初等整数論の問題
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
0001^^
2010/10/04(月) 00:21:17(なるべくは初等数論の領域で解ける問題が望ましいです^^)
そもそも初等数論とは何かがわからない人は
次のURLにあるページのElementary number theoryの項を参照に^^
http://en.wikipedia.org/wiki/Number_theory
ただ曖昧な部分もあるので そこの点は融通を利かせましょう^^
なるべくそこらへんに転がっていない問題を挙げましょう^^
有名どころの問題の解答はネットで すぐみつかっちゃいます^^
たとえば、国際数学オリンピックの問題などはまさにその典型です^^
そのような有名すぎる問題を挙げても それは大抵は既に十分に議論されています^^
(ただ、拡張については考える余地があることが多いかもです^^)
初等数論の問題を解くときはいくらかの道具を想定しておくのが基本です^^
以下のURLにたくさんの良く知られた道具(記号の説明含む）がありますので参考にどうぞ^^
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=76610&;ml=1
0002１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 00:26:270003１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 00:36:32はじめということなので手早く処理できる容易問題を^^
(問題)
|x/y-√17|＜1/y^3 を満たす互いに素な正整数x,yの組を全て求めよ。
(問題)
X^3+aX+bE=0 を満たすX∈M_2(Z)が存在することは
方程式:x^3+ax+b=0 が整数解をもつことの必要十分条件であるといえるか。
(M_2(Z)というのは整数成分の2×2行列全体の集合です^^)
(問題)
2つの数p^2*q*r±1が共に素数となるような
素数p,q,r(p≧q≧r)の組を全て求めよ。
0004１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 01:36:27p : 素数
Σ[p<n] p ＜ 3^n
これは正しいみたいなので、証明お願いします。
Σ[p<n] p ＜ e^n
これは、正しいかどうか知らないです。もし証明できるのならお願いします。
0005１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 02:22:193^nのほうはもっと強い不等式が比較的簡単に証明できるよ証明は適当な教科書にあるから それ書き写せば終わりやけど 面倒だから証明の指針だけでいいかい？
0006１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 02:24:00それでいいですので、お願いします。出来れば教科書名があればそれもm(__)m
0007１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 07:03:210008１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 07:33:09LiDIAの開発が止まっているようなので、パズル解きより、こちらで貢献してください
http://www.cdc.informatik.tu-darmstadt.de/TI/LiDIA/
よろしく
0009１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 14:35:39問題
1，2^1，2^2，2^3，2^4，2^5，……，2^100
上のように、1を先頭とし、それ以降は2^n（1≦n≦100）を小さい順に並べた列がある。
(１)2^50は最高位の数字が１である。2^50と桁数が同じものを上の列から全て挙げ、それぞれの最高位の数字を記せ。
(２)上の列の中に、最高位の数字が１である数はいくつあるか。
(３)上の列の中に、最高位の数字が４である数はいくつあるか。
0010１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 14:37:39女性A「私には3人の娘がいるの。3人の年齢を掛けると36、足すとアナタの長女と同じ年齢になるわ。」
女性B「それだけじゃ、子供達全員の年齢を当てるのは無理よ。」
女性A「確かにそうね。一番上の娘は美しい青い目をしているわ。」
女性B「それでわかったわ、みんなの年齢が。」
Aの3人娘の年齢は？
0011１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 14:39:19問題
「水槽に200匹の魚がいます。99％はグッピーです。
水槽にいる魚の98％をグッピーにするには、何匹のグッピーを水槽から取り除けばいいでしょうか？」
0012１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 14:41:49aを整数と定義すると、a(a+1)(a-4)は６の倍数であることを証明せよ
0013１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 14:51:12そこらへんにある問題だな。
2のべき乗の頭の桁の推移をみると
自然にいくつかのグループにわけられる。各グループの数に関しての連立方程式を解けばいい。
小学校レベルだよ。
>>12
池沼レベル。
池沼対応の解答を与えると
A A+1 A+2
の中には 2,3の倍数が必ずあるから。
0014１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 14:53:110015１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 14:57:35http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/suuron.html
0016１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 15:09:27>>1 の定理一覧は全部英語で 俺みたいな低脳には辛い。
ただあんだけ定理を使いこなせれば そこらへんにある問題がとても簡単にみえるだろうね
0017１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 15:17:03(1) x^2 + y^2 + z^2 = n を満たす整数の組(x, y, z) が存在しないような正の整数n を小さいものから順に5 個求めよ．
(2) 「正の整数n を8 で割ったときの余りが7 ならば，x^2 + y^2 + z^2 = n を満たす整数の組(x, y, z) が存在しない」というのは，つねに正しいか理由を述べて答えよ
0018１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 15:19:33(2) 平面上で，3 頂点の座標がすべて整数の組であるような正三角形は存在するか
(3) 平面上で，5 頂点の座標がすべて整数の組であるような正五角形は存在するか
0019１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 15:26:09Σ{k=1,n}p(k)<m^2<Σ{k=1,n+1}p(k)
を満たす整数mが存在すると言えるかについて調べよ。
0020１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 15:38:29みんながんがん問題を貼りましょう
0021１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 16:53:34みんなそういう安心できる問題を望んでいるのだと思う。
>>3 はスレにふさわしい正しい問題かもしれないけど 誰もそんな問題は望んでいないと思う。
オリジナル問題に価値はあるのか。
そこらへんにある問題を解けることに価値があるのでは？
俺のような価値感の人は他にもいると思う。
0022１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 17:25:22その時間で興味のある問題を解けばいいとおもう。
それぞれが、それぞれ興味のある問題を考えればよい。
0023１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 20:06:48(1) n=7, 15, 23, 28, 31 だけ。
(2) 正しい。 mod 8 でアボーンや
>>18
(1)座標平面上に点X(a,b),Y(c,d)が与えられたとき、
三角形OXYの面積は |ad-bc|/2 で表せられるンだから
平行移動を考えれば これから正しいことがいえるンや
(2)存在せえへん。
3つの点のうち,1点は原点にあるとしてよい。(平行移動を考えている)
残り2つの点のうち、片方はもう片方の点を±60°回転させたものである。
そのことから、片方の座標を(a,b)などというふうに表現したとき、
もう片方の点をa,bを用いてどのように表現されかを見る。
あとは有理数a,bに対して、a+b√3=0 ⇔ a=b=0 であることを使えばよい。
(3) 存在しない。(2)と同様である。
a+b√5=0 ⇔ a=b=0 であることを使えばよい。
0024１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 20:22:163問目の解答
M=p^2*q*r+1, N=p^2*q*r-1 とおく。
M,Nがともに素数となるような素数p,q,r(p≧q≧r)の組を全て見つけたい。
M＞N≧2^2*2*2-1=15＞5＞3＞2 であるから、
M,Nはともに奇数であるといえる。これからr=2がいえる。
M=2p^2*q+1, N=2p^2*q-1 となる。
p=3 と仮定すると、q=2 or q=3 であり、
q=2とすれば、N=2*3^2*2-1=35 となり不適
q=3とすれば、M=2*3^2*3+1=55 となり不適
よって、p≠3であるといえる。だからp^2≡1(mod 3)である。
(一般に平方数はmod 3で0か1のいずれかに合同)
なので M≡2q+1, N≡2q-1 (mod 3) である。
よって q≠3であるならば M,Nのいずれかは3で割り切れる。
しかし M,N＞3であったから これは不適である
だから q=3 であることがいえる。
M=6q^2+1, N=6q^2-1 となる。
M≡q^2+1, N≡q^2-1 (mod 5) である。
一般に平方数はmod 5で0,1,-1のいずれかに合同であるから、
q≠5 であるとすれば q^2≡1, -1 となってしまい、
M,Nのいずれかは5の倍数になってしまう。
しかし M,N＞5であったから これは不適である。
よって q=5 であることがいえて このとき
M=151, N=149 となり これはともに素数となっている
こたえは (p,q,r)=(5,3,2)
痛みに耐えてよく頑張った! 感動したっ! (小泉潤一郎)
002524
2010/10/04(月) 20:31:59q=3が決まったあとに qという文字をまだ使っているけど
それらはすべてpが正しい(こたえのところ以外では)
0026１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 20:48:45lcm(1,2,3,...,n-1,n) ＜3^n
という不等式の成立はよく知られている。
このlcmはΣ[p<n] pより明らかに大きいので
そういう意味でより強いということ。
研究室がちらかっていて本が探せない酷い状態だけど
幸いそれとほとんど同じ内容のpdfをみつけたので(証明の方法が)
次のURLのpdfのHanson's Theorem の証明のところを読めばいい。
たしかに初等数論の方法だからスレチではないはず。
002726
2010/10/04(月) 20:50:50http://www.math.uiuc.edu/~pppollac/sschur.pdf
0028１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 20:56:242題目の 整数解が存在 ⇒ 条件満たすM_2(Z)が存在
についてはほとんど明らか
というのも x^3+ax+b=0の整数解をx=nとしたとき
X=nE とすることで X^3+aX+b = (n^3+an+b)E = 0*E = 0
となるので。
逆は考え中。逆については全く明らかでないとおもわれ。
というのも 別の多項式だと たくさんの反例がつくれたので。
ただ予想だけいっておくと 「正しい」
0029１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 21:16:51lcm(1,2,3,...,n-1,n) ＜3^n
ですか。なるほど！
なんか当然のことのように Π[p<n] p ＜ 3^n が使われていた論文を昔見て、
「有名な事実ンなんだな」と考えてたんですが、最近、ふと証明が気になって
自分で証明しようと思ったら、結構難しくて困ってたんです。
検索にもなかなか引っかからないし。 ありがとうございました！
0030１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 22:23:14一般的に次が言えることに注意する。(証明は容易ゆえ省略)
(a_n)_[n∈Z+]を実数列とする。
S_n:=Σ_[i=1,n]a_iによって数列(S_n)_[n∈Z+]を定める。
このとき次のことがいえる。
S_n≧0かつa_(n+1)≧2+2√S_n ⇒ 区間(S_n,S_(n+1))に平方数が存在する
以上のことを念頭におき問題の解答を記したい。
1≦n≦4に対して 間に平方数が存在することは手計算で確認できる。
任意にn≧5を固定する。このときもやはり間に平方数が存在することを示したい。
S_n:=Σ_[i=1,n]p_iによって数列(S_n)_[n∈Z+]を定める。
開区間(S_n,S_(n+1))に平方数が存在することをいえばよい。
明らかにS_n≧0であるから、前に述べたことから
p_(n+1)≧2+2√S_n の成立を示せば十分である。
n≧5であるからp=2m+1を満たす整数m≧5が取れる。
このとき 次のようにS_nを上から評価することができる。
S_n≦1+3+5+...+(2m-1)+(2m+1)+2-1-(2m-3)=m^2+5
ここでは 右辺に-(2m-3)の項を入れられる理由を説明する。
それは m≧4であるから とくに 3＜2m-3＜2m-1＜2m+1 であり
2m-3,2m-1,2m+1のいずれかは3の倍数であることからきている。
(2m+1は素数であるから実質2m-3か2m-1が余分な項だといえよう)
さて、S_n≦m^2+5 がいえた。これとp_(n+1)≧2m+3に注意すると、
p_(n+1)≧2+2√S_n の成立が以下のように確認できる。
まず 2m+3≧2+2√(m^2+5) を同値変形により正しいことを示す。
2m+3≧2+2√(m^2+5) ⇔ 2m+1≧2√(m^2+5)
⇔ (2m+1)^2≧4(m^2+5) ⇔ 4m≧19 ⇔ m≧5
よって 2m+3≧2+2√(m^2+5) の成立がいえた
ここで S_n≦m^2+5 かつ p_(n+1)≧2m+3 を使えば
p_(n+1)≧2m+3, 2+2√(m^2+5)≧2+2√S となる
したがって p_(n+1)≧2+2√S_n の成立がいえたことになる。
問題の回答はここまで
0031１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 23:04:19003230
2010/10/04(月) 23:05:43(p_i)_[i∈Z+] を2から始まる素数列とする。
このとき どんな整数n＞9に対しても、p=p_nとおくならば、
Σ_[i=1,n]p_i ＜ (1/6)(p+13)(p-9) が成立する。
これを証明せよ。
0033１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 23:24:240034１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 23:30:55ややスレチだとおもわれ。
ふたりの女性の頭が男性的(クール)だと仮定する。
A,B,C(A≧B≧C)を姉妹の年齢とする。
A,B,Cは整数であるから、ABC=36より
(A,B,C)の組み合わせとしては次の7通りが考えられる。
(36,1,1),(18,2,1),(9,4,1),(9,2,2),(6,6,1),(6,3,2),(4,3,3)
「それだけじゃ、子供達全員の年齢を当てるのは無理よ」
とあるので ペアの和だけでは決まらない組が候補である。
それは (9,2,2),(6,6,1) の２組である。それ以外は和だけで1つに決まる。
最後に「確かにそうね。一番上の娘は美しい青い目をしているわ。」
とあるが これは理解に苦しむが、仮に、
一番上の娘がひとりしかいないということならば答えは(9,2,2)であろう。
0035１３２人目の素数さん
2010/10/04(月) 23:53:490036１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 00:09:18最後の２択をどちらか片方に決めるのは論理的ではない。
0037１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 09:40:05(a + b)^n を二項定理によって展開した式の各項の係数がすべて奇数になるのはどのような n か。
（出典：2002年慶応義塾大学看護医療学部）
0038１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 09:49:23(1) p を素数，m を自然数とするとき，φ(p^m) を求めよ。
(2) a と b が互いに素な自然数であるとき，φ(ab) = φ(a)φ(b) が成り立つことを示せ。
(3) φ(n) = 6 となる自然数 n をすべて求めよ。
0039１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 10:12:352項係数に関するLUCASの定理を適用すれば nが2のべきであることが必要十分であるとわかる。
上記定理はよく知られていて、証明は比較的容易でどこにでもあることに注意。
0040１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 10:25:06φnはZ/nZの単数群G=(Z/nZ)*の位数である。
Z/nZを中国剰余定理を用いて分解することでとくにGの分解構造が得られる。
その構造からとくにφの乗法性がいえる。
あとは(1),(3)についてであるが
前者はpの倍数を除くということを考えれば φ(p^n)=p^nｰp^(nｰ1)=(pｰ1)p^(nｰ1)とわかる。
0041１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 10:39:42(3)
6≠2かつv_2(6)=1であるからつぎの2種だけがありえる。
n=2p^k,p^k
(kは正整数、pは奇素数)
φ(2p^k)=φ(2)φ(p^k)=1*φ(p^k)=(pｰ1)p^(kｰ1)これが6になる場合を考えるわけである。
(φ(2p^k)=φ(p^k)がいえてることに注意。つまり片方の場合を考えるだけで十分)
6は平方因子をもたないので k≦2である。
k=1のとき
(pｰ1)=6 より p=7
k=2のとき
p(pｰ1)=6 より p=3
以上より求める全てのnは
n=18,14,9,7
で全てである。
0042１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 10:58:23a,n ∈N
a^n ≡ a^(n-φ(n)) (mod n)
を示せ。
0043１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 12:42:40一般に正整数m,nに対して n|m ⇒ φ(n)|φ(m) がいえる ・・・①
(命題)
任意の正整数a,nに対して、
a^n ≡ a^(n-φ(n)) (mod n) ・・・й
この命題が真であることを示したい。
