"
Heinrich Dorrie, D. Antin, "One Hundred Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution (Dover classics of
science & mathematics)"
とか？まぁ詳しい人の降臨を待つのじゃ
0063１３２人目の素数さん2011/04/03(日) 07:44:27.18
空き家魔人という数学者は
高校時代は、アホの学生だったらしいが

中学生のときに、正多面体は、５つしかありえないことを証明したらしい。

ショ糖幾何はある程度までは動物的な直観が支える世界だから
努力すればなんとかなる。
0064１３２人目の素数さん2011/04/03(日) 07:52:09.75
電磁気学の創始者、マクスウェルはユークリッド幾何を愛していました
アインシュタインは、学校の試験をほったらかしにして、ユークリッド幾何をしていました、

ライプニッツは、書籍集の中で、幾何を重要視すべきであると述べています。
ノイマンは、「フォンノイマンの生涯」のなかで
ユークリッド批判者を相手にするなとかなんとか・・

小平さんはユークリッド幾何の愛好者であります。

高度な、抽象的に高度な数学をやるからこそ
論文の全体像を、幾何的な直観で判断するべし。
大体において、初等的な幾何的な調和が無い論文は脳がつかれるからね。ｄ
0065１３２人目の素数さん2011/04/03(日) 21:56:25.56
本当なら興味深い話だが、出典は？
0066１３２人目の素数さん2011/04/03(日) 22:27:57.66
灘高の数学が解けるヒトいる？
http://ameblo.jp/skredu/theme-10034860549.html
0067１３２人目の素数さん2011/04/04(月) 10:18:00.53
脳みそが異次元に行ってから、
現実世界に帰還するには、ユークリッド幾何は重要ですよ。

0068１３２人目の素数さん2011/04/04(月) 13:19:20.75
ユークリッド幾何で新しい定理とか見つけたらどの雑誌に
投稿すればいいのか？
今もユークリッド幾何を専門としてる数学者はいるんですか？
0069１３２人目の素数さん2011/04/04(月) 14:02:00.42
いますよ
0070１３２人目の素数さん2011/04/05(火) 08:13:57.75
>>34 三角形の三辺それぞれを延長した、直線に対して
　　平行線に交わる一直線に対して、

　　ユークリッドの公準の５つ目をつかえってことかいな（？д？）


　　ちなみに９９年前のカレー。　ポアンカレー曰く
　　我々が現実世界を三次元ユークリッド空間と認識するのは
　　目の網膜に映った距離感なしの映像と
　　目の焦点を合わせるための、目の筋肉感覚を。

　　脳内のベクトル空間で合わせているらしいが・・

　　それで、人間は筋肉の数だけ、筋肉の数の次元数のベクトル空間を
　　もっているとかなんとか・・
　　三次元の嫁は要らないな。

　　君達は、結婚しないで、ポアンカレかヒルベルトみたいな数学者になってほしいのだが。

　　なんつーか最近の学生は、細かい知識はまあまあなんだけど、
　　それ以上がねぇ。
0071１３２人目の素数さん2011/04/21(木) 11:50:50.09
あとねぇ、顔つきが、幾何学的な調和が無い人とはあんまり付き合わんほうがいい
最近の、イケメン顔とか、美人顔とかとは違って。

