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① Π[p＜n]p ＜ e^n　これは正しいかどうか。

② x^2+y^2-1=axy+b(x+y+1) を満たす正整数x,yの組が
ちょうど127個存在するような整数a,bの組は存在するか。

③ 次の命題が正しいかどうかを判定せよ。
「任意に平方数でも平方数の3倍でもないような正整数Nを固定しよう。
x^2+xy+y^2=N に整数解が存在するとき、それは少なくとも12個ある」

④ 非負整数全体の集合をXと書くことにする。
a1，a2，…，an 及び b1，b2，…，bnは正の実数とする。
f：X^n → X を　
f(x1，x2，…，xn) ＝ Σ[i＝1～n] [ai*(xi)^bi]
により定める。ただし、[]はガウス記号とする。
Σ[i＝1～n] 1/bi ＜ 1 のとき、X－Im(f)には
無限個の素数が含まれていることを示せ。

⑤Nをa[1]a[2]...a[n]と10進法で表現するとき、
N = (a[1]+2)*(a[2]+2)*...*(a[n]+2)
を満たすような自然数Nを全て求めよ。
たとえば N=24 に対しては 24=(2+2)(4+2)
となっているので これは条件を満たしている。

⑥ (問題)
次の2式を満たす整数a,b,c,d(abcd≠0)の組は存在するか。
a^3+c^3=3ab^2+3cd^2+1
b^3+d^3=3ba^2+3dc^2+1
(高校生スレにて挙げられた問題。印象に残ったので再掲)