正整数aを任意に固定しておく。
n=1のとき йは明らかに成立している。
nが素数のときは a^n≡a, n-φ(n)=1 より、やはりйは成立している。
以下、nが合成数であるときを考えるとする。
このとき、n-φ(n)≧√n ・・・② の成立がいえる。
(この不等式はまさに下記のURLの(19)に相当している
http://mathworld.wolfram.com/TotientFunction.html)
また、素数q,正整数mからなる任意の組(q,m)≠(2,3)に対して、
q^m≧m^2 ⇔ q^(m/2)≧m ・・・③ の成立がいえることにも注意する。
n=Π_[i=1,k](p_i)^(e_i) によってnの標準素分解を与える。
йの成立を示すためには各素冪(p_i)^(e_i)に対して、
a^n ≡ a^(n-φ(n)) (mod (p_i)^(e_i)) ・・・ё
が成立することを示せばよい。以下それを示す方向にうつる。
0044続き
2010/10/05(火) 12:44:44(ⅰ) gcd(q,a)=1 であるとき ①に注意して
a^(-φ(n))≡(a^(-1))^(φ(n))≡1 (mod q^m) と計算できるから
ёは明らかに成立しているといえる
(ⅱ) q|a であるとき (このときが一番の問題である)
a^(n-φ(n))|a^n であるから、q^m|a^(n-φ(n)) を示すことができれば
ёの左辺,右辺ともに0になるので ёの成立がいえる。
v_q(a^(n-φ(n)))=(n-φ(n))v_q(a)≧n-φ(n) ・・・щ
q=2かつm=3のときを先につぶしておこう。
このとき n=8c(c:奇数)とかけるので φ(n)=φ(8)φ(c)=4φ(c)＜4c=n/2
となることから n-φ(n)＞n-(n/2)=n/2≧8/2=4＞3 がいえるので
щより ёの成立がいえる。最後に(q,m)≠(2,3)のときを考える。
このときは ③およびn≧q^mに注意することで
(q,mの定め方から とくに q^m|n であるから n≧q^m となるわけである)
√n≧q^(m/2)≧m がいえて、 √n≧m の成立が得られる。
ここで ②を用いれば n-φ(n)≧√n であることより、
あわせて n-φ(n)≧m であることがいえる。
最後にщを利用することで めでたく ёの成立が示される。
0045１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 12:50:34整数nと素数pの組に対して v_p(n):= (nがp^kで割り切れるような最大の整数k)
一言でいうと nを標準素分解を与えたときの素因数pの重複度である。
整数a,b(a≠0) a|b などというのは bがaで割り切れるということです。
0046１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 13:00:29ポイントを箇条書きしてみると以下の通り。
・nが合成数かそうでないかで場合わけ
・n-φ(n)≧√n (n:合成数)の不等式
・nを素冪の積に分解し、素冪ごとに問題を分解する
・aと互いに素な素冪と そうでない素冪の場合にさらにわける
0047１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 17:20:09mを整数とし、f(x)=x^3+8x^2+mx+60とする。
(1) 整数aと、0ではない整数bで、f(a+bi)=0をみたすものが存在するようなmをすべて求めよ。
ただし、iは虚数単位である。
(2) (1)で求めたすべてのmに対して、方程式f(x)=0を解け。
2007一橋大・後期
直角をはさむ二辺の長さがa, bの直角三角形がある。内接円の半径をrとする。
(1) rをa, bで表せ。
(2) a, bは整数とし、r=5とする。このようなa, bの組をすべて求めよ。
0048１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 17:21:012006一橋大・前期
次の条件（a）, （b）をともにみたす直角三角形を考える。ただし、斜辺の長さをp,
その他の2辺の長さをq, rとする。
（a） p, q, rは自然数で、そのうちの少なくとも2つは素数である。
（b） p+q+r=132
（1） q, rのどちらかは偶数であることを示せ。
（2） p, q, rの組をすべて求めよ。
2006一橋大・後期
正の整数nに対して、n=k+2lをみたすような0以上の整数の組（k, l）の個数をa_nとする。
また、n=p+2q+3rをみたすような0以上の整数の組（p, q, r）の個数をb_nとする。
（1） a_nをnで表せ。
（2） nが6の倍数のとき、b_nをnで表せ。
0049１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 17:21:41a[n+2] = |a[n+1] - a[n]|
を満たす。
(1) a[1],a[2]が有理数ならば、a[k]=0となるkが存在することを示せ。
(2) a[1]=√3,a[2]=√2ならば、n≧3のとき
a[n]=x[n]√3+y[n]√2
をみたす整数x[n]、y[n]は0にならないことを示せ。
0050１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 17:23:320051１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 18:51:52f(x)がa+biを零点としてもつときa-biも零点としてもつ。
もう1つの零点をcとおく。解と係数の関係式から
-8=(a+bi)+(a-bi)+c=2a+c ・・・①
m=(a+bi)(a-bi)+c(a+bi)+c(a-bi)=a^2+b^2+2ac ・・・②
(a+bi)(a-bi)c = -60 ・・・③
①から c=-2(a+4) であるから これを③に代入整理すると
(a+4)(a^2+b^2) = 30 ・・・④
a^2+b^2＞0で 30は正であるから a≧ -3 である。
そのもとでは 30≧(a+4)(a^2+1) (b≠0であるから) がいえる。
この不等式から a≦2 であることがいえる。
まとめると -3≦a≦2 ・・・⑤ であることがいえた。
さて ここから順次代入して確かめていってもよいが
ここでは 30が平方因子を含まないことに着目してみる。
30は平方因子を含まないので a,bは互いに素であることがいえる。
よってとくに a^2+b^2は3で割り切れないことがいえる。
ということは a+4は3の倍数であることがいえる
そのもとで ⑤をみると 候補としては a=-1,2 の2つだけに絞れる。
a= -1のとき ④より b=±3, a=2のとき ④より b=±1 となる。
考えられる(a,b)が全て求まった。あとは(2)を含めて省略。
0052１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 19:08:00（俺がそもそも数学科じゃないというのもあるが、丸一日かかって
分からんかったやつを、いともあっさりと解きやがってっｗｗ）
一応、別解というか、用意してた>>42のテクニカルな証明はこんな感じ。
------------------------------
a＝1, n＝1 の時は自明なので a＞1, n＞1 とする。
n を素因数分解した時、素因子p が p|a かそうでないかで分けて、
前者をb, 後者をc とする。つまり、n＝bc, gcd(b,c)＝1, gcd(c,a)＝1
明らかに a^φ(c)≡1 (mod c) なので、
a^φ(bc)＝a^(φ(b)φ(c))＝(a^φ(c))^φ(b)≡1 (mod c)
故に c|a^φ(n)-1 …①
今、p を b の素因子とする。b を素因数分解した時の p の指数部を r、
a を素因数分解した時の p の指数部を s(≧1) すると、
r ≦ (p-1) p^(r-1) φ(n/p^r) ＝ p^rφ(n/p^r)-p^(r-1)φ(n/p^r)
≦ p^r(n/p^r)-φ(p^r(n/p^r)) ＝ n-φ(n) ≦ s(n-φ(n))
故に、b|a^(n-φ(n)) …②
①,② より bc|a^(n-φ(n))(a^φ(n)-1) つまり n|a^n-a^(n-φ(n))
0053１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 19:38:36おっ 良い解答だね。
r ≦ (p-1) p^(r-1) の部分が巧いね。
要は r ≦ φ(p^r) の部分で、
これは全ての素数pと正整数rで成立する。
だからとくにnが合成数かどうかで分ける必要はないということか。
思考停止的(機械的?)に問題を処理することとは対照的で良いかも
005453
2010/10/05(火) 19:49:03と、おもったけど 質問いいかな？
ちょっとわからないところがあるのだけど。
終わりから4行目3行目をまたぐ不等式の部分で
p^rφ(n/p^r)-p^(r-1)φ(n/p^r) ≦ p^r(n/p^r)-φ(p^r(n/p^r))
の部分はなぜ成立がいえるかな？
これは φ(p^r(n/p^r))≦p^(r-1)φ(n/p^r) と同値だよね。
でもp≧3のときは左辺のほうが大きい気がするのは きのせい？
というのも φ(p^r(n/p^r))=φ(p^r)φ(n/p^r)=(p-1)p^(r-1)φ(n/p^r)
だから (p-1)≧2が掛け算されている分だけ 左辺のほうが大きい。
0055１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 19:57:040056１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 20:32:43a[1],a[2]が有理数であるとする。次のことはすぐわかる。
ある整定数p＞0が存在していて、任意の整数n≧3に対して
a_n≧0でありa_n=b_(n-2)/p を満たす非負整数b_(n-2)が取れる。
とくに これに対して 非負数列(b_n) (n=1,2,..)が定まる。
さらにこれに対して c_n=max{b_(2n-1),b_(2n)}によって、
非負整数列(c_n)を定めることにする。
明らかに各正整数nに対して b_(n+2)=|b_(n+1)-b_(n)|の成立がいえる。
b_n=0を満たす正整数nが存在しないと仮定する。(これから矛盾を導きたい)
このとき当然c_n=0を満たす正整数nは存在しないといえる。
(c_n)は非負整数列であるから 仮に(c_n)が単調減少であることがいえれば、
それは先ほど述べたことに矛盾しているといえる。
そこで (c_n)の単調減少性を示すことにする。
任意に正整数nを取るとする。
仮定より、b_(2n-1)≠b_(2n) がいえることに注意する。
(もし等号がいえたらb_(2n+1)=0となり矛盾であるから)
b_(2n-1)＞b_(2n) であると仮定すると
b_(2n+1)=b_(2n-1)-b_(2n)＜b_(2n-1) であり、
b_(2n+2)=|b_(2n-1)-b_(2n)-b_(2n)|=|b_(2n-1)-2b_(2n)| である。
ここで |b_(2n-1)-2b_(2n)|＜b_(2n-1) の成立を次のように確認できる。
x=b_(2n-1),y=b_(2n)とおくとき、|x-2y|＜x ⇔ |x-2y|^2＜x^2
⇔ x^2-4xy+4y^2＜x^2 ⇔ 4y^2＜4xy ⇔ y＜x (これは仮定より正しい)
(しつこいが x,yはともに正であるから このような同値がいえる)
c_n = b_(2n-1) であり 上で確認したことから c_(n+1)＜c_n がいえる。
次に b_(2n-1)＜b_(2n) であると仮定する。
このとき b_(2n+1)=b_(2n)-b_(2n-1)＜b_(2n) であり、
b_(2n+2)=|b_(2n)-b_(2n-1)-b_(2n)|=|-b_(2n-1)|=b_(2n-1)＜b_(2n)
であることから c_(n+1)＜c_n の成立がいえる。
あわせて(c_n)の単調減少性が示されたといえる。
前に述べたことよりこれは矛盾であったから従って題意は示せた。
0057１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 21:22:52えっと、>>52書いた後飯食い行ってて、遅れました。というか、酷い間違いですね；；
スミマセンでした＞＜
しかし、良く考えるともっと普通に出来そうだったので、>>52書き直します。
違いは r ≦ n-φ(n) を示すところです。
――――――――――――――――――――――――
a＝1, n＝1 の時は自明なので a＞1, n＞1 とする。
n を素因数分解した時、素因子p が p|a かそうでないかで分けて、
前者をb, 後者をc とする。つまり、n＝bc, gcd(b,c)＝1, gcd(c,a)＝1
明らかに a^φ(c)≡1 (mod c) なので、
a^φ(bc)＝a^(φ(b)φ(c))＝(a^φ(c))^φ(b)≡1 (mod c)
故に c|a^φ(n)-1 …①
今、p を b の素因子とする。b を素因数分解した時の p の指数部を r、
a を素因数分解した時の p の指数部を s(≧1) すると、
φ(p^r)=p^r-p^(r-1) に注意して、
r ≦ p^(r-1) φ(n/p^r) ≦ p^(r-1) φ(n/p^r) + p^r(n/p^r-φ(n/p^r))
＝ p^r(n/p^r)-φ(p^r)φ(n/p^r) ＝ n-φ(n) ≦ s(n-φ(n))
故に、b|a^(n-φ(n)) …②
①,② より bc|a^(n-φ(n))(a^φ(n)-1) つまり n|a^n-a^(n-φ(n))
--------
またなんか間違えてそうな？w
0058１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 21:37:06fx^=s^2(x^2+8x+m)+60x^
(a^2+b^2)(a^2-b^2+8a+m)+60a=(-(a^2+b^2)(a+4)+30)2bi
30=(a^2+b^2)(a+4)=1*30,2*15,3*10,5*6->(a,b)=(2,1),
a^2-b^2=(a+4)(a-4)+16-b^2
30(a-4)+(16-b^2+m-32)(a^2+b^2)+240=0
m=30(a+4)/(a^2+b^2)+16+b^2=(a+4)^2+16+b^2=36+16+1=53
0059１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 21:50:27(1) n = (4^m)(8k+7), ただし m,k = 0,1,2,…
(2) x^2 ≡ 0 or 1 or 4 (mod 8)
y,z についても同じ。
逆を示すには２次形式の議論を要す。
>>37
n = (2^m) -1, …… メルセンヌ数
ord_2(k) = ord_2(n+1-k), (1≦k≦n)
0060１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 21:55:22これは正しいですね。r≦p^(r-1)が解答の核となっている不等式。
006159
2010/10/05(火) 21:58:06k･C[n,k] = (n+1-k)･C[n,k-1],
から
C[n,k] の2ベキ次数は一致する。(0≦k≦n)
一方、
C[n,0] = C[n,n] = 1,
0062１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 21:59:08どうも。間違い指摘してくれた上に、なんかありがとう。
あまり時間ないですが；； また面白そうな問題あれば持ってきます。
0063１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 22:02:55解答がまちがっているようです。
lucasの定理を適用すると次のようになります。
(a+b)^nの各項の係数は全て奇数であると仮定します。
nを2進展開します。このときnに0ビットがあると仮定します。
そこの部分のビットが1であるような正整数m(1≦m≦n)が取れます。
n,mによる2項係数(n,m)にlucasの定理を適用すれば
ただちに(n,m)≡0(mod 2)を得ます。これは矛盾です。
006463
2010/10/05(火) 22:07:42http://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%27_theorem
知らない人は参考にどうぞ。
証明自体は単純なので >>37
みたいな問題にこれを適用するのはアレかとおもいますｗ
しかしながら この定理を知っておけば その視点においては
>>39 はtrivialですから あまり価値がないようにみえるかもですね。
006563
2010/10/05(火) 22:13:23問題をlucasの定理を前面に出さずに解くならこんな雰囲気でしょう。
要するに F_2[X]の中で (X+1)^n がどんな感じになるかを見るのです。
(X+1)^2=X^2+1, (X^2+1)^2=X^4+1, (X+1)^(2^k)=X^(2^k)+1
nを2進展開して (X+1)^(2^k)=X^(2^k)+1 を繰り返し適用すれば
p=2の場合のlucasの定理が得られます。
(問題ではなく定理の証明の概容になってしまいました;;)
0066１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 22:28:41ぼくの夏休みが終わってしまったので 問題解決に貢献できる時間がないです^^;
したがいまして みなさまの英知をもってして 問題を解決していきましょう^^
問題は呼び出せるように番号〇をふっておきます^^ ではでは^^
①
|x/y-√17|＜1/y^3 を満たす互いに素な正整数x,yの組を全て求めよ。
②
X^3+aX+bE=0 を満たすX∈M_2(Z)が存在することは
方程式:x^3+ax+b=0 が整数解をもつことの必要十分条件であるといえるか。
(M_2(Z)というのは整数成分の2×2行列全体の集合です^^)
③Σ[p<n] p ＜ e^n これは正しいかどうか
④「水槽に200匹の魚がいます。99％はグッピーです。
水槽にいる魚の98％をグッピーにするには、
何匹のグッピーを水槽から取り除けばいいでしょうか？」
⑤(p_i)_[i∈Z+] を2から始まる素数列とする。
このとき どんな整数n＞9に対しても、p=p_nとおくならば、
Σ_[i=1,n]p_i ＜ (1/6)(p+13)(p-9) が成立する。これを証明せよ。
0067１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 22:33:28直角をはさむ二辺の長さがa, bの直角三角形がある。内接円の半径をrとする。
(1) rをa, bで表せ。
(2) a, bは整数とし、r=5とする。このようなa, bの組をすべて求めよ。
⑦ 2006一橋大・前期
次の条件（a）, （b）をともにみたす直角三角形を考える。ただし、斜辺の長さをp,
その他の2辺の長さをq, rとする。
（a） p, q, rは自然数で、そのうちの少なくとも2つは素数である。
（b） p+q+r=132
（1） q, rのどちらかは偶数であることを示せ。
（2） p, q, rの組をすべて求めよ。
⑧2006一橋大・後期
正の整数nに対して、n=k+2lをみたすような0以上の整数の組（k, l）の個数をa_nとする。
また、n=p+2q+3rをみたすような0以上の整数の組（p, q, r）の個数をb_nとする。
（1） a_nをnで表せ。
（2） nが6の倍数のとき、b_nをnで表せ。
⑨数列{a[n]}はa[n+2] = |a[n+1] - a[n]| を満たす。
a[1]=√3,a[2]=√2ならば、n≧3のとき
a[n]=x[n]√3+y[n]√2 をみたす
整数x[n],y[n]は0になりえないことを示せ。
⑩素数pに対して、2^p/p の小数第1位の数を求めよ。
(すぐ解ける軽い問題を追加しました^^; 綺麗に求まります^^)
0068１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 22:35:46もし不当に除外されているとおもわれる問題があれば
適宜、(続きとして)番号付けをお願いします^^ ではでは^^