なんていうか、幾何学的な、対称性が無い顔つきの人は
あんまりよくないよ・・表面的な性格とかじゃなくて。
なんていうか、人間的に辛抱が足らん人が多いような気がする。
0072１３２人目の素数さん2011/04/27(水) 16:07:04.96
>>68
清宮俊雄
0073１３２人目の素数さん2011/04/27(水) 17:32:20.59
オリジナル？それともクローン？
0074１３２人目の素数さん2011/05/05(木) 12:28:19.01
清宮さんってまだ生きてるの？
0075１３２人目の素数さん2011/05/06(金) 00:54:25.57
バルカン人は長寿だからな…
0076１３２人目の素数さん2011/05/06(金) 21:23:45.04
中学の頃清宮さんの黄色い表紙の雑誌に解答投稿したことあります
0077１３２人目の素数さん2011/05/06(金) 23:02:43.36
初等幾何を言語とすべし
0078１３２人目の素数さん2011/05/08(日) 17:46:29.80
最近のテレビ番組では
昔の、平成教育委員会みたいな幾何の問題を見ないな。
0079１３２人目の素数さん2011/05/20(金) 13:04:17.54
△ABCの外接円をＣとする｡辺AB､ACに接しＣに内接する円をＣ1､辺AB､BCに接しＣに内接する円をＣ2､辺AC､BCに接しＣに内接する円をＣ3とする。円ＣとＣ1､Ｃ2､Ｃ3との接点をそれぞれP､Q､Rとおく。
AP､BQ､CRは一点で交わることを示せ。
0080じゅー2011/05/22(日) 13:29:12.06
相似で一撃
0081１３２人目の素数さん2011/05/22(日) 19:09:54.00
外接円より，ひと回り大きな内接円(二等分角の接点を利用)を設定で相似変換に持ち込むとか時間内ではムリゲーと思うけど…
副島氏レベルなら思い付くのでしょね？。
0082１３２人目の素数さん2011/05/22(日) 22:29:16.93
俺も問題思いついた。

へびの補題（snake lemma）を証明せよ。
これをきちんと証明できたらきっと代数は一通りおｋだと思う。
あ、ここ幾何学すれか。
0083１３２人目の素数さん2011/05/23(月) 05:24:50.93
あっスマン間違えてる
>>81は外接円に内接する、ひとまわり大きな三角形
（角の二等分線と外接円の交点に接する）を利用～
です。
0084じゅー2011/05/23(月) 18:15:49.08
僕レベルで思いつく問題なのでそんなに難しい問題ではないはず…。
0085１３２人目の素数さん2011/05/25(水) 23:20:44.47
出題します。

凸四角形ＡＢＣＤは
・∠ＡＢＤ＝９°　・∠ＤＢＣ＝２１°　
・∠ＣＤＢ＝７°　・∠ＢＤＡ＝１８°　を満たす。
この時、∠ＣＡＢを求めよ。

角度変えただけだから…って言ってわかる人は答書かないで下さい！！
0086１３２人目の素数さん2011/05/25(水) 23:49:29.02
考えてた人いたらごめん、ていせい。
凸四角形ＡＢＣＤは
・∠ＡＢＤ＝３０-６a°　・∠ＤＢＣ＝６a°　
・∠ＣＤＢ＝２a°　・∠ＢＤＡ＝１５-３a°　を満たす。
この時、∠ＣＡＢを求めよ。
0087１３２人目の素数さん2011/05/26(木) 00:04:12.46
ごめん最後の訂正。
凸四角形ＡＢＣＤは
・∠ＡＢＤ＝a°　・∠ＤＢＣ＝３０-a°　
・∠ＣＤＢ＝９０-３a°　・∠ＢＤＡ＝２a°　を満たす。
(０＜a＜３０）
この時、∠ＣＡＢを求めよ。
0088１３２人目の素数さん2011/05/27(金) 11:41:48.78
三角形ABCの重心をGとする
GA、GB、GCそれぞれに垂直な直線を引き
それにとってできる好転をDEFとする。
三角形DEFの重心と三角形ABCの重心の中点が三角形ABCの外心であることを示せ
0089882011/05/27(金) 18:17:39.97
自己解決しました
ありがとうございます
0090１３２人目の素数さん2011/05/28(土) 17:11:19.48
自己解決してなにより


