>>123
⑥の解答
因数分解をやっていってがんばるのもいいが
もっとも頭を使わないのは以下の方法であろう。

次のことは良く知られていて、
必要ならば初等代数だけで簡単に証明できる。

(定理)
x^2+xy+y^2=z^2 を満たす互いに素な正整数a,b,cの組を
任意に取るとき 必要ならばxとyを入れ替えることにより
x=(m+n)(m-n), y=n(2m+n), z=m^2+mn+n^2 を満たすような
正整数m,nの組を取ることができる。

この定理を用いれば即座に n=1,m-n=1,
つまり (m,n)=(2,1)のときだけを考えればいいとわかる。
だから答えとしては (x,y)=(3,5),(5,3) となる。