0069１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 22:39:040070１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 22:40:155(a+b+(a^2+b^2)^.5)/2=ab/2->
ab=1*5
0071１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 22:46:152qr=132-264p
2qr-264p=132
qr-132p=66
qr=3*2*11(2p+1)->
q+r=132-p
0072１３２人目の素数さん
2010/10/05(火) 22:52:060073１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 00:29:28a+b+c=偶数
0074１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 09:55:332匹ｗ
0075１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 10:29:150076１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 10:33:22100匹ｗ
0077１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 10:35:25答えは100匹取り除くだと思う。
グッピー取り除くと全体の数も変わる。
0078１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 11:45:25２以上の自然数ｎに対し、ｎとｎ^2＋２がともに
素数となるのは ｎ＝３ の場合に限ることを示せ。
0079１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 11:47:02ａ＋ｂ(√2)＋ｃ(√3)＋ｄ(√6)＝０
が成立するとき、
ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝０
となることを示せ。
0080１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 11:48:560081１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 12:00:40以下はn>3 の時について考える
ｎ が 3の倍数のとき nは素数でない
n が３の倍数＋１ のとき
nは自然数mを使い、3m+1と表現できる。
n^2+2 = (3m+1)^2+2 = 9m^2+6m+3 = 3(3m^2+2m+1)
n^2+2 は ３の倍数であり素数ではない。
n が３の倍数＋２ のとき
nは自然数mを使い、3m+2と表現できる。
n^2+2 = (3m+2)^2+2 = 9m^2+12m+6 = 3(3m^2+4m+2)
n^2+2 は ３の倍数であり素数ではない。
以上により、n>3 の時には ｎ^2+2とnの少なくともどちらか一方は3の倍数である。
0082１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 12:10:16どちらかというと高校入試程度以下の問題。大学オリジナルではない。
0083１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 12:12:13n=3のときn^2+2=11 これは素数である。n≠3でないならば
n^2≡1(mod 3)であるから 3＜n^2+2≡0(mod 3)より合成数である
0084１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 12:14:35数学の証明の言葉遣いとかがよくわからんのだけれど
n=2のとき 2^2 + 2 = 6 = 2*3
n を n>3を満たす素数とする
ここで n-1, n, n+1 という三つの連続した自然数を考える
この三つのうちどれかには必ず3の倍数が含まれるが、
n は素数なので、n-1 か n+1のどちらかは3の倍数である
よって (n-1)(n+1) も3の倍数である
以上より (n-1)(n+1) = 3m (mは自然数) とおくと
(n-1)(n+1) + 3 = 3(m+1)
⇔n^2 - 1 + 3 = 3(m+1)
⇔n^2 + 2 = 3(m+1)
よってn=3以外はn^2 + 2は3の倍数になる（おわり）
0085１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 12:20:43見たことがない問題は歯がたちません。そういう人って多いとおもうんです。
まさか出しっぱなしで 解答は公開しないということはないですよね？
0086１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 12:23:260087１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 12:24:57数学的帰納法と体の拡大の議論より より一般化された場合の問題が解ける。
そして それは どこでも議論されているよくある問題。
ただし真に初等数論的方法は見つかっていない。
ただ それを見つけるのは困難だとおもうし ここで議論したところで徒労だと思う。
0088１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 12:36:43m^3+3mn+n^3=1を満たす整数の組を全て求めよ
0089１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 12:40:25ひとくくりで悪いけど
前問はほぼ素数と因数分解だけの議論で、
もう１つは n=k-m の変換により
次数が2の場合にうつり あとはいわゆるルーチンワーク。
0090１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 12:56:26うまく分解できない場合でも通用するかもしれない技なだけ 分解ですむならそれがはやいでしょう。
m3+n^3+3mn=1
m3+n^3+(-1)^3-3mn(-1)=0
左辺はよく知られている分解ができるわけだ
0091１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 13:27:11基本的にそれでいいけど、最後の１行を、
よって、n≠3 の時、n か n^2+2 は 3 の倍数になる。
にするとよい。
0092１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 14:25:350093１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 14:27:11⑩ ［2/p］
0094１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 14:28:56>>67
⑩ ［20/p］
0095１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 14:30:37要するに2/pの小数第一位と同
0096１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 14:34:47やり方おしえてくれない？
0097１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 15:00:00１≦｜ｘ＾２－１７ｙ＾２｜
＝｜ｘ／ｙ－√（１７）｜｜ｘ／ｙ＋√（１７）｜ｙ＾２
≦（１／ｙ＾３）（２√（１７）＋１）ｙ＾２
＝（２√（１７）＋１）／ｙ。
Ｘ＾２＋ｐＸ＋ｑＥ＝０となる整数ｐ，ｑが存在する。
Ｘ＾３＋ａＸ＋ｂＥ＝（Ｘ＾２＋ｐＸ＋ｑＥ）（Ｘ－ｐＥ）＋（ｐ＾２＋ａ－ｑ）Ｘ＋（ｐｑ＋ｂ）Ｅ＝０。
Ｘ＝ｒＥ（ｒは整数）となるｒが存在するとき。
ｒ＾３＋ａｒ＋ｂ＝０なのでｘ＾３＋ａｘ＋ｂ＝０は整数解を持つ。
Ｘ＝ｒＥ（ｒは整数）となるｒが存在しないとき。
ｑ＝ｐ＾２＋ａ。
ｐｑ＋ｂ＝０。
ｐ＾３＋ａｐ＋ｂ＝０なのでｘ＾３＋ａｘ＋ｂ＝０は整数解を持つ。
0098１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 15:12:450099１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 16:51:060100１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 17:42:14| | ＼ ∧＿∧ ∧＿∧ /
ﾉ__丶 ∧＿∧＼ ﾊｧ...（ ＞＜） ≡3 （＞＜ ）うう… /__|
||鬼||（ ＞＜） ＼ | ⊃ヽC Ｃ/⊂ | /||||||
＿ ||殺||./ ［￠､) ＼ ､＿（ ）） （ （ ）＿ノ / .|￣|_∧ ｳｳ･･･
＼ ||し ||∪￣￣.￣￣＼ ＼ ∧∧∧∧∧ ./ | |＜；）
||.＼`~~´ （(二ﾟ｡◎彡） .＼ ＼ ＜ の わ ＞ / .| |⊂ | わかんないんです…
||＼||￣￣￣￣￣￣￣||.￣ ＼ ＜ か ＞ /. | | ∪
. ||￣￣￣￣￣￣￣||. ＼＜ 予 ん ＞ /
わかんないんです… ＜ な ＞./
――――――――――――――― ＜ 感 い ＞―――――――――――――――
∧ ∧ ＜ ん ＞
/ ヽわかんないんです/ ヽ ＜ !!! で ＞
/ ヽ ./ ヽ＜ す ＞ ∧＿∧∩ ／￣￣
/ ヽ＿＿＿＿＿＿/ / ∨∨∨∨∨ヽ （；＞＜ ノ＜先生、わかんないです！
/ / ＼ ＿_／ノ / ＼＿＿
/ ┯━┯ ┯━┯ / わかりません ＼ ＼ ￣￣￣￣￣￣＼
| ） ） ＿＿＿＿＿ ） ）./ たすけてください！ ＼||＼ ＼
| （ （ ヽ / （ （/ （＞＜； ） ＼||￣￣￣￣￣￣￣||
./ ∩∩ .） ＼
/ （＿（＿つ ＼
0101１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 17:48:400102１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 18:59:13撃破GJ！！
97の1,2番目の解答を勝手に補足。
① |x/y+√17|＜1+2√17 が成立することを用いている。
これが成立することは次のように説明することができる。
|x/y-√17|＜1/y^3 であるとすれば x/y-√17＜1/y^3 がいえるので、
x/y＜√17+1/y^3 となり |x/y+√17|=x/y+√17＜1+2√17 がいえた。
さて、 >>97 の変形からわかるように y＜1+2√17＜10 がいえる。
|x/y-√17|＜1/y^3 ⇔ y√17-1/y^2＜x＜y√17+1/y^2 であり
y√17+1/y^2＜38, y√17-1/y^2＞3 であるから 4≦x≦37 がいえる。
あとは 4≦x≦37, 1≦y≦9 の範囲で条件を満たすものを探すと
それは (x,y)=(4,1),(5,1),(8,2),(33,8) で全てだと判明する。
② >>97 さんの解答はうまく変形してからE,Xが線形独立となるかどうかで
場合わけをしているため Xがスカラー行列かどうかで場合を分けている。
0103１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 19:12:32>>94 さんはこんなふうにやったとおもわれ。
2^p=pk+2 を満たす正整数kが取れる。
(pは素数だから 2^p≡2(mod p)がいえるのは当然よね)
これの両辺をpで割ると(ここ重要!?)
2^p/p =k+2/p となる。
さらにこれの両辺を10を掛けると
10(2^p/p)=10k+20/p となる
ということは 20/pの1の位の桁が求めるものである。(左辺に注目)
p=2のとき それは 0である。以下p≧3であるとする。
このとき、 20/p＜10 であることがいえるので、
20/pの1の位の桁は 20/pの整数部分に一致する。つまり [20/p]
この記号を使わずに具体的に結果を書き下せば以下のようになる。
求めるものをsとおく。
p=2のとき s=0
p=3のとき s=6
p=5のとき s=4
p=7のとき s=2
p=11,13,17,19のとき s=1
p＞19のとき s=0
0104１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 19:23:44たぶんこんな感じじゃない？
m^3+3mn+n^3=1 ・・・(*)
n=k-m とおくと、(*)は次のように変形できる。
3(k-1)m^2-3k(k-1)m+(k-1)(k^2+k+1)=0 ・・・(A)
k≠1 であると仮定すると、両辺の3(k-1)で割ることにより
m^2-km+(k^2+k+1)/3=0 ・・・♪
もしこれに整数解(mの方程式としてみたとき)が存在したとすれば
♪はとくに実数解をもつ必要がある。しかしながら
判別式は容易に確認できるように負である。
ということは♪は整数解をもたないといえる。
よって、結局 k=1のときしか考えてなくてよい。
(A)をみればわかるとおり k=1のときは明らかに(A)は成立する。
(*)から(A)への変形の仕方をみればわかるとおり、
(A)が成立するならば(*)が成立する。(n=1-mのもとで)
よって、求める全ての整数解は m+n=1を満たす全ての整数m,nである。
パラメタ表示するならば tを整数として (m,n)=(1-t,t) となる。
0105１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 19:27:49この問題では因数分解のほうがはやいとおもう。
そこで巧く分解できない場合の問題を今つくってみた^ρ^
⑪ 1=m(1-m)/n＋n(1-n)/m を満たす整数m,nの組を全て求めよ。
0106１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 19:34:210108１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 19:47:08うまく不等式で評価できて(条件の整数になるという意味合いで)
次数的にぎりぎり解ける。より高次の場合の一般化は知られていない。
0109１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 20:06:14それと >>70 さんのおかしくない？？
0110１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 20:32:372^m-1と2^n-1も互いに素であることを示せ
0111１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 20:33:57(ただ、拡張については考える余地があることが多いかもです^^)
0112１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 20:34:35⑨の証明：
[STEP1]
漸化式から明らかにa[n]≧0 (n∈N)である。また、
a[n+2]≦max { a[n+1] , a[n] } (n∈N) …(1)
が簡単に分かる。さらに、a[3]＝√3－√2 ＜ 2√2－√3＝a[4]
である。これと(1)と簡単な帰納法より、n≧3のとき
a[n]≦a[4] = 2√2－√3
であることが分かる。これとa[n]≧0から
0≦a[n]^2≦(2√2－√3)^2 ＜ 2 (n≧3) …(2)
が分かる。
[STEP2]
あるn≧3に対してx[n]＝0だとすると、(2)より
0≦2y[n]^2＜2 となるので、y[n]＝0となるしかない。
同様の計算により、あるn≧3に対してy[n]＝0だとすると、
x[n]＝0となるしかない。結局、n≧3のとき、
x[n] , y[n]は、片方が0ならもう片方も自動的に0になる。
よって、題意を満たすn≧3が存在したら、そのときa[n]＝0が
成り立つ。よって、a[n]＝0なるn≧3が存在しないことを言えばよい。
0113１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 20:40:18a[n]＝0を満たすn∈Nが存在したとして、そのうち最小のものをmと置く。
a[1] , a[2] , a[3]≠0だからm≧4であり、よってa[m-1] , a[m-2] , a[m-3]が
存在し、特にa[m-1]≠0である。簡単のため s＝a[m-1]と置くと、
自動的にa[m-2]＝s となるしかない。また、a[m-3]＝0 or 2s
となるしかない。mの最小性から
a[m-3]＝2s
となる。 この式をx[n] , y[n] で書き直して比較すると
(√2と√3はQ上一時独立であることに注意)
x[m-3]＝2x[m-1]
y[m-3]＝2y[m-1]
となる。特に、x[m-3] , y[m-3]はともに偶数となる。しかし、
これは在り得ないことが簡単な帰納法により分かる。実際、
a[n]についての漸化式から
(x[1] , y[1])＝(1 , 0)
(x[2] , y[2])＝(0 , 1)
x[n+2]≡x[n+1]＋x[n] (mod 2) (n∈N)
y[n+2]≡y[n+1]＋y[n] (mod 2) (n∈N)
が出るので、対(x[n] , y[n])は(1,0) (0,1) (1,1) (1,0) (0,1) (1,1)…
と周期3で循環することが分かり、特に(0,0)は出現しないと分かる。
以上より、題意は成り立つ。
0114１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 20:44:54x[n]もy[n]も偶数だから、これが在り得ないことは最後の議論から
すぐに分かる。
最小のものをmとおき～ の議論は無駄だった(＾q＾)
0115１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 20:52:53やるね今年の1年(テニスの王子様♪)
0116１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 21:10:56well-known
一般に次がいえる。gcd(a^m-b^m,a^n-b^n)=a^(gcd(m,n))-b^(gcd(m,n))
証明は帰納法および互除法。
どうやってうまく帰納法が使える状態にするかは
実際に手作業をしてみればわかるとおもう。
上記の定理は問題というよりは道具として覚えておこう。
よく使うとおもうのでｗ 一旦証明しとけばもう安心でしょｗ
0117１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 21:26:37②(p_i)_[i∈Z+] を2から始まる素数列とする。
このとき どんな整数n＞9に対しても、p=p_nとおくならば、
Σ_[i=1,n]p_i ＜ (1/6)(p+13)(p-9) が成立する。これを証明せよ。
③ 2006一橋大・後期
正の整数nに対して、n=k+2lをみたすような0以上の整数の組（k, l）の個数をa_nとする。
また、n=p+2q+3rをみたすような0以上の整数の組（p, q, r）の個数をb_nとする。
（1） a_nをnで表せ。
（2） nが6の倍数のとき、b_nをnで表せ。
④ x,y,zをx≧1,y≧7,z≧5 を満たす整数とするとき、
次の方程式の解(x,y,z)を全て求めなさい。3xy＋4xz-xyz=5x
⑤ 1=m(1-m)/n＋n(1-n)/m を満たす整数m,nの組を全て求めよ。
⑥ 次の問題の拡張を考えよ。(解答自体はそこらへんにあります^^)
(x^3+1)/(xy-1)が整数になる正整数x,yを全て求めよ。
⑦ x^2+y^2-1=axy+b(x+y+1) を満たす正整数x,yの組が
ちょうど127個存在するような整数a,bの組は存在するか。
(またもや容易問題を追加しました^^ 解答の点検が楽ですから^^;)
0118１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 21:27:380119１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 23:17:240120１３２人目の素数さん