つーか普通に難しくね？
0091１３２人目の素数さん2011/05/30(月) 18:21:27.82
>>87
(120-2a)°
http://www.gensu.co.jp/saito/langley/ の系列1-5そのもの
0092１３２人目の素数さん2011/05/30(月) 18:27:09.57
>>88にだれも「日本語でおｋ」と突っ込まないほどの過疎ぶり
0093１３２人目の素数さん2011/05/30(月) 20:11:53.31
A､B､Cを通り､AG､BG､CGに垂直な直線…～と解釈すると東京出版の某誌に>>88と似た問題があります。
誘導に従ってベクトルを利用して、最後は内積計算に持ち込むと意外とあっさり解決しました。
しかし初等幾何で華麗にやる方法はどうしても思い付きませんが…。
0094１３２人目の素数さん2011/06/01(水) 00:34:01.16
>>91
正解。トドメをさされたｗ
詳しく見ていないけど次の問題も系列に入っているんかな?

【問題】
凸四角形ＡＢＣＤの内部に点Ｐがあって
・∠ＰＡＢ＝５２°　　・∠ＰＢＡ＝２６°
・∠ＰＢＤ＝２２°　　・∠ＰＣＤ＝６４°
・∠ＰＤＣ＝６６°　　・∠ＰＤＢ＝１６°　を満たしている。
この時∠ＰＣＡを求めよ。
0095１３２人目の素数さん2011/06/01(水) 00:53:27.21
>>94
Pが△ABDの中か外かで、２通りの図形ができるような気がしてならない
0096１３２人目の素数さん2011/06/01(水) 17:28:49.19
すみません。確かにそうですね。

>>94訂正
Pは△ABDの内部にあります。
0097１３２人目の素数さん2011/06/25(土) 02:00:36.89
〔問題〕
　長方形OECDの外側に正三角形ODA, OEB をとる。
　このとき△ABCも正三角形であることを示せ。


OECD ≠ 経済協力開発機構、Organization for Economic Co-operation and Development (英), Organisation de coopération et de développement économiques (仏)
ODA　≠ 政府開発援助、Official Development Assistance
0098１３２人目の素数さん2011/06/25(土) 18:00:37.91
>>97
　二辺挟角相等により
　⊿ABO ≡ ⊿CBE ≡ ⊿ACD
∴ AB = BC = CA,
0099１３２人目の素数さん2011/07/03(日) 14:54:57.46
猫は規制されますだ
0100猫は餌食を探す ◆MuKUnGPXAY 2011/07/03(日) 15:57:45.33
サヨカ。

猫
0101兎 ◆JaejYLQyNQ 2011/07/03(日) 16:26:21.33
兎
0102猫は餌食を探す ◆MuKUnGPXAY 2011/07/03(日) 18:05:18.84
>>101
アンタの用事は何や？　早うカキコしろやナ。

猫
0103兎 ◆JaejYLQyNQ 2011/07/03(日) 18:15:37.63
いなくなれヤ。
バカ猫出てこいヤ。

兎
0104猫は餌食を探す ◆MuKUnGPXAY 2011/07/03(日) 18:30:17.17
>>103
貴殿のその二つの命題：
１．いなくなれヤ。
２．バカ猫出てこいヤ。
は背反しているとしか当方には理解が出来ません。ですから論理的な観点
から再説明を願います。

お返事をお待ちします。

猫
0105猫は餌食を探す ◆MuKUnGPXAY 2011/07/03(日) 18:45:43.62
>>103
お返事はどないしましたんた？　早よ返事してや。ワシは待ってるさかいナ。

猫
0106猫の報告は時折 ◆MuKUnGPXAY 2011/07/03(日) 19:02:32.72
訂正：

しましたんた？　→　しましたんや？

猫
0107１３２人目の素数さん2011/07/09(土) 19:50:31.58
〔例題〕
　sin(12ﾟ) = (√2 - 1)/2,
　sin(15ﾟ) = (√3 - 1)/√8,
　sin(18ﾟ) = (√5 - 1)/4,
　sin(30ﾟ) = 1/2,
　sin(45ﾟ) = (√2)/2,
　sin(54ﾟ) = (√5 + 1)/4,
　sin(60ﾟ) = (√3)/2,
　sin(66ﾟ) = (√8 - 1)/2,
　sin(75ﾟ) = (√3 + 1)/√8,
正しいのはいくつあるか?
0108１３２人目の素数さん2011/07/09(土) 23:05:30.58
>>107

