>>282
gcd(2011,10)=1 が正しいです。

>>277
正整数Nが2つの平方数の差で表現できるための
必要十分条件は N≡2 (mod 4) であることです。

>>271
M=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 とおきます。M|x^6-1 はすぐわかります。
x^6≡1 (mod M) より x^12≡1 (mod M) ですから
g(x^12)≡g(1)=6 (mod M)
6が答えとなります。