2010/10/07(木) 19:37:07両辺をxで割ってみると 3y＋4z-yz=5 ⇔ (y-4)(z-3)=7
y≧7,z≧5であるから 解なし。
③ (1)n=k+2lで lは0以上[n/2]以下を動く。lが決まるとkが1に決まる。
a_n = [n/2]+1
(2)n=6mとおく。 n=p+2q+3r で、rは0以上2m以下を動く。
{0,1,.,2m}={1,3,5,..,2m-1}∪{0,2,4,..,2m}という分割を考えると
b_n = Σ_[s=0,m]a_(6m-6s)＋Σ_[s=1,m]a_(6m-6s+3)
= Σ_[s=0,m](3m-3s+1)＋Σ_[s=1,m](3m-3s+2)
= (3m+1)+Σ_[s=1,m](6m-6s+3)
= (3m+1)+6m^2-6*m(m+1)/2+3m
= 3m^2+3m+1
m=n/6 を代入して b_n = (1/12)(n^2+6n+12)
0121１３２人目の素数さん
2010/10/07(木) 21:42:05各辺の長さが自然数で、一つの角が60ﾟの三角形をナゴヤ三角形と云うらしいよ。
L^2 = m^2 -mn + n^2, (←第二余弦定理)
例: (L,m,n) = (7,5,8)
0122１３２人目の素数さん
2010/10/07(木) 22:14:07リスト漏れしてました^^; 迂闊でした^^;
ただ転載しなおすだけだと面白くないので
少しだけ問題をパワーアップさせてリストに追加しておきますね^^
リスト更新を開始します^^
0123１３２人目の素数さん
2010/10/07(木) 22:18:52②(p_i)_[i∈Z+] を2から始まる素数列とする。
このとき どんな整数n＞9に対しても、p=p_nとおくならば、
Σ_[i=1,n]p_i ＜ (1/6)(p+13)(p-9) が成立する。これを証明せよ。
③ 1=m(1-m)/n＋n(1-n)/m を満たす整数m,nの組を全て求めよ。
④ 次の問題の拡張を考えよ。(解答自体はそこらへんにあります^^)
(x^3+1)/(xy-1)が整数になる正整数x,yを全て求めよ。
⑤ x^2+y^2-1=axy+b(x+y+1) を満たす正整数x,yの組が
ちょうど127個存在するような整数a,bの組は存在するか。
⑥ x^2+xy+y^2が平方数となるような素数x,yの組を全て求めよ。
(88さんの挙げた問題を自然にパワーアップさせたものです^^
88さんのより少しだけランクが上の問題です。容易問題です^^)
⑦ 次の命題か正しいかどうか判定せよ。
[命題]
任意に平方数でも平方数の3倍でもないような正整数Nを固定しよう。
x^2+xy+y^2=N に整数解が存在するとき、それは少なくとも12個ある。
(x^2-xy+y^2の話をしている人がいたので突如として思い出した問題^^;)
0124１３２人目の素数さん
2010/10/07(木) 22:20:02・(x,y) = (n,1)
∵ n < √(n^2 +1) < n + 1,
・(x,y) = (n+1,1)
∵ (n+1) - 1 < √(n^2 +1) < n+1,
・(x,y) = (2n,2) ただし n≧4
∵ n < √(n^2 +1) < n + (1/2)^3,
・(x,y) = (2n^2 +1, 2n)
∵ n + 1/(2n) -1/(8n^3) < √(n^2 + 1) < n + 1/(2n),
各辺を平方してみれば明らか。
0125１３２人目の素数さん
2010/10/07(木) 22:25:533の頭の問題ということでしたら
全ての解は(x,y)=(4,1),(5,1),(33,8)だけのハズです。
問題をみなおしてみてください^^
ちょっと話がズレますが 3の頭の問題は
互いに素という条件は本質的ではないことに今頃気づきました^^
互いに素という条件がなくてもほとんど変化しません^^;
変化するところといえば (x,y)=(8,2)が新たな解のメンバーになるぐらい^^;
もうちょっと神経質に問題をつくるべきですね^^;
0127１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 04:20:32Σ[k=0→n](1/C[n,k])
は整数でないことを示せ
0128１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 09:13:240129１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 10:32:470130１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 11:17:21②の解答：
かなり反則気味だが、
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86
のピエール・デザルトの結果(「算術級数の素数定理」の項目のすぐ上)を
使えば簡単に出ると思われる(＾q＾)
0131１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 13:35:09有名問題ですが、出典は不明です。
最近難関中学受験用の問題集を見ていたら、この問題とほとんど同じ問題が出ていました。
確かに小学生の知識でも解くことは可能ですが、独力でこの問題を解ける小学生がどれほどいるのでしょうか？
あるいは、小学生のうちからどんどん鍛えるべきなのでしょうかね？
0132１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 13:39:58また、13^13を計算したとき、一の位の数はいくつになりますか。
これも中学の入試問題です。
しかし、そこそこの私立大ならそのまま入試問題に使える内容でもあります。
中学入試の問題でこんなレベルは必要なのかという議論は別のところでやってもらいましょう。
中学入試を受ける子供が合同式を知っているわけはないので、合同式を用いずに解答することも出来ます。
0133１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 13:43:48とか思っていると大学受験問題見てビビることになる
0134１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 13:50:21某小説で高校生が即座に答えているシーンがありました。
紙に方程式を書いて解くのは簡単ですが、
暗算で即座に解く方法はあるのでしょうか？＾ｐ＾
0135１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 14:00:410136１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 14:05:440137１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 14:33:56(2)の文章が秀逸ｗ
[4] 自然数nの関数f(n), g(n)を
f(n)=nを7で割った余り,
g(n)=3f(Σ[k=1..7]k^n)
によって定める。
(1) すべての自然数nに対してf(n^7)=f(n)を示せ。
(2) あなたの好きな自然数nを一つ決めてg(n)を求めよ。
そのg(n)の値をこの設問(2)におけるあなたの得点とする。
0138１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 16:39:50二項定理より明らか
0139１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 16:58:55(1)(Z/7Z)*⊂F_7 の位数は6であるから
0以外の任意のx∈F_7に対して、x^6=1
よって とくに x^7=x
x=0のときもこれは成立している。
ゆえに任意のx∈F_7に対して x^7=xがいえる。
(あるいはフェルマ小定理より明らかでもよい)
これより f(n^7)≡f(n) (mod 7)がいえる。
しかしながら nは自然数であり fは7で割った余り返す関数なわけだから
とくに f(n^7)=f(n) というふうに通常の等号がいえるわけである。
以下 mod 7で計算する。
(2) mod 7における原始根をrとすると {1,2,..,6}={r^1,r^2,..,r^6}
であるから Σ[k=1,7]k^n≡Σ[i=1,6]r^(in)=r^n*(r^(6n)-1)/(r^n-1)
分子≡0 であり 6|n でないならば 分母は0と≡でないので
Σ[k=1,7]k^n ≡0 とわかる。
6|nであるとき Σ[k=1,6]k^n≡1+1+1+1+1+1=6
だからたとえば n=6とすれば 最大の18をもらえるはずである。
0140１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 17:03:30λ(10)=lcm(λ(2),λ(5))=lcm(2,4)=4
50≡2(mod 4)だから 7^50≡7^2=49≡9 (mod 10)
13^13≡13≡3 (mod 10)
0141１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 17:09:512項係数(n,k)に対して、n≧2を固定しておいて、
kを1以上n-1以下で動かすとする。
このとき、(n,k)の最小値は(n,1)=(n,n-1)であることはすぐわかる。
これを使えばいい。解答例はこんな感じ
0＜Σ[k=1,n-1]1/(n,k) ≦ Σ[k=1,n-1]1/n = (n-1)/n＜1
だから Σ[k=1,n-1]1/(n,k) は整数になりえない。
ということは Σ[k=0,n]1/(n,k) も整数になりえない。
(注意: 1/(n,0)=1/(n,n)=1 というふうに端の値では整数である)
0142１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 17:29:30⑥の解答
因数分解をやっていってがんばるのもいいが
もっとも頭を使わないのは以下の方法であろう。
次のことは良く知られていて、
必要ならば初等代数だけで簡単に証明できる。
(定理)
x^2+xy+y^2=z^2 を満たす互いに素な正整数a,b,cの組を
任意に取るとき 必要ならばxとyを入れ替えることにより
x=(m+n)(m-n), y=n(2m+n), z=m^2+mn+n^2 を満たすような
正整数m,nの組を取ることができる。
この定理を用いれば即座に n=1,m-n=1,
つまり (m,n)=(2,1)のときだけを考えればいいとわかる。
だから答えとしては (x,y)=(3,5),(5,3) となる。
0143142
2010/10/08(金) 17:32:44また 解答としては 本当はさきに x=yのときを考えるべきであった。
0144１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 17:48:23掛け算の下一桁を答えるためには、下一桁だけを計算すればいいことに気付けば
さらにそれがループすることにすぐ気が付く
たいした問題ではない。
0145１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 20:32:44xはn桁の自然数で、x^2の下n桁がxに一致するとする。
このようなxは、各nごとに1個または2個だけ存在することを示せ。
0146１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 20:54:45very easy
具体的に数列を構成していく汗臭い方法もあるだろうけど
ここでは理論的側面を重視した必要最低限な紳士的メソッドでいく。
x^2≡x (mod 10^n) という合同式を考える。
10^n=2^n*5^nに留意し 中国剰余定理から これを満たすxはmod 10^nの中に
ちょうど4つ存在することが確認できる。(4つのうち 2つが 0と1である)
ということは 上の合同式を満たすxのうち とくにちょうどn桁であるものは
存在するとしても2個以下であるということがわかる。
上の合同式を満たすxのうち、2≦x＜10^nの範囲にあるものは
2つ存在するので それらを α,βとおく。
このとき、α+β=10^n+1 という等式は容易に証明ができる。
(これは簡単なので各自やってみましょう)
この等式から とくに α,βのうち 少なくとも1つが
n桁であるということがわかる。よって、題意は示せたといえる。
0147１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 21:31:27やるね今年の1年
0148１３２人目の素数さん
2010/10/08(金) 21:55:400149１３２人目の素数さん
2010/10/09(土) 00:05:24p>q>0 なる自然数（p,q）によって
L = p^2 + pq + q^2,
m1 = p^2 - q^2,
m2 = 2pq + q^2,
n = 2pq + p^2,
と一意的に表わせるらしい。
m1 + m2 = n,
例は (p,q) = (2,1)
0150１３２人目の素数さん
2010/10/09(土) 00:30:40(解決済みである問題をリストから排除しました^^)
①Σ[p<n] p ＜ e^n これは正しいかどうか。
② 1=m(1-m)/n＋n(1-n)/m を満たす整数m,nの組を全て求めよ。
③ 次の問題の拡張を考えよ。(解答自体はそこらへんにあります^^)
(x^3+1)/(xy-1)が整数になる正整数x,yを全て求めよ。
④ x^2+y^2-1=axy+b(x+y+1) を満たす正整数x,yの組が
ちょうど127個存在するような整数a,bの組は存在するか。
⑤ 次の命題か正しいかどうか判定せよ。
[命題]
任意に平方数でも平方数の3倍でもないような正整数Nを固定しよう。
x^2+xy+y^2=N に整数解が存在するとき、それは少なくとも12個ある。
0151１３２人目の素数さん
2010/10/09(土) 02:34:08x(x-1)=a10^n
x=s10^b+1<10^n
x(x-1)=ss10^2b+s10^b=a10^n
b=n
x=10^n+1>10^n
0152１３２人目の素数さん
2010/10/09(土) 14:32:25なんで何度も書いてるんだよ
0153１３２人目の素数さん
2010/10/09(土) 14:41:05回答者はΠの意味で受け取って正しく回答している。
それがずっと残って けっきょく あやまったΣのままになっている。
それはだからΣじゃなくてΠが正しい。
ゆえに正しいに決まっているとはいいきれない。
0154１３２人目の素数さん
2010/10/09(土) 15:11:34全部Σ[p<n] p ＜ e^nだから正しいに決まってる
0155１３２人目の素数さん
2010/10/09(土) 15:40:16これはΠの間違いであると思う。
このふたりはともにΣをΠと脳内変換してやりとりしていたんだろう。
リスト更新している人もたぶん問題をそのまま貼り付けていて
しかも誤りに気づいていなかったから その誤りが今も残っているということか。
今の俺達のやりとりによって少なくともリストの①はおかしいという結論がでた。
つまりこういうことだ。
もし、Σで正しいのだとしたら リストから消えているはず。
というのも それより強い不等式が同リスト内に存在した時期があったから。
ΠであるならばΠと修正されてしかるべきだしね。まあどうでもいいｗ
0156１３２人目の素数さん
2010/10/09(土) 15:57:350157１３２人目の素数さん
2010/10/09(土) 16:42:230158１３２人目の素数さん
2010/10/10(日) 01:46:19*スレで提案された問題または私が提案した問題をリストに追加しています。
提案された問題はそれが解決された場合リストから排除しています。
解決されたかどうかは私個人の判断によりますので(証明が正しいかどうかなど)
なにかおかしなところがあればおしえてください^^(またはリスト更新をお願いします^^)
① Π[p＜n]p ＜ e^n これは正しいかどうか。
② 1=m(1-m)/n＋n(1-n)/m を満たす整数m,nの組を全て求めよ。
③ 次の問題の拡張を考えよ。(解答自体はそこらへんにあります^^)
(x^3+1)/(xy-1)が整数になる正整数x,yを全て求めよ。
④ x^2+y^2-1=axy+b(x+y+1) を満たす正整数x,yの組が
ちょうど127個存在するような整数a,bの組は存在するか。
⑤ 次の命題が正しいかどうかを判定せよ。
「任意に平方数でも平方数の3倍でもないような正整数Nを固定しよう。
x^2+xy+y^2=N に整数解が存在するとき、それは少なくとも12個ある」
⑥ 各正整数nに対して、n^nの0でない最後桁をa_nとおく。
このとき、無限小数: 0.a1a2a3a4... が有理数かどうかを判定せよ。
0159１３２人目の素数さん
2010/10/10(日) 05:38:24面倒だろうから、しなくても仕方ないけど。
0160１３２人目の素数さん
2010/10/10(日) 06:10:08②分母を払って
mn = (1-m)m^2 + (1-n)n^2,
mn + (m-1)m^2 + (n-1)n^2 = (m+n-1)(m^2 -mn +n^2) = 0,
m^2 -mn +n^2 ≧ |mn| > 0,
m+n-1 = 0,
0161１３２人目の素数さん
2010/10/10(日) 07:25:41① n以下の最大の素数をp(L)とする。
L ～ Li(n) = ∫[2,n] dx/log(x),
∴ Π[p<n] p = Π[k=2,L] p(k) < ･･････
〔デザルトの定理〕 (Pierre Dusart, 1999)
k≧2 のとき
k･{log(k) + log(log(k)) -1} < p(k) < k･{log(k) + log(log(k))},
0162１３２人目の素数さん
2010/10/10(日) 10:03:39Lは上からどの程度で抑える？
L ～ Li(n) = ∫[2,n] dx/log(x) だと上からの評価が直接みえない。
問題はおそらく任意の正の整数xに対しての不等式の成立だと思うので。
0163１３２人目の素数さん
2010/10/10(日) 15:01:32を満たすような整数x,yの組を全てもとめよ
0164１３２人目の素数さん
2010/10/11(月) 01:49:05問題を次のように言い換える。
「S(x) をx以下のすべての素数の和、pをp≧29であるような素数とするとき、
S(p) < (1/6)(p+13)(p-9) であることを証明せよ。」
2,3以外の素数はすべて 6k-1 または 6k+1（kは正整数）の形に表わされる。
xをx≧25である実数、T(x)を5以上x以下の 6k-1 または 6k+1 の形の正整数すべての和とすると、
明らかに S(x)-5≦T(x) であるが、さらに詳しく見ると T(x)の和には合成数25が含まれているので
S(x)-5≦T(x)-25、つまり S(x)≦T(x)-20 であることがわかる。
pがmod 6で1と合同であるか-1と合同であるかで場合分けしてT(p)を計算すると
前者の場合は(1/6)(p-1)(p+5)、後者の場合は(1/6)(p+1)^2 -1であることがわかる。
よって、いずれの場合もT(p)≦(1/6)(p^2+4p-5)となる。
以上より、
S(p)≦T(p)-20
≦(1/6)(p^2+4p-125)
=(1/6)(p+13)(p-9)-(4/3)
<(1/6)(p+13)(p-9) （証明終）
0165１３２人目の素数さん
2010/10/11(月) 01:49:35L=π(n) とする。
Σ[p<n] log(p) = log(2) + Σ[k=2,L] log(p_k) < p_L,
を示せれば良いんだが。
log(p_k) < log(k) + log{log(k) + loglog(k)} (k≧2)
から
(左辺) < log(2) + Σ[k=2,L] log(k) + Σ[k=2,L] log{log(k) + loglog(k)}
= log(2) + log(L!) + Σ[k=2,L] log{log(k) + loglog(k)}
< log(2) + L･log(L) - L + (1/2)log(2πL) + 1/(12L) + Σ[k=2,L] log{log(k) + loglog(k)} (←Stirling)
< p_L - L･loglog(L) + (1/2)log(8πL) + 1/(12L) + Σ[k=2,L] log{log(k) + loglog(k)}
< ･･････
う～む、難かしす....