　sin(12ﾟ) = sin(30ﾟ-18ﾟ) = {√(10 +2√5) - (√3)(-1 +√5)}/8,

　sin(66ﾟ) = cos(24ﾟ)
　= 1 - 2{sin(12ﾟ)^2} = {(1 +√5) + (√3)√(10 -2√5)}/8,

以外は正しそうだな....
0109１３２人目の素数さん2011/07/10(日) 02:26:52.96
>>104
１０２の猫さんは賢すぎるのでどうかそこらのバカ猫と交代してくださいませんか？

背反してないやんけ
0110１３２人目の素数さん2011/09/01(木) 18:53:21.30
流れをブッタぎってゴメン。
GeoGebraは、中学の数学とか
幾何学,証明問題に使えまつか?

ttp://www.geogebra.org/
0111１３２人目の素数さん2011/10/30(日) 21:10:05.05
111
0112１３２人目の素数さん2011/11/07(月) 22:17:45.48
IMOオランダ大会の最終問題が素敵すぎる。
0113１３２人目の素数さん2011/11/19(土) 07:58:29.67
電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索
0114１３２人目の素数さん2011/11/19(土) 07:59:21.37
魂は幾何学


誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器

無差別で猥褻、日本は危険
0115１３２人目の素数さん2012/02/02(木) 03:32:30.45
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.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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0116１３２人目の素数さん2012/02/12(日) 14:58:31.73
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/slotj/1321424162/945
この問題解ける猛者はいるのか？あ？
0117１３２人目の素数さん2012/02/18(土) 07:53:51.60
>>94のものです。本当に申し訳ありませんがまた訂正です。
【問題】
凸四角形ＡＢＣＤの内部に点Ｐがあって
・∠ＰＡＢ＝５２°　　・∠ＰＢＡ＝２６°
・∠ＰＢＤ＝２２°　　・∠ＰＣＤ＝５６°
・∠ＰＤＣ＝６６°　　・∠ＰＤＢ＝１６°　を満たしている。
この時∠ＰＣＡを求めよ。
但し、Ｐは△ＡＢＤの内部にある。
0118１３２人目の素数さん2012/02/19(日) 03:11:30.55
８ヶ月前の問題を今頃修正されてもｗ
0119１３２人目の素数さん2012/02/19(日) 03:48:39.31
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0120１３２人目の素数さん2012/02/19(日) 05:11:50.62
>>117
PA=1とおくと、
△PAB，△PBD，△PCDで正弦定理を連鎖させて
PC=(sin52°・sin22°・sin66°)/(sin26°・sin16°・sin56°)
となる。a=PCとおく。
∠PCA=θとおくと、∠CAP=6°-θとなるので、
a=sin(6°-θ)/sinθ
sin6°・cosθ-cos6°・sinθ=a・sinθより、
tanθ=sin6°/(a+cos6°)、θ=Arctan(sin6°/(a+cos6°))

で、これをExcelで計算してみたら、θ=約1.62とかなったんだが…

何をやりたいの？
0121１３２人目の素数さん2012/02/23(木) 13:06:55.59
すみません。訂正する前が正しいものでした。
∠ＰＣＡ=64°です。

0122１３２人目の素数さん2012/02/23(木) 13:10:52.99
すみません。∠ＰＣＤ＝64°です。
0123１３２人目の素数さん2012/02/23(木) 13:17:08.33
これ以上間違えていないか不安なので、解答を書きます。
>>117,>>122
△PBDの垂心をH、△BPHの内心をIとおく。
さらに、HD上にH,I,P,Eが共円となるように点Eをとる。
∠HBP=52°よりIはAB上にある。
また、∠HEP=8°+56°=64°
よって∠HEP=∠DCPよりE,P,C,Dは共円。
∠EPD=12°より∠ECP=52°,∠EPC=46°
よって△API∽△CPE、よって△IPE∽△APC
∴∠APC=8°（答）