〔文献〕
・k{log(k) + loglog(k) -10} < p_k < k{log(k) + loglog(k) + 8},
J.B.Rosser, Proc. London Math. Soc., ４５, p.21-44, (1938)
・k{log(k) + loglog(k) -3/2} < p_k
J.B.Rosser & L.Schoenfeld, Math. Comput., ２９, p.243-269 (1975)
・k{log(k) + loglog(k) -1.0072629} < p_k < k{log(k) + loglog(k) +0.9385},
G.Robin, Acta Arith. ４２, p.367-389 (1983)
・k{log(k) + loglog(k) -1} < p_k < k{log(k) + loglog(k)},
P.Dusart, Math. Comput., ６８, p.411-415 (1999)
http://mathworld.wolfram.com/RossersTheorem.html
0166１３２人目の素数さん
2010/10/11(月) 02:06:09おお。雲散霧消とはこのこと。なるほどね。
それが出題者が用意した回答かもね。うまくいきすぎてる。
0167１３２人目の素数さん
2010/10/11(月) 03:43:21残ってる中では、①が一番難しそうだ。
理由は、結果が綺麗すぎるからｗｗ
0168１３２人目の素数さん
2010/10/11(月) 03:53:44⊿ = x^3 + y^3 + (x-1)(y-1) -1 -2(x+y+1)(x+y-1)
= (x^3 +y^3 +1 -3xy) -{2(x+y)^2 +(x+y) -1} +4xy
= (x+y+1)(x^2 +y^2 +1 -xy -x -y) - (x+y+1)(2x+2y-1) + 4xy
= (x+y+1)(x^2 +y^2 +2 -xy -3x -3y) + 4xy,
(0,-1) (0,1) (0,2)
(-1,0) (1,0) (2,0)
(3,4) (4,3)
がある。
45ﾟ回すと
(x+y)/√2 = u,
(x-y)/√2 = v,
⊿ = (u√2 +1){(1/4)(x+y)^2 -3(x+y) +2 +(3/4)(x-y)^2} + (x+y)^2 - (x-y)^2
= (u√2 +1)[(1/2)u^2 -(3√2)u +2 +(3/2)v^2] + 2u^2 -2v^2,
v^2 = {(u√2 +1)[u^2 -(6√2)u +4] + 4u^2}/{1 -(3√2)u},
この曲線を何と呼ぶのか知らないが････
0169１３２人目の素数さん
2010/10/11(月) 13:56:53y=k-x という変換をすると 問題の方程式は次のように変換される。
(3k-1)^x^2-k(3k-1)x = -(k-1)(k+1)(k-2) ・・・〇
これからとくに (3k-1)|(k-1)(k+1)(k-2) が得られる。
(k-1)(k+1)(k-2)|3^3(k-1)(k+1)(k-2)=(3k-1-2)(3k-1+4)(3k-1-5) ゆえ
あわせて (3k-1)|(-2)(+4)(-5)=40 となる。
40の約数(負も含めて)で mod 3で -1となるのは次の8個で全てである。
2, 5, 8, 20, -1, -4, -10, -40
だから kの候補は以下の通りである。
k=1, 2, 3, 7, 0, -1, -3, -13
これらを順番に〇に代入していけばよい。
(kが決まると それに対して 〇は単なるxの2次方程式となり
それが整数解をもつかどうかは簡単に把握することができる)
そうすれば >>168 が挙げている解で全てであることが示される。
0170１３２人目の素数さん
2010/10/11(月) 16:03:54nを3で割り切れないような整数とする。
3|d+1 かつ d|n を満たす整数dの個数はnの正の約数の個数に等しい。
これを証明しなさい。
今考え付いたけど もっと頭の良い問題つくりたいなあorz
0171１３２人目の素数さん
2010/10/11(月) 17:15:543|d+1ー＞d+1=0 mod 3
0172１３２人目の素数さん
2010/10/11(月) 18:32:09それは負の約数も考慮に入れているということだよね。
約数を1つ取り それの符号を反転させると mod 3での符号も反転する。
3と互いに素な整数は mod 3 で 1, -1のいずれかに合同であるから
これはちょうど上手い具合に組み合っているということか。
nの正の約数をd1,d2,d3,..,dk とするとき、(kはnの正の約数の個数)
(d1,-d1),(d2,-d2),..,(dk,-dk) というk個の組を考える
どの組の第1,第2成分もmod3で互いに異なっていて
それらは +1,-1のいずれかに合同である。
(nは3で割り切れないので nの約数は3と互いに素であるから )
こんな感じでどうでせうか。
0173１３２人目の素数さん
2010/10/11(月) 18:34:470174172
2010/10/11(月) 18:39:33nの約数全体の集合は{±d1,±d2,..,±dk}と表現できます。
その中で mod 3 で -1になるものを選び出すと考えるわけです。
それは前述のk個のペアを考えると綺麗に数えることができるのです。
各ペアに対して mod 3 で-1になる成分に対して
〇をつける作業をするとします。
すると どのペアに対しても ちょうど1つだけ〇がつくわけです。
うーん・・・ 頭の悪い問題とは思えないけどね。
これに対しては同様の問題は作れないという意味においても。
0175１３２人目の素数さん
2010/10/11(月) 19:30:520176１３２人目の素数さん
2010/10/11(月) 23:11:02わかりました^^ 心得ておきます^^
旧③は排除いたしました。
拡張を考えろという問題をリストに置くのはおかしいきがしましたので^^;
もちろん既に拡張された問題をリストに置くのはいいとおもうのですが^^;
あの問題はどんな拡張が考えられるのでしょうか。次数のほうは厳しいでしょう。
簡単にやるとしたら定数部分のほうでしょうが 綺麗にできるのでしょうか^^;
① Π[p＜n]p ＜ e^n これは正しいかどうか。
② x^2+y^2-1=axy+b(x+y+1) を満たす正整数x,yの組が
ちょうど127個存在するような整数a,bの組は存在するか。
③ 次の命題が正しいかどうかを判定せよ。
「任意に平方数でも平方数の3倍でもないような正整数Nを固定しよう。
x^2+xy+y^2=N に整数解が存在するとき、それは少なくとも12個ある」
④ 各正整数nに対して、n^nの0でない最後桁をa_nとおく。
このとき、無限小数: 0.a1a2a3a4... が有理数かどうかを判定せよ。
⑤ Z[√-1] においては 2つの平方数の差で表現できない数は
mod 2 で 1+√-1 と合同になるものに限る。これを証明せよ。
おやすみです^^
0177１３２人目の素数さん
2010/10/11(月) 23:27:17群、環、体も、整数だけではなくて実数や複素数も扱うので、整数論の範囲外ですか？
ご回答のほど、よろしくお願いいたします。
0178１３２人目の素数さん
2010/10/11(月) 23:33:42まず問題文がおかしいです。√-1 は表現できないです^^;
初等数論の問題としては際どいので削除します＞＜；
>>177
よく整数論の範囲で考えられるものだとおもいますが
初等数論の守備範囲だとすれば際どいものだと思ってます^^;
0179１３２人目の素数さん
2010/10/12(火) 00:49:14⑤ Z[√-1] においては次のことがいえる。p=1+√-1 とおく。
x=a+b√-1が2つの平方数の和で表現できることは
2|b かつ v_p(x)≠1,3 であることと同値である。
(Z[√-1]においては平方数の差も和も表現できる数は同じです
というのも z→iz という対応を考えればよいわけですから^^;)
0182１３２人目の素数さん
2010/10/12(火) 01:29:03でも高木さんは本の第1章をとくに初等数論としているみたいね。
冒頭にもそう書いてあるし、ページめくっていったらわかるけど
第1章の各ページの上端には「初等整数論」と常に書いてあるね。
1章でもEuler関数とかJaconi記号とかを導入しているけど
2次体の整数環のもっとも単純(?)な例のZ[√-1]は第4章以降だね。
0184１３２人目の素数さん
2010/10/12(火) 13:00:27A,B,C,D に正の整数を入れて等式を成立させて下さい。
(A/B)^3 ＋(C/D)^3 = 17
0185１３２人目の素数さん
2010/10/12(火) 16:36:52もし解がないとしたら問題文はおかしいとなる。
0186１３２人目の素数さん
2010/10/12(火) 23:37:050187１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 00:02:39成立させてくださいという問いは論理的におかしい。
典型的なのは解が全て求めよとい問題において
実際に解がないということ。これはよくある問題文のミス。
解を求めよと言った時点で 解が存在している必要がある。
論理記号と集合の言葉だけで問題文を作成しようとすればわかる。
0188訂正
2010/10/13(水) 00:03:33〇解を全て求めよといった問題
0189１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 00:06:140190１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 00:28:45解の存在が前提になっているといいたいのだろうか？
たしかにそれは一理あるとおもうが頭の悪い問題文はどこにでも存在する。
0191１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 01:15:59誰も助けてくれないのに「僕を助けてください」は論理的におかしい。
という主張と受け取ってよろしいか？
0192１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 02:02:31(証明)
まず次のことに注意する。
a_n=5 ⇔ ある整数m,kが存在して n=m*10^k, m≡5 (mod 10) …(*)
問題の無限小数が有理数であると仮定すると、
ある正整数L, Nが存在して、小数第N位以降が周期Lの循環小数となっている。
つまり、n≧N ⇒ a_(n+L)=a_n。
このとき、任意の正整数tについて a_(n+tL)=a_n …(**)
今、tL=r*10^h, r≡1 (mod 10) (r,hは正整数) となるようにtを1つ固定する。
そして、n=s*10^h ≧N, s≡5 (mod 10) であるような正整数nを１つ選ぶ。
このとき、(*)より a_n=5であるが、
一方 n+tL=(r+s)*10^h, r+s≡6 (mod 10)であるから、(*)よりa_(n+tL)≠5となり(**)と矛盾する。
よって、問題の無限小数は有理数でない。 (証明終)
0193１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 02:44:29俺は>>187じゃないが、一般に、「成立しないもの」に対して、
「～を成立させて下さい」というのはおかしい。
「成立しない可能性もある」のであれば、「～は成り立つか？」
つまり、「～なる○は存在するか。」的な質問が数学的だわな。
0194１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 02:58:26何もおかしくない。
論理的にはおかしい表現かもはしれないが、
そういうのは問題を簡単にしているだけで
暗黙に解の存在性を仮定させて問題を簡単にしてしまっている。
解の存在性の先入観を排除して解きましょうね
っていう意図を持って書いたものだとしたら自然な表現だ。
0195１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 03:47:00「神様助けて下さい」と祈るのは論理的におかしいのですか？
0196１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 10:33:13定義による
0197１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 13:03:20大学1年目なんですが、わかりやすく教えてくれませんか？
お願いします。
0198１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 14:03:39「神様は助けてくれない」が定理の場合はどうですか？
0199１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 14:21:34エラストテネスのふるいについてなんですが、
「合成数の素因数の１つがその数の平方根以下であること」によって
「このプロセスを√n以下の最大の素数まで続けると２～ｎまでの
素数が残る」理由は何かを教えてくれませんか？
0200１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 14:35:53「合成数の素因数の１つがその数の平方根以下であること」
↓
「ｎ以下の合成数は、少なくともひとつ√n以下の約数を持つ」
↓
「ｎ以下の合成数は、√nまでのふるいによって落とされている」
↓
「ｎ以下の数で残っているのは素数に他ならない」
0201１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 19:54:14p^3+q^3=17を満たす有理数p,qの組は存在するか。
もし存在するならば1組求めよ。
0202１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 19:57:100203１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 19:59:500204解ける奴いる？
2010/10/13(水) 20:16:12ユークリッドの互除法を用いよ
0205１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 20:43:49X≡201 (mod 984) が答えとなる。
0206１３２人目の素数さん
2010/10/13(水) 22:26:04x=a45 mod 2952
0207１３２人目の素数さん
2010/10/14(木) 08:20:41〉205はご名答
連分数展開ヲ用い、
573と2952の最大公約数を
互除法によって求める
以下略
0208１３２人目の素数さん
2010/10/14(木) 17:51:18どうやって示す？？ できないんだけど
modとかでは無理っぽいね。最有力候補のmod7では機能しない。
もちろん、分母を払ったあとの話ね。
見た瞬間、頭で描いたのは 解の存在を仮定したあと、
とくに いわゆる最小解(片方の整数解の絶対値の大きさ)をとり
そのあと mod 7で考えることで より小さい解をつくり
それは最小性に矛盾しているという よくある方法ね。
でもこの問題では mod7では通用しない。ほかの法も無理でしょう。
もっと頭の良い方法じゃないと通用しない。誰か教えて。
0209１３２人目の素数さん
2010/10/14(木) 21:16:32[第一段階]
有理数 p, q を p = n / a および q = m / b とおく。
ただし n と a は互いに素な整数かつ、 m と b は互いに素な整数とする。
与えられた式を通分すると
b^3 n^3 + a^3 m^3 = 17 a^3 b^3
ここで (mod a^3) で式を見ると
b^3 n^3 = 0 (mod a^3)
なので a^3 は b^3 n^3 を割る。
n と a が互いに素という条件より、a^3 は b^3 を割る。
したがって b は a で割れる。
そこで b = ka とおくと
k^3 a^3 n^3 + a^3 m^3 = 17 k^3 a^6
k^3 n^3 + m^3 = 17 k^3 a^3
さらに (mod k^3) で見ると m^3 = 0 (mod k^3) なので
同様に k は m の因数である。またk は b の因数でもある。
m と b は互いに素とおいたから、k=1 でしかあり得ない。
これより、a = b が分かり、与えられた式は
(1): n^3 + m^3 = 17 a^3
に帰着する。
0210１３２人目の素数さん
2010/10/14(木) 21:17:17ここで
(*): (n+m)^3 = 17 a^3
という式を考えると、因数 17 があることよりこの式を満たす整数の組は存在しない。
したがって
n^3 + m^3 + 3nnm + 3nmm = 17 a^3 を満たす整数の組は存在しない。
よって
(2): n^3 + m^3 = 17 a^3 (mod nm)
を満たす整数の組は存在しない。
ここで仮に (1) を満たす整数の組があったとすると、
それは (mod nm) で見ても成り立っているはずである。
すると (2) が成り立つ整数の組が存在することになってしまい、矛盾する。
よって (1) を満たす整数の組は存在しない。
QED
系：
(*) より、数字 17 を整数の３乗でない整数に置き換えても証明は同様に成り立つ。
0211１３２人目の素数さん
2010/10/14(木) 21:17:29残った問題はどれも手がでない。①以外も容易問題に思えない。
0212１３２人目の素数さん
2010/10/14(木) 21:22:24ちょっとおかしくない？
「n^3 + m^3 + 3nnm + 3nmm = 17 a^3 を満たす整数の組は存在しない」
から
「n^3 + m^3 = 17 a^3 (mod nm)を満たす整数の組は存在しない」
は言えないとおもう。
たとえばの話だけど X^2+1=0 を満たす整数Xは存在しないけど
X^2+1≡0 (mod 5) を満たす整数Xは存在するよね。(X=2がある)
0213福田【本物】和也
2010/10/14(木) 22:04:340214１３２人目の素数さん
2010/10/14(木) 22:10:30ほんまや。
いえてない...
サーセン。出直してきます。
0215１３２人目の素数さん
2010/10/14(木) 22:21:55非負整数全体の集合をXと書くことにする。
a1，a2，…，an 及び b1，b2，…，bnは正の実数とする。
f：X^n → X を
f(x1，x2，…，xn) ＝ Σ[i＝1～n] [ai*(xi)^bi]
と定義する。ただし、[ ]はガウス記号とする。
Σ[i＝1～n] 1/bi ＜ 1 のとき、X－Im(f)は
無限集合であることを示せ。すなわち、
m ＝ f(x1，x2，…，xn)
を満たす非負整数 x1，x2，…，xn が存在しないような
非負整数mが無限個存在することを示せ。
0216１３２人目の素数さん
2010/10/14(木) 22:40:532,3以外に連続する素数が存在すると仮定する
その素数をm,m＋1とおく
ただし（m∈Ν,m≧5）
ここで、連続する二つの整数は
一方が偶数、一方が奇数なので
m＝2k＋1
m＋1＝2kとおける
m＝m＋2となり、不適
よって仮定は誤り
0217福田【本物】和也
2010/10/14(木) 22:58:14m＝2k＋1
m＋1＝2kとおける
why?