です。お騒がせしてすみませんでした。
0124１３２人目の素数さん2012/02/24(金) 05:48:10.94
>>123
先日一応∠PCD=64°でも数値計算したが
やっぱり∠PCAは非整数角になっていたので
また何を言い出すかと思えば…

∠ECP=52°までは合ってるが、∠EPCはどうみても62°だろう。

△PCDで、∠PCD=64°、∠PDC=66°より、∠DPC=50°
∠EPC=∠DPC+∠EPD=50°+12°=62°

ホント勘弁して。よくこんなんで８ヶ月以上も引っ張れたな…
（もしかして釣られたの？そうなの？こんな細い釣り針に食いついたオレがバカなの？）
0125１３２人目の素数さん2012/02/26(日) 09:39:24.20
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/slotj/1275598470/506
この難問をわかる猛者がいらっしゃいましたら解説お願いします。
0126１３２人目の素数さん2012/02/26(日) 23:29:43.80
初等幾何スレで聞く問題ではないな。
0127１３２人目の素数さん2012/03/14(水) 03:09:21.53
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0130１３２人目の素数さん2012/03/18(日) 03:47:50.84
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0131１３２人目の素数さん2012/03/18(日) 09:09:06.99
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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0132１３２人目の素数さん2012/03/18(日) 11:58:54.33
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0133１３２人目の素数さん2012/03/18(日) 17:22:07.93
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0134１３２人目の素数さん2012/03/18(日) 21:50:32.95
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0135１３２人目の素数さん2012/03/20(火) 00:27:11.68
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0136１３２人目の素数さん2012/03/20(火) 05:30:05.17
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0137１３２人目の素数さん2012/03/20(火) 13:14:44.66
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0138１３２人目の素数さん2012/03/20(火) 14:10:51.74
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0139猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY 2012/03/20(火) 16:04:53.76
猫
0140猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY 2012/03/20(火) 16:38:30.48
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0141１３２人目の素数さん2012/04/21(土) 20:51:42.01
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0145１３２人目の素数さん2012/04/30(月) 12:30:22.91
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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0146１３２人目の素数さん2012/05/19(土) 14:44:43.80
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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0147１３２人目の素数さん2012/05/20(日) 15:12:07.05
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0148１３２人目の素数さん2012/05/26(土) 15:58:39.93
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0149１３２人目の素数さん2012/05/27(日) 21:59:43.86
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0150１３２人目の素数さん2012/06/03(日) 13:42:57.49
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0151１３２人目の素数さん2012/06/07(木) 06:43:15.65
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0152１３２人目の素数さん2012/06/07(木) 22:08:49.64
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0153１３２人目の素数さん2012/06/10(日) 21:52:46.30
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0154１３２人目の素数さん2012/06/19(火) 22:45:53.57
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0155１３２人目の素数さん2012/06/26(火) 22:31:16.47
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0156馬鹿描2012/07/22(日) 18:20:23.78
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　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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0157１３２人目の素数さん2012/09/23(日) 19:38:30.41
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.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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0158１３２人目の素数さん2012/09/23(日) 19:43:34.95
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0159１３２人目の素数さん2012/10/08(月) 23:43:43.48
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0160１３２人目の素数さん2012/10/09(火) 21:35:10.62
ある小学校で衛生検査が行われました。
48人のクラスでハンカチだけを持っている人は25人　
ティッシュだけを持っている人は17人　２５＋１７＝４２
どちらも持っていない人は8人です。４２＋８＝５０
さて、両方とも持っている人は何人いますか？