0218１３２人目の素数さん
2010/10/15(金) 00:27:53①3以上の素数は全て奇数である
②連続する2つの自然数のうち、片方は偶数である
①,②から問題は解決する。
0219１３２人目の素数さん
2010/10/15(金) 09:01:14寝る前に適当に解いたけど
この証明はカス
よって無視してくれ
汚してすまん
0220１３２人目の素数さん
2010/10/15(金) 09:39:22（１）ab+1≦abc≦ab+bc+ca+1(c＜b＜a、a,b,cは自然数)の時のa,b,cは？
（２）0以上の整数m,nを用いてX=3m+5nとあらわすことできる自然数Xをすべて求めよ。
（３）n,mを整数として 79n+63m=1 となる(n,m)を求めよ。
0221１３２人目の素数さん
2010/10/15(金) 09:45:58ただし，3＾21＝10460353203 を用いてよい。
（５）ある２桁の整数を８と９で割ります。その時の商の小数第一位をそれぞれ四捨五入すると同じ値になりました。
(ア)この時の２桁の整数の中で最大の物を求めなさい。
(イ)このような２桁の整数は全部で何個ありますか。
さらにランクsage
0222shin hattori
2010/10/15(金) 18:38:59abc≦ab+bc+ca+1≦ab+b(a-2)+(b-1)a+1=3ab-a-2b+1＜3ab
これから c＜3 がいえる。c≧2とあわせて c=2がいえる。
c=2のとき abc≦ab+bc+ca+1 ⇔ ab≦2a+2b+1 ⇔ (a-2)(b-2)≦5
b=3のとき a=4,5,6,7 である。
b≧4ならば a≧5であるから (a-2)(b-2)≧(5-2)(4-2)=6＞5 で矛盾。
答えとしては 4≦a≦7, b=3, c=2 である。
(2) 3*5-3-5=7 であるから 8以上の整数は全て表現可能であり
7は表現できないことがわかる。
7は表現できないから 0は表現できる。
1は表現できないから 6は表現できる。
2は表現できないから 5は表現できる
3は表現できるから、4は表現できない。
以上より求めるものは 0,3,5,6 そして 8以上の全ての整数
用いた2つの道具は以下のとおり。
「gcd(a,b)=1なる正整数a,bを任意に固定する。
このとき ax+by(x,yは非負整数)で表現できない最大の整数は ab-a-b」
「上記と同じ設定で n≦ab-a-b であるとしよう。(nは非負整数)
ax+by=n を満たす非負整数x,yが存在するとき、
ax+by=ab-a-b-n を満たす非負整数x,yは存在しない。
これは逆もいえる。つまり ab-a-bに対して(解の配置)対称性をもつ
0223shin hattori
2010/10/15(金) 19:00:3479n≡1 ⇔ 16n≡1 ⇔ 64n≡4 ⇔ n≡4
よって n=63k+4 (kは整数)とかける。
このとき 79n+63m=1 より 79(63k+4)+63m=1 ⇔ m=-79k-5
(m,n) = (-79k-5, 63k+4)
(4) d=10^10+3 とおく。 10^210=(10^10)^21≡(-3)^21= -10460353203
≡ -460353200 (mod d)
よって 10^210 = dk-460353200 を満たす正整数kが取れる。
(これから 0≡3k (mod 10) を得る。 kは10で割りきれる)
これから 10^210/d = k - 46035320/d がいえる。
これから 10^210/(10^10+3)の整数部分は k-1に等しいといえる。
10|kだったので k-1の下1桁は9であるといえる。
10^199 ＜ 10^210/(10^10+3) ＜ 10^200 ゆえ
k-1は200桁であるといえる。
こたえとしては 整数部分の桁数は200で 下1桁は9となる。
0224１３２人目の素数さん
2010/10/15(金) 23:18:343^21 の大きさ, および mod 10での値が重要ということか。
0225１３２人目の素数さん
2010/10/15(金) 23:52:470226１３２人目の素数さん
2010/10/16(土) 00:14:110227１３２人目の素数さん
2010/10/16(土) 00:14:55① Π[p＜n]p ＜ e^n これは正しいかどうか。
② x^2+y^2-1=axy+b(x+y+1) を満たす正整数x,yの組が
ちょうど127個存在するような整数a,bの組は存在するか。
③ 次の命題が正しいかどうかを判定せよ。
「任意に平方数でも平方数の3倍でもないような正整数Nを固定しよう。
x^2+xy+y^2=N に整数解が存在するとき、それは少なくとも12個ある」
④ p^3+q^3=17 を満たす正の有理数p,qの組は存在するか。
もし存在するならば 1組だけ求めよ。
⑤ 非負整数全体の集合をXと書くことにする。
a1，a2，…，an 及び b1，b2，…，bnは正の実数とする。
f：X^n → X を
f(x1，x2，…，xn) ＝ Σ[i＝1～n] [ai*(xi)^bi]
と定義する。ただし、[ ]はガウス記号とする。
Σ[i＝1～n] 1/bi ＜ 1 のとき、X－Im(f)は
無限集合であることを示せ。すなわち、
m ＝ f(x1，x2，…，xn)
を満たす非負整数 x1，x2，…，xn が存在しないような
非負整数mが無限個存在することを示せ。
⑥ ある２桁の整数を８と９で割ります。その時の商の小数第一位をそれぞれ四捨五入すると同じ値になりました。
(ア)この時の２桁の整数の中で最大の物を求めなさい。
(イ)このような２桁の整数は全部で何個ありますか。
0229１３２人目の素数さん
2010/10/16(土) 00:29:10要は指数が大きいと取り残しがあるってことだとおもわれ。
指数が大きいアルネという条件が Σ[i＝1,n] 1/bi ＜ 1 に相当するはず。
指数部分が本質であり、係数部分のa_iは本質でないでしょう。
整数論の問題と捉えないほうが問題はずっと簡単にみえるとおもわれ。集合論的也。
①は皆いうようにかなり難しくて 個人的には ④も難しいとおもう。
③はたぶん初等数論の問題と捉えるよりは 2次体の整数環の問題と捉えればいいのだろうか。
条件がかなり特殊であり 少なくとも6個ですむなら たぶん平方数どうたらは要らないかな？
12個っていうところがまさに問題というわけだろうか。
②はなにをすればいいかわからない。予想もつかない。
2元2次不定方程式の一般論を用いて機械的に処理できるかもしれないけど どうだろう？
難しい問題とはおもえないけど たぶんこれはできる人は普通にいるとおもわれ。
以上部外者が見た感想でした。
0230１３２人目の素数さん
2010/10/16(土) 01:02:48もしかして＾＾はその１組を見つけたからそういう書き方になっているのか？＾ｐ＾
0231１３２人目の素数さん
2010/10/16(土) 01:09:370232１３２人目の素数さん
2010/10/16(土) 18:49:15簡単過ぎる問題>>227の⑥を貼ったら逆にスルーされる厄介なスレ（笑）
0233１３２人目の素数さん
2010/10/16(土) 21:40:29商の小数第一位などといっているので
おそらく 商というのは 割られる数Nに対して、
N/8 や N/9 のことを指していると推測した。
[解法]
2桁という条件は無視して考える。(最後で吟味したい)
非負整数N(2桁とは限らない)が問題の条件を満たすことと、
m≦N/9＜N/8＜m+1/2 ・・・☆ を満たす非負整数mが存在することは同値である。
☆ ⇔ 9m≦N＜8m+4 となるので あとは簡単である。
9m≦N＜8m+4 から とくに 9m＜8m+4 ⇔ m＜4
よって m=0,1,2,3 の場合をそれぞれ調べればよい。
m=0のとき 0≦N＜4 より N=0,1,2,3
m=1のとき 9≦N＜12 より N=9,10,11
m=2のとき 18≦N＜20 より N=18,19
m=3のとき 27≦N＜28 より N=27
ここで2桁という条件を吟味することで答えが得られる。
(ア) 27
(イ) 5個
0234１３２人目の素数さん
2010/10/16(土) 22:39:23p = A/B, q = C/D,
とおく。
A = 104940 = 2･2･3･3･5･11･53,
C = 11663,
B = D = 40831 = 7･19･307,
http://logsoku.com/thread/kamome.2ch.net/math/1047608164/221-225
http://www.unkar.org/read/kamome.2ch.net/math/1047608164/
http://desktop2ch.net/math/1047608164/?p=224
1文字変えたら難易度が激変する問題
0235１３２人目の素数さん
2010/10/16(土) 22:45:54存在していて そのうち1組は >>234 で与えられている。
1組の存在がいえれば 無限に存在することは幾何的な方法で容易に示せる。
一番の問題は その1組を求めることができるかということ。
求めることができないならば 存在するかしないかの判定は難しい。
この手の問題で有理点の存在をシステマティックに示す方法は知られていない。
1点みつかれば いろいろいえるが その1点を見つけるのは大抵は厳しい。
まあ とにかく >>234 のレスのおかげで ④は解決されたということわけだ！
0236１３２人目の素数さん
2010/10/16(土) 22:52:54468 名前：１３２人目の素数さん ：2005/10/22(土) 09:43:49
ABCDに正の整数を入れて等式を成立させて下さい
(A÷B)の3乗＋(C÷D)の3乗＝17
0237１３２人目の素数さん
2010/10/17(日) 01:40:02すげぇ
どうやって見つけたんだよｗプログラム組むしかなくねｗ
0238１３２人目の素数さん
2010/10/17(日) 03:36:36「正の解」という条件を外せば、有理解(x,y) = (18/7, -1/7)は手計算でも
18^3 + (-1)^3 = 17*(18^2+18+1) = 17*(6^3 + 3*6^2 + 3*6 + 1) = 17*7^3
から比較的見つけやすいと思う。
あとは双有理写像で標準的な楕円曲線上の点Pにうつして、有理点の群演算で2Pを求めて、
それを双有理逆写像でX^3+Y^3=17上にもどすと>>234になる。
0239１３２人目の素数さん
2010/10/17(日) 05:36:363(a-b)^2=4(a^2-ab+b^2)-(a+b)^2からすぐに(18/7)^3+(-1/7)^3=17が出る
あとは楕円曲線上の演算のアイデアさえわかってればそのまま接線引けばでることはわかる
(x,y)=(p,q)がx^3+y^3=17の解なら
(x,y)=(-(p^4-34p)/(2p^3-17),-(q^4-34q)/(2q^3-17))がx^3+y^3=17の解
0240１３２人目の素数さん
2010/10/17(日) 06:56:01> 非負整数N(2桁とは限らない)が問題の条件を満たすことと、
> m≦N/9＜N/8＜m+1/2 ・・・☆ を満たす非負整数mが存在することは同値である。
「四捨五入」の意味を取り違えてるよ。
0241１３２人目の素数さん
2010/10/17(日) 08:03:41X-Im(f)の元のうち、N以下のものの個数をS(N)とおいて、S(N)を下から評価したい。
で、Im(f)の元でN以下のものの個数がN+1-S(N)だから、これを上から評価すればいいんだけど、
これはf≦Nとなる(x1,…,xn)∈X^nの個数で上からおさえられるな。
んでもってこれはさらにおおざっぱに、
各[ai*(xi)^(bi)]がN以下になるような(x1,…,xn)の個数でおさえられる、と。
この個数の上からの評価はΠ({(N+1)/ai}^(1/bi) +1)なんだけど、
指数1/biは正だし、どーせNは無限大にとばしちゃうんだから、
Nは十分大として気前よく2^n*Π{(N+1)/ai}^(1/bi)で評価しとこう。
ごちゃごちゃしてみにくいから、Nに関係ない係数はAとしといて、指数の和Σ1/biはBとでもおいたら
N+1-S(N)≦A*(N+1)^B、これですっきりした。そういやB＜1って条件があるから、
Nを無限大にとばすとき、(N+1)^BはN+1より低位の無限大だわな。
つーことでS(N)≧N+1-A*(N+1)^Bだから、S(N)も無限大に向かうことがてきとーに示せたです。
んで、べつのやりかた考えてて思いついた便乗問題。
問題の設定は>>215と同じとします。このとき
X-Im(f)には無限個の素数が含まれていることを証明してください。
0242１３２人目の素数さん
2010/10/17(日) 12:53:42両方とも四捨して一致するとは限らない。
正しくはこうだとおもう。
m≦N/9+1/2≦N/8+1/2＜m+1
2桁という条件がどうでもいいということだけは正しいかな。
0243１３２人目の素数さん
2010/10/17(日) 21:00:59(x,y) = (p,q) が x^3 + y^3 = N の解なら
(p,q) における接線は
(p^2)x + (q^2)y = N,
これを解くと
x/p = (2N-p^3)/(2p^3 -N),
y/q = (2N-q^3)/(2q^3 -N),
x/p + y/q = -1,
よって
(x,y) = ((2N-p^3)p/(2p^3 -N), (2N-q^3)q/(2q^3 -N))
もまた x^3 + y^3 = N の解
0244１３２人目の素数さん
2010/10/18(月) 15:57:13＜問題＞
ｍ，ｎ を整数とするとき、m^3n－mn^3 が6の倍数であることを示せ。
方程式 2x^2＋3xy－2y^2－x＋8y－10＝0 の整数解を求めよ。
B＝n^4＋n が素数となるような整数ｎは存在するか？
0245１３２人目の素数さん
2010/10/18(月) 17:11:001^4+1=2
2^4+1=17
とかは、ダメなのでしょうか？
0246おまんこ 2001
2010/10/18(月) 18:41:17(1) m^3n-mn^3≡mn-mn=0 (mod 3)
m^3n-mn^3≡mn-mn≡0 (mod 2)
(2) y=1のとき x=1, x=-2 である。
y=0のとき x=-2 である。 以下y≠0,1の範囲で考える。
2x^2＋3xy－2y^2－x＋8y－10＝0
⇔ 2x^2+(3y-1)x-(2y^2-8y+10)=0
xの2次方程式としてみたときの判別式は
(3y-1)^2+4*2*(2y^2-8y+10) = 25y^2-70y+81 = (5y-7)^2+32
これが平方数となることが整数解の存在には必要である。
しかしながら 一般に X^2+32が平方数となるような整数XはX=±2,±7に限る。
(これは簡単に証明できる。ここでは省略させてもらう)
しかしながら 5y-7=±2,±7 となるような整数y≠0,1は存在しえない。
(3) Bが素数となるような整数nをすべてもとめる。
n^4+n=n(n^3+1) より |n|≧2ならば これは合成数である。
よって素数となるようなnの候補は n=0,1,-1である。
n=0のとき B=0
n=1のとき B=2
n=-1のとき B=0
Bが素数となるような整数nは n=1だけである。
0247１３２人目の素数さん
2010/10/18(月) 19:07:44確かに便利だけどさぁ(笑)
0248１３２人目の素数さん
2010/10/18(月) 19:09:10駄目れす（・A・）
0249１３２人目の素数さん
2010/10/18(月) 19:29:50(2)について、不正解でーす！ちゃんと存在しま－す！
0250１３２人目の素数さん
2010/10/18(月) 19:31:21悪い悪い。タイプミスしてたわすまん。訂正。
正しくは、こう＾ｐ＾
B＝n^4＋4 が素数となるような整数ｎは存在するか？
0252おまんこ 2001
2010/10/18(月) 20:14:25n^4+4=((n+1)^2+1)((n-1)^2+1) が素数となるような整数nを全て求める。
右辺の分解をみればわかるように n≠±1 だと あきらかに合成数。
よって素数となるような整数nがあるとしたら n=±1にかぎるが、
n=±1のときは B=5となり これは素数となっている。
0253１３２人目の素数さん
2010/10/18(月) 20:16:560254おまんこ 2001
2010/10/18(月) 20:34:50a1a2a3..an = (a1+2)(a2+2)..(an+2)
を満たす自然数N=a1a2..an を全て求めよ。
たとえば N=24 に対しては 24=(2+2)(4+2)
となっているので これは条件を満たしている。
この問題に不等式で抑えれば終わりという容易な方法は存在しない。
だいぶ細かい作業を強いられるはず。さあ楽しんでください。
0255１３２人目の素数さん
2010/10/18(月) 21:41:322010/10/18(月) 19:29:50
>>246
(2)について、不正解でーす！ちゃんと存在しま－す！
0256１３２人目の素数さん
2010/10/18(月) 22:37:480257１３２人目の素数さん
2010/10/18(月) 22:40:44左辺の「a1a2a3..an」ってのは、掛け算してるんじゃなくて
10進法表記のつもりなのね
0258１３２人目の素数さん
2010/10/18(月) 22:46:440259１３２人目の素数さん
2010/10/19(火) 09:19:360260１３２人目の素数さん
2010/10/19(火) 12:51:09次から a[n] or a_(n) この形式で
0261１３２人目の素数さん
2010/10/19(火) 16:22:42手計算で(18/7, -1/7)も結構時間かかりそうな・・・。
時間をいっぱいかければ可能、くらいじゃないのか？
＞あとは双有理写像で標準的な楕円曲線上の点Pにうつして、有理点の群演算で2Pを求めて、
＞それを双有理逆写像でX^3+Y^3=17上にもどす
興味あるから、計算の説明は省いていいから、計算過程だけでも
簡単に書いてくれないか？
0262１３２人目の素数さん
2010/10/19(火) 17:07:06>>239 みたいにうまく推察して計算できれば勝ち。
みつけようとおもうところに問題がある。
なぜみつけようとおもった というところ。
理由なしで はじめてはいくつかの有理数について
コンピュータで計算してみる。それでみつかればおわり。
十分探索してなかったら ないだろうと予想する。なにが難しい？
0263１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 09:18:05わざわざプログラミングしてまで計算しようと思えるところが難しい。
0264１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 13:56:11整数 ｘ，ｙ，ｚ は (x/3)＋(y/5)＋(z/9)＝113/45 を満たし、
かつ左辺の各項は正の既約分数であるとします。
このようなｘ，ｙ，ｚの組をすべて求めなさい。
0265１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 13:58:273個の数 ｌ，ｍ，ｎ は公差が正の等差数列をなし、かつ l＋m＋n＝lmn を満たすとします。
正の整数 ｌ，ｍ，ｎ でこの条件を満たすものは、l＝1，m＝2，n＝3 に限ることを証明しなさい。
0266１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 14:00:3210^30÷1002 を小数で表したとき、一の位を求めよ。
0267１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 14:03:01316を2つの正の整数 ｘ，ｙ の和で表します。
ただし、ｘ は13の倍数、ｙ は11の倍数です。
このような2数 ｘ，ｙ の組を全て求めなさい。
0268１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 14:05:24ｎ が2以上の整数とするとき、分数 (15n＋2)/(14n＋3)
が可約分数（分母、分子が約分できる分数）となるようなｎの一般形を求めなさい。
また、そのとき、この分数を約分して既約分数を求めなさい。
0269１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 14:07:59正の整数 ａ，ｂ，ｃがあり、ａ^2，ｂ^2，ｃ^2 がこの順に公差ｄ（d＞0）の等差数列をなすとします。
（１）公差ｄは24の倍数になることを証明しなさい
（２）公差が最小値の24のときの ａ，ｂ，ｃ を求めなさい。
0270１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 14:12:282個の正の整数があります。それらの和は2004で、最小公倍数は73920です。
もとの2個の整数を求めなさい。
0271１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 14:14:02このとき g(x^12) を g(x) で割るときの余りを求めなさい。
0272１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 14:16:15Let V be the set of all the 8-dimensional vectors with integers components,whose sum is zero and the sum of their squares is 8.
（１）How many vectors are included in V such that all the components are even?
（２）How many vectors are included in V such that all the components are odd?
0273１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 14:24:144桁の整数があります。
この整数を4割ると割り切れて、商は４桁の整数で、数字の並ぶ順序が元の整数と逆になります。
この時、もとの４桁の整数を求めなさい。
0274１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 14:28:3325^2＝625 のように、2桁の整数を2乗すると、下2桁が元の数と一致するものを探しなさい。
0275１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 14:37:20n={(a_1)^(p_1)}{(a_2)^(p_2)}…{(a_k)^(p_k)}と因数分解されるとき
（１）nの約数の個数を求めよ
（２）nの約数の総和を求めよ
（３）nの約数全ての積を求めよ
0276１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 14:38:000277１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 14:41:05また、偶数が2つの平方数の差で表されるときの必要十分条件を求めよ。
0278１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 16:44:300279１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 17:37:16ウリジナルな問題はやめてください。
0280１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 18:38:54レプユニットで2011の倍数になるものはあるか？
0282１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 22:30:50各正整数nに対して n桁レピュニットをR(n)とおく。
R(1),R(2),R(3),..,R(2010),R(2011)
の中に2011の倍数となるものが少なくとも1つ存在する。
(もし無いとしたら mod 2011で等しくなるペア存在する。
gcd(2010,10)=1 であること、および、2数の差の形をみることで
矛盾がみえるのである.)
0283訂正
2010/10/21(木) 22:36:58gcd(2011,10)=1 が正しいです。
>>277
正整数Nが2つの平方数の差で表現できるための
必要十分条件は N≡2 (mod 4) であることです。
>>271
M=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 とおきます。M|x^6-1 はすぐわかります。
x^6≡1 (mod M) より x^12≡1 (mod M) ですから
g(x^12)≡g(1)=6 (mod M)
6が答えとなります。
0284１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 22:42:1910^30=(10^3)^10=(-2)^10=1024=22 (mod 1002)
だから 10^30=1002*k+22 ...(*) を満たす正整数kが取れる。
両辺を1002で割ることで 10^30/1002 = k＋22/1002
ということは求める1の位は kの1の位に等しい。
(*)の両辺をmod 20でみると 0≡2k+2 (mod 20) がいえる。
これは 0≡k+1 (mod 10) に reduceされるので
kの1の位は9であるといえる。答えは 9
0285１３２人目の素数さん
2010/10/21(木) 22:47:23この2つの問題の解答は数検スレの44番目のレスにありますね。
簡単なのでわざわざ引用するまでもないのですが
数検の問題が連投されているな ということを強調したかったのですｗ
0286訂正
2010/10/21(木) 22:53:40正整数Nが2つの平方数の差で表現できないための
必要十分条件は N≡2 (mod 4) であることです。
否定と肯定を書き誤ることがおおいので注意ですね。
0288始末屋
2010/10/22(金) 18:44:34両辺を45倍することで 15x+9y+5z=113 が得られる。
mod5で考えることで y=5n+2 (n:非負整数)がわかる。
mod3で考えることで z=3m+1 (m:非負整数)がわかる。
代入整理し、 m=6-x-3n が得られる。
これから簡単に (x,n,m)=(1,0,5),(1,1,2),(2,0,4),
(2,1,1),(3,0,3),(3,1,0),(4,0,2),(5,0,1) が得られる。
求めるものは (1,2,16),(1,7,7),(2,2,13),
(2,7,4),(3,2,10),(3,7,1),(4,2,7),(5,2,4)
>>265
l＋m＋n＝lmn＜3n より lm＜3
これから l=1, m=2 を得る。そしてn=3となる。
>>267
316=13m+11n (x=13m,y=11n)
-3≡2m (mod 11) ⇔ m≡4 (mod 11)
m=11k+4 (k:非負整数)を代入し、
n=24-13k を得る。
nは正の整数であるので k=0,1 である。
(m,n)=(4,24),(15,11) がわかる。
(x,y)=(52,264),(195,121) が答え。
0289始末屋
2010/10/22(金) 19:11:00d=gcd(x,y)とおくと x=sd,y=tdなる正整数s,tの組が取れる。
d(s+t)=2004, dst=73920=2^6*3*5*7*11 から、dを消去整理すると、
167st=2^4*5*7*11(s+t) が得られる。167|s+t がわかるが、
gcd(st,s+t)=1 だから s+t|167 もいえる。s+t=167 となる。
st=2^4*5*7*11=6160 が得られる。
s,t は t^2-167t+6160 = (t-112)(t-55)の根であるから
{s,t}={112,55} である。s+t=167より d=12 である。
求める2数は {1344, 660} により与えられる。
>>272
a+b+c+d+e+f+g+h=0
a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2+h^2=8
(1) +2が1つ, -2が1つ, のこり6つは0である。
だから求める個数は 8!/(1!1!6!)=56
(2) +1が4つ, -1が4つ, 8!/(4!4!)=70
0290始末屋
2010/10/22(金) 19:35:581000a+100b+10c+d = 4000d+400c+40b+4a
明らかにdは偶数である。そして大きさの比較からd=2,a=8,9がいえる。
1000a+100b+10c+2 = 8000+400c+40b+4a
⇔ 166a+10b=1333+65c
mod5でみると a≡3 がいえるので a=8がいえる。
10b = 5+65c ⇔ 2b = 1+13c
これから c=1, b=7 がいえる。
求めるものは 8712 だけである。 8712 = 4*2178
>>274
n^2≡n (mod 100)なる2桁の正整数nを求めればよい。
gcd(n,n-1)=1に注意すれば これは単純労働的に解けて
答えは n=25,76 であるとわかる。
>>275
τ(n)=Π(a_i+1)
σ(n)=Π(1+p+p^2+...+p^(a_i))
約数の積は (√n)^(τ(n)) となる。
>>277
mod4でみることで N≡2(mod4)なる整数Nは2つの平方数の差で表現不可
N≡0(mod4)のときは N = {(N+4)/2}^2-{(N-4)/2}^2 とすればよい。
(0を平方数とみなせば N=4は表現可となるが そうじゃないなら4は不可)
Nが奇数のときは N = {(N+1)/2}^2-{(N-1)/2}^2 とすればよい。
(0を平方数とみなせば N=1は表現可となるが そうじゃないなら1は不可)
0291１３２人目の素数さん
2010/10/22(金) 22:47:25どんな素数pに対しても、
3つの元で生成されるinifiniteなp-groupが存在する。
これを証明せよ。
(p-groupとは その任意の元の位数がpの巾である群)
0292１３２人目の素数さん
2010/10/23(土) 01:26:500293１３２人目の素数さん
2010/10/23(土) 23:27:50① Π[p＜n]p ＜ e^n これは正しいかどうか。
② x^2+y^2-1=axy+b(x+y+1) を満たす正整数x,yの組が
ちょうど127個存在するような整数a,bの組は存在するか。
③ 次の命題が正しいかどうかを判定せよ。
「任意に平方数でも平方数の3倍でもないような正整数Nを固定しよう。
x^2+xy+y^2=N に整数解が存在するとき、それは少なくとも12個ある」
④ 非負整数全体の集合をXと書くことにする。
a1，a2，…，an 及び b1，b2，…，bnは正の実数とする。
f：X^n → X を
f(x1，x2，…，xn) ＝ Σ[i＝1～n] [ai*(xi)^bi]
により定める。ただし、[]はガウス記号とする。
Σ[i＝1～n] 1/bi ＜ 1 のとき、X－Im(f)には
無限個の素数が含まれていることを示せ。
⑤Nをa[1]a[2]...a[n]と10進法で表現するとき、
N = (a[1]+2)*(a[2]+2)*...*(a[n]+2)
を満たすような自然数Nを全て求めよ。
たとえば N=24 に対しては 24=(2+2)(4+2)
となっているので これは条件を満たしている。
⑥ (問題)
次の2式を満たす整数a,b,c,d(abcd≠0)の組は存在するか。
a^3+c^3=3ab^2+3cd^2+1
b^3+d^3=3ba^2+3dc^2+1
(高校生スレにて挙げられた問題。印象に残ったので再掲)
0294１３２人目の素数さん
2010/10/24(日) 07:23:21条件の2式を満たす整数a,b,c,d (abcd≠0)の組が存在すると仮定する
第2式のi(=√(-1))倍を第1式から引いて整理すると (a+bi)^3+(c+di)^3=1-i
A=a+c, B=c+d, C=a^2-b^2+c^2-d^2-ac+bd, D=2ab+2cd-ad-bc とおくと
A,B,C,D はどれも整数で (A+Bi)(C+Di)=1-i、両辺の絶対値をとると (A^2+B^2)(C^2+D^2)=2 (*)
条件より a^3+c^3≡1, b^3+d^3≡1 (mod 3) だから A^3≡B^3≡1 (mod 3)
一般に整数nについて n^3-n=(n-1)n(n+1)≡0 (mod 3) なので、上のことから A≡B≡1 (mod 3)
A^2+B^2≡2 (mod 3) であり、(*)より A^2+B^2 は2の正の約数だから
A^2+B^2=2 かつ A=B=1 でなければならない
これより C^2+D^2=1 だから、C、Dのうち一方が0で他方が±1でなければならない
A=B=1 より c=1-a, d=1-d、これを代入して
C=3(a-b)(a+b-1)≡0 (mod 3), D=3(2ab-a-b)+2≡2 (mod 3)
だから C=0, D=-1 でなければならない
D=-1 より 2ab-a-b+1=0 (**)
一方 C=0 より a=b または a+b=1 であるが
もし a=b なら(**)から 2(a^2-a)+1=0 となり、(奇数)=(偶数)となって矛盾
もし a+b=1 なら(**)から 2ab=0 となり、abcd≠0と矛盾する
以上より条件の2式を満たす整数a,b,c,d (abcd≠0)の組は存在しない
0295１３２人目の素数さん
2010/10/24(日) 20:56:30http://f.hatena.ne.jp/images/fotolife/g/gazo-u/20101019/20101019055317.jpg
http://f.hatena.ne.jp/images/fotolife/g/gazo-u/20101019/20101019055316.jpg
http://f.hatena.ne.jp/images/fotolife/g/gazo-u/20101019/20101019055315.jpg
http://f.hatena.ne.jp/images/fotolife/g/gazo-u/20101019/20101019055314.jpg
0296１３２人目の素数さん
2010/10/24(日) 22:02:24どこに問題がある？
0297１３２人目の素数さん
2010/10/24(日) 22:21:22俺と同じマイクを使っている点かな。
0298１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 02:03:41Q(√2)のQ上の基底は {1,√2} (∵√2のQ上の最小多項式はX^2-2)
Q(√2,√3)のQ(√2)上の基底は {1,√3}
(∵Q(√2)は√3を含まないゆえX^2-3は√3のQ(√2)上の最小多項式)
だから Q(√2,√3)のQ上の基底は {1,√2,√3,√6} となる。
このことから示されたといえる。
適当な一般化は帰納的に得られる。甚だルーチン。教科書レベルである。
0299298
2010/10/25(月) 02:48:52を示したいとすれば、(これは適切な例ではないのだが)
{1,√2,√3,√5} がQ(√2,√3,√5)の
Q上の基底の部分集合であることをいえば十分。
Q(√2,√3)が√5を含んでいないことをいえばよい。
含んでいると仮定して矛盾を導きたい。(前の例でもやるべきであった)
Q(√2,√3)のQ(√2)上の基底は {1,√3}であったから、
√5 = a+b√3 を満たすa,b∈Q(√2) が存在する。
両辺を2乗して 5=a^2+3b^2+2ab√3 ⇔ 2ab√3=5-a^2-3b^2 を得る。
右辺は当然Q(√2)に入っているわけであるから
a=0 または b=0 または √3∈E がいえるわけである。
このように どんなに平方根がたくさんあっても、
単純に a+b√d みたいな形の数の議論に帰着されるわけである。
きちんと示したい場合は拡大次数と元の個数に関する帰納法を使う。
[命題P_n] (正整数nに依存する命題)
どんなn個の互いに素な√d(d:平方因子を含まない正整数)の形の数達を
与えたとしても Q(√d_1,√d_2,,,,√d_n)のQ上の拡大次数は2^n である。
P_1,P_2が真であることはすぐ示せて、
そこを土台にして、次々と真であることを示していく。
そういう意味でルーチンというわけ。帰納法は強かった。
0300続き
2010/10/25(月) 03:17:56P_2が真であることを示したい。Q(√d_1)が√d_2を含まないことを示せばよい。
含んでいたと仮定すると a+b√d_1 = √d_2 を満たす有理数a,bが取れる。
両辺2乗し a^2+d_1b^2+2ab√d_1 = d_2 を得る。
これから 2ab√d_1 = d_2-a^2-d_1b^2 を得る。
a=0 のとき b√d_1 = √d_2 となるので b≠0に注意して
√(d_1d_2) ∈Q を得る。 これは明らかに矛盾である。
b=0 のとき a = √d_2 となる。 明らかに矛盾である。
ab≠0のとき √d_1∈Q がいえる。明らかに矛盾である。
以上より、P_2が真であることがいえた。
ある正整数s≧2が存在していて P_1,P_2,..,P_sが真であると仮定する。
このとき、P_(s+1)も真であることが示せば帰納法は完成したといえる。
E=Q(√d_1,√d_2,,,,√d_s),F=Q(√d_1,√d_2,,,,√d_(s-1)) とおく。
Eが√d_(n+1)を含んでいないことを示せばよい。
含んでいると仮定する。(ここから矛盾を導きたい)
すると √d_(s+1) = a+b√d_s を満たすa,b∈Fが取れる。
(∵ [E:F]=2 であり 1,√d_s は線形独立であるから)
両辺を2乗し整理して 2ab√d_s = d_(s+1)-a^2-d_1b^2∈F を得る。
これから a=0 または b=0 または √d_s∈F がいえる。
a=0であるとすれば √d_(s+1) = b√d_s であるから
√(d_s)(d_(s+1)) = b*d_s∈F がいえる。しかしながら
Fに√((d_s)(d_(s+1)))に添加してできる体は帰納法の仮定から
Q上の拡大次数は2^sであるので これは矛盾している。
b=0であるとすれば √d_(s+1) = a∈F がいえる。
しかしながら Fに√d_(s+1)を添加してできる体は帰納法の仮定から
Q上の拡大次数が2^sであるので これは矛盾している。
√d_s∈F であるときも同様に矛盾である。 ■
0301１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 04:43:00(1) ∫(0,1) {1/x} dx
(2) ∫(0,1) {1/x}^2 dx
ここに {x} = x - [x] はxの小数部分。
http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
M1845. (F.S.Wong)
0302１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 04:46:07(1)
∫_(0,1) {1/x} dx
= (n=1,∞) ∫(1/(n+1),1/n) {1/x} dx
= (n=1,∞) ∫(1/(n+1),1/n) (1/x - n) dx
= (n=1,∞) {log((n+1)/n) -1/(n+1)}
= lim(N→∞) {log(N) -1/2 -1/3 - …… -1/N}
= 1 - γ,
γ = 0.577215664901532… オイラの定数
(2)
0.2606614 ぐらい
0303１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 05:20:35|36^m－5^n|の最小値を求めよ
0304１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 10:52:52|36^m-5^n|=a
a=1になりえないことを示す。
36^m-5^n=1
(左辺が-1にならないことはMOD5でわかる)
(6^m+1)(6^m-1)=5^n
6^m+1は5で割り切れないゆえ矛盾。
aは明らかに3,5で割り切れない。
a=7がありえないことはMOD 5でわかる。
36-25=11 より
最小値は11
0305１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 11:38:5536^n - 5^m は1(mod5) , -1(mod4) だから11(mod20)になる
mod20で11になる絶対値の小さい数は11と-9だけど
36^n - 5^mはmod9で0ではない したがって11が最小
0306１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 11:42:00次
0307１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 11:47:44しかし ありきたりな問題だ。どっかの簡単なコンテストの問題だな。同じのみたことある。
0308１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 11:55:40GIVE UP
予想すらつかない
いい加減 答え教えてくれ
ずっとリストに残っているようだし
0309１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 11:57:19私が解いてやろう
0310１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 11:57:51②はGIVE UP
予想すらつかない
いい加減 答え教えてくれ
ずっとリストに残っているようだし
0311１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 12:03:380312１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 12:10:130313１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 12:21:100314１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 12:22:48する
0315１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 12:45:37a^2+b^2+ab=c^2
(a+b+c)(a+b-c)=ab
a+b+c>a, b>a+b-c>1
0316１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 12:58:05>>142 に一般の解答がでている。
x^2+xy+y^2が平方数となるような正整数x,yの組は{3,5}により与えられる。
だから存在するとなる。
>>311
1つの反例は？
0317１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 12:59:002010/10/25(月) 12:45:37
しない
a^2+b^2+ab=c^2
(a+b+c)(a+b-c)=ab
a+b+c>a, b>a+b-c>1
晒しあげ
0318316
2010/10/25(月) 12:59:46x^2+xy+y^2が平方数となるような素数x,yの組は
(x,y)=(3,5),(5,3) で全てである。
0319１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 13:03:300320１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 13:08:40有名すぎて
0321１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 13:09:50>>222 にて既出。(若干違うがほぼ同じである)