だけをもっていれば両方は持っていない。日本語わかるか？
0161１３２人目の素数さん2012/10/09(火) 21:37:32.87
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0162１３２人目の素数さん2012/10/09(火) 21:38:39.14
　ε⌒ﾍ ⌒ヽﾌ
（ 　　( 　・ω・）　ブヒブヒ
　 しー し─Ｊ
0163１３２人目の素数さん2012/10/09(火) 22:03:43.70
４８ー８＝４０
２５＋１７＝４２
４２ー４０＝２
0164１３２人目の素数さん2012/10/09(火) 22:46:29.45
今の日本に希望はない。
0165２３０人目の描 ◆ghclfYsc82 2012/10/09(火) 22:58:22.52
昔から馬鹿板に希望はないｗ

ケケケ描
0166１３２人目の素数さん2012/11/07(水) 12:15:02.15
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0167令嬢2012/12/20(木) 19:36:47.65
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0168１３２人目の素数さん2013/01/19(土) 15:41:18.68
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0169１３２人目の素数さん2013/02/10(日) 18:11:45.48
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0170あのこうちやんは始皇帝だった2013/02/10(日) 18:59:53.31
>>169

３０代の、無職の、ごくつぶしがあああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

　死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
0171１３２人目の素数さん2013/02/10(日) 22:02:14.64
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0172１３２人目の素数さん2013/03/15(金) 11:34:10.10
解答お願いします！

『△ABCにおいて、点Aから辺BCに垂線を下ろす。垂線と辺BCとの交点をDとする。
また、AD＝1cm,BD＝2cm,DC＝3cmである。
このとき、∠BACの大きさを求めなさい。』

この問題は余弦定理を使えばすんなり答えが出るのだが、小学校6年生でもこの問題は解けるらしい。

余弦定理を使わない解き方を教えてください！

スレ違いならすいません…
0173１３２人目の素数さん2013/03/15(金) 20:31:05.34
清宮先生はまだご存命なんでそうか
0174１３２人目の素数さん2013/03/16(土) 00:15:48.23
>>172
１辺1cmの正方形を並べた格子を書いて考えればいい。
座標で言うと、D(0,0)，A(0,1)，B(-2,0)，C(3,0)としておいて、
P(2,2)をとると，△PACは直角二等辺三角形。
0175１３２人目の素数さん2013/06/07(金) 20:39:20.29
清宮先生はまだ達者なのでしょうか
0176１３２人目の素数さん2013/06/07(金) 21:10:15.94
俺の横で寝てるよ
0177狢 ◆yEy4lYsULH68 2013/06/07(金) 21:49:18.16
狢

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0178１３２人目の素数さん2013/06/13(木) 23:23:55.72
清宮先生お亡くなりになってたのか
知らなかったお
0179１３２人目の素数さん2013/06/14(金) 18:05:06.11
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　何時もおんなじ事を書く
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　馬鹿で無能のこうちゃんは
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　 やっぱり只の糞キチガイ
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　 　　　　ネコも大して変わらない　　　
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　反論出来ないこうちゃんは
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　 　　　誰もが認めるクズでカス
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0180１３２人目の素数さん2013/06/14(金) 19:51:13.10
>>178
本当？
どこにも出てこないんだけど。
0181１３２人目の素数さん2013/06/14(金) 21:28:15.55
ここに出てたんだけど
http://www.nippyo.co.jp/blog_susemi/keijiban/fuhou
0182１３２人目の素数さん2013/06/14(金) 22:39:19.59
>>181
サンクス。
残念だけど、１０３歳か、天寿を全うしたんだな。
ご冥福をお祈りします。
0183１３２人目の素数さん2013/06/14(金) 22:50:07.17
四色問題のアぺルも亡くなってたのか
0184１３２人目の素数さん2014/04/11(金) 21:01:44.25
　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　私は死なないわよ。
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　 でも最近一寸太ったかしら。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　 　　　Windows ver.10 で　　　　
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　元の痩せた姿にしてよね。
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0185１３２人目の素数さん2014/04/11(金) 21:48:17.70
婆
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