引用すると
「gcd(a,b)=1なる正整数a,bを任意に固定する。
このとき ax+by(x,yは非負整数)で表現できない最大の整数は ab-a-b」
3a+5b = 3(a-1)+5(b-1)+8 と変形できるから ここで上記定理を用いれば
3(a-1)+5(b-1)で表現できない最大の整数は 7であることがいえる。
よって、答えとしては 7+8=15 が表現不可能な最大の整数となる。
0322１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 13:19:55x^2+xy+y^2=13
0323１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 13:23:510324１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 13:33:57ちょうど12個の整数解があるみたいだよ。
(x,y)=(3,1),(-3,-1),(-1,-3),(1,3),
(-4,1),(4,-1),(-1,4),(1,-4),
(4,-3),(-4,3),(-3,4),(3,-4)
>>323
これもちょうど12個あるみたいよ。
(x,y)=(2,1),(-2,-1),(1,2),(-1,-2),
(3,-1),(-3,1),(-1,3),(1,-3),
(3,-2),(-3,2),(-2,3),(2,-3)
0325１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 14:11:39誰かソフトでやってくれ
12個
19
21
28
31
37
39
43
52
57
61
63
67
76
79
84
93
97
24個
91
0326１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 14:15:110327１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 14:39:31http://www2.wolframalpha.com/input/?i=solve+(x^2%2Bxy%2By^2%3Dn+,n%3E0)
0328１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 14:43:43これで糸口探るか
0329Ｌ
2010/10/25(月) 15:09:26ただ、解の個数が12の倍数となることは初等的には説明しにくいです。
ここでは少なくとも12個あることを説明したいとおもいます。
(x,y)=(a,b)が1つの整数解を与えていたとしましょう。
このとき、(x,y)=(a+b,-a),(a+b,-b)は別の2解を与えます。
並べ替えと符号の反転を考慮して 少なくとも3*4=12個の解が得られます。
重複しないのは nが平方数でも平方数の3倍でもないことからいえます。
実際に解を与えること及び解が重複しないことは
ルーチンに確認できるでしょうが少しだけ面倒かもしれません。
すこし方法を変えれば まったくあたまをつかわずに、
解の個数が12の倍数であることが示せます。
しかしそれはぎりぎりスレチだと思われますので控えます。
0330Ｌ
2010/10/25(月) 15:26:13次のように考えればいいのです。よくあるグループ分けの議論でしょうか。
まず、1つの整数解を取ります。
1つの整数解から それ自身も含めて12個の整数解が得られます。
それら12個の解は 互いに "並べ替え", "符号の反転",
"その他の変換" によって 移り変わることが確認できます。(要確認)
(その他の変換とは整数解(a,b)を(a+b,-a)に送る変換のこと)
そういう意味で 12個の整数解は1つのグループをなしているとみれます。
(整数解全体の集合に対して3種の変換による同値類を考えるわけです)
ということは 整数解の個数は 12の倍数にならざるをえません。
0331１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 15:39:400332１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 15:41:07ふふーん
0333Ｌ
2010/10/25(月) 15:46:50並べ替え と (a,b)→(a+b,-a) だけで同値類ができます。
さて、②は誰か詳しい人いませんか？
解の個数を聞いてるので 難しいきがします。
有限個の解があったとして それがいくつ存在するかは
a,bの取り方によって大きく変わるとおもいますので。
2元2次不定方程式の解の個数に関する定理なんて私は知りません。
0334１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 15:49:360335１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 15:55:020336１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 16:02:000337１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 16:10:19というか かなり多くの場合は無限に解があるとおもう。
でも有限個しかない場合も無限パターンありうる。
最初に考えたのは a=0, b=2n (n:正整数)とした場合。
x^2+y^2-1=2n(x+y+1) となるから (x-n)^2+(y-n)^2=2n^2+2n+1
nをどんなふうにとっても有限個の解が得られて、
nをかえることで 解の個数がいろいろと変化してくれる。
でも 残念ながら この場合で 解の個数が奇数となることはない;
0338１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 17:30:04a=2, -2で放物線(平行な２直線)
a=-1, 0, 1で楕円
それ以外で双曲線
0339１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 17:35:12間違いない
x^2+y^2-1=-2xy+127(x+y+1)
0340１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 17:41:450341１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 18:17:06おやすみ
0342１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 18:25:47すばらしい どうやって思いついた？
0343１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 18:40:55a=-2で平行な2直線
(x+y+1) (x+y-b-1)=0
でそれに注目して
傾きは-1でもう片方は第1象限にグラフはない(y切片-1)
だからもう片方がy切片が128になるようにb=127
それで自然数解(1, 127), (2, 126), ..., (127, 1)の127個
結局>>338に気づけばすぐだった
0344１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 19:22:10を満たす整数a,bの組を全て求めよ
0345１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 19:35:260, 0
0346１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 19:41:14整数a,bの組が問題の方程式を満たしていると仮定する。
このとき a(b^3+b^2-2b-3)=3b^2 ・・・☆ が成立している。
(当然であるが逆に☆が成立しているとき(a,b)は問題の整数解である)
ということは b^3+b^2-2b-3|3b^2 ・・・〇 の成立がいえる。
(b^3+b^2-2b-3=0 が成立しえないことはすぐ確認できる。
というのも もしそうなれば ☆より、b=0となるからである)
〇より、|b^3+b^2-2b-3|≦3b^2 ・・・△ の成立がいえる。
b≧2のとき △から b^3+b^2-2b-3≦3b^2 ⇔ b^3-2b^2-2b-3≦0
がいえて、このときは簡単な計算より b=2,3であることがいえる。
b=2のとき 〇は成立していない。 b=3のとき ☆より a=1である。
b≦1のとき △から (b^3+b^2-2b-3)≧-3b^2 ⇔ b^3+4b^2-2b-3≧0
がいえて、このときは簡単な計算より b=1,-1,-2,-3,-4 がいえる。
b=-3,-4のとき 〇は成立していない。
△より (b,a)=(1,-1),(-1,-3),(-2,-4) が得られる。
以上より求める全ての整数解は
(a,b)=(1,3),(-1,1),(-3,-1),(-4,-2) であると結論できる。
0347346
2010/10/25(月) 19:44:45△がいえるのは b≠0のときに限る。
b≠0の範囲では上の解答は正しいとおもう。
b=0 のとき a=0 であることはすぐいえるから、
(a,b)=(0,0)を求めるペアに付け加えれば解答は補完される。
0348１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 20:29:53(2)
∫_(1/N,1) {1/x}^2 dx
= (n=1,N-1) ∫(1/(n+1),1/n) {1/x}^2 dx
= (n=1,N-1) ∫(1/(n+1),1/n) (1/x - n)^2 dx
= (n=1,N-1) （-1/x -2n･log(x) + n^2･x）(x=1/(n+1),1/n)
= (n=1,N-1) （2 -2n･log((n+1)/n) - 1/(n+1)）
= {2N +2log(N!) -(2N+1)log(N)} + {log(N) -1 -1/2 -…… -1/N} -1
→ log(2π) - γ -1 （…… スターリング と オイラ）
= 0.26066140150781262295414738272924 (N→∞)
0349１３２人目の素数さん
2010/10/25(月) 21:00:480350１３２人目の素数さん
2010/10/26(火) 11:03:5724以外に見つからないんだけど
0351１３２人目の素数さん
2010/10/26(火) 16:16:31それでいい
0352１３２人目の素数さん
2010/10/26(火) 16:21:01>>339
0353１３２人目の素数さん
2010/10/26(火) 17:22:47やっぱり難問なのだろうか。
昨日解答が書かれた2題はともにスレ主が作成した問題で、
糸口がまったくみえない⑤は別の人が挙げた問題。
0354１３２人目の素数さん
2010/10/26(火) 22:39:440355１３２人目の素数さん
2010/10/26(火) 23:22:370356１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 00:53:260357１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 02:13:28これを満たす整数の組 (a[1],a[2]) (0＜a[1]≦9, 0≦a[2]≦9) は (1,2), (2,4), (3,5), (5,6) の4つ。
12=3*4=(1+2)(2+2)
24=4*6=(2+2)(4+2)
35=5*7=(3+2)(5+2)
56=7*8=(5+2)(6+2)
3桁以上ではこの方法が通用しない。どうすりゃいいのか。
0358１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 02:21:28Σlog(an+2)=Σlogan+Σnlog10=logM+log10(n+1)n/2
=logN
log10(n+1)n/2=logN/M
N/M=10^(n+1)n/2
0359１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 02:24:34なお数字をひとつ書くのに0.4秒かかるとする。
0360１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 02:25:33ー＞
３ 0.4秒
１３ 0.8秒
２２１ １．２秒
0361１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 02:39:280362１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 02:48:21だからなんね？
0363１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 02:56:204*6=24=N
N/M=3=10^(2*1)/2=10
0364１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 02:57:08時間の変数がありませんが？
0365１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 02:59:130366１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 03:00:06だからなんね？
0367１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 03:00:550368１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 03:02:100
0369１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 03:06:12x(100-yz)+10y+z=0
x=(10y+z)/(100-yz)
10y+z=r100-ryz
z(1-ry)=r100-10y
z=10(r10-y)/(1-ry)
r10-y=p(1-ry)
y=(p-r10)/(pr-1)
0370１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 03:18:10z=(x+2)(y+2)(z+2) mod 10
((x+2)(y+2)-1)z=-2(x+2)(y+2) mod 10
(n-1)z=8n mod 10
n(z-8)=z mod 10
1234567890 z
3456789012
73-4523-15,0
(x+2)(y+2)=n mod 10
1234567890 x
3456789012
73-4523-95,0
51-2301-73,8 y
0371１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 03:20:26212=32
423
536
...
0372１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 03:26:253456789012
73-4523-15,0
(x+2)(y+2)=n mod 10
1234567890 x
3456789012
9---1-3-7-
7---9-1-5- y
1-----7-3-
9-----5-1- y
...
0373１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 03:31:45192=3*11*4=110+22=132
591=7*11*3=77*3=231
...
0374１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 03:42:530375１３２人目の素数さん
2010/10/27(水) 13:48:410376東工大、慶応ほか頻出問題
2010/10/28(木) 18:11:01（2－√3）＾n という形の数を考える
この数は適当なm∈Nが存在して
√（m）－√（m－1）
という表示を持つことを示せ
有名なペル方程式の入試問題
0377１３２人目の素数さん
2010/10/28(木) 18:11:560378shin hattori
2010/10/28(木) 18:20:59簡単すぎるというかどこにでもある問題は控えたほうがいいのでは？
みんながやりたいのは気の利いたオリジナル問題だとおもうんです。
[解答]
(2－√3)^n = a-b√3 を満たす整数a,bが取れる。
共役をとり (2+√3)^n = a+b√3 がいえる。
2つの式を辺々掛け算して 1=(4-3)^n=a^2-3b^2 が得られる。
∴ (2－√3)^n = a-b√3 = √(a^2)-√(3b^2) = √(a^2)-√(a^2-1) ■
0379shin hattori
2010/10/28(木) 18:33:19cos(qπ)=a+b√d を満たす正整数dと有理数a,bが存在するような
有理数q∈[0,1]を全て求めよ。(簡単すぎたらすみません)
ずっと下にヒントを書いておきますので、
見たくない人は見ないで下さいｗ
[Q(2cos(pi/m):Q]=φ(m)/2 が一般にいえますので、
φ(m)/2≦2 を満たす正整数mがqの分母の候補となるわけです。
その視点でみると この問題は非常にルーチンに終わります。
0380１３２人目の素数さん
2010/10/28(木) 18:42:05問題は面白いかもしれんが スレチ
とくにヒントが スレチ
cos(qπ)∈Q ならば 初等数論だけの方法が知られている。
その問題だと初等数論の方法は厳しいきがする。
ほぼ初等数論的な方法だけで解けて、しかも、
なるべくオリジナルな問題を挙げるのは確かに難しいが。
0381１３２人目の素数さん
2010/10/28(木) 18:55:54その解答も ややスレチ
"共役"っていうのは 複素共役のことではなくて、
代数体Q(√3)の2つの共役射のうち、恒等射でないほうのものでしょ。
そういう言葉を使うのはスレチ。
ここはふつうに帰納法で (2+√3)^n = a+b√3 がいえる のほうが初等的。
0382１３２人目の素数さん
2010/10/28(木) 20:45:47はやく次の問題を供給汁
0383簡単すぎかな？
2010/10/28(木) 21:10:33（3＋√5）＾nの整数部分が
5の倍数となるような
nの条件を言え
0384オナ豚
2010/10/28(木) 21:29:34各正整数nに対して (3+√5)^n=a[n]+b[n]√5を満たす整数a[n],b[n]の組を取る。
このとき、帰納的に (3-√5)^n=a[n]-b[n]√5 の成立が示せる。
両辺足し合わせて (3+√5)^n+(3-√5)^n = 2a[n] が得られる。
これより (3+√5)^nの整数部分が 2a[n]-1 であることがいえる。
数列a[n]に関しては a[n+2]=6a[n+1]-4a[n] の成立が示せる。
これから a[n+2]≡a[n+1]+a[n] (mod 5) が得られる。
a[1]=3, a[2]=14 から初めて つぎつぎとa[n]のmod 5での値が計算できる。
-2, -1, 2, 1 の繰り返しで 周期が4であることが確認できる。
ということは 求めるnの条件は n≡1 (mod 4) であるといえる。
0385１３２人目の素数さん
2010/10/28(木) 21:30:410386１３２人目の素数さん
2010/10/28(木) 21:33:480387１３２人目の素数さん
2010/10/28(木) 21:37:530389オナ豚
2010/10/28(木) 21:50:18提案: 初等的な代数の問題までＯＫとする(数学科の学部レベルまで)
0390１３２人目の素数さん
2010/10/28(木) 21:52:45(1/x)+(1/y)の最大値を求めよ
0391１３２人目の素数さん
2010/10/28(木) 21:55:030392１３２人目の素数さん
2010/10/28(木) 22:02:221/2000 + 1/2001 みたいなことか
0393gaikotsu ◆xKQl9rTMwao4
2010/10/28(木) 22:12:240394１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 00:16:301/x+1/y＜1/n ならば 1/x+1/y は x=n+1, y=n^2+n+1で最大を取る。
これを確認するのは容易である。
たとえば 最大値(nの式)-1/x-1/y が 1/x+1/y＜1/n の下で
正であることを示せばよい。
1/x+1/y＜1/n ⇔ xy-nx-ny≧1 を用いればいい。
x,y＞nに注意して 簡単な解析をすればよい。
0395394
2010/10/29(金) 00:19:01興味がある人は実際にやってみればＯＫ 確認は容易。
0396１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:09:23G_(n)≦A_(n)
等号が成り立つのは a_(1)＝a_(2)＝…＝a_(n) のときに限る
このとき、次の問いに答えよ
ただし k, m, n は k≧1 および m, n≧2 の自然数とする
[1] P(2)を示せ
[2] P(2^k)を示せ
[3] P(m)が成立すればP(m-1)が成立することを示せ
[4] n≧2の自然数nに対してP(n)が成立することを示せ
0397１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:12:000398１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:14:46[2] a_(1)a_(2)…a_(n)＝1 である任意のn個の正数 a_(1), a_(2),…,a_(n) に対し、a_(1)＋a_(2)＋…a_(n)≧n を示せ
[3] G_(n)≦A_(n) を示し、等号成立が a_(1)＝a_(2)＝…＝a_(n) のときに限ることを示せ
0399１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:16:36>>396訂正
次の命題を P(n) とおく
任意の正の数 a_(1), a_(2),…, a_(n) に対し
G_(n)≦A_(n)
等号が成り立つのは a_(1)＝a_(2)＝…＝a_(n) のときに限る
このとき、次の問いに答えよ
ただし k, m, n は k≧1 および m, n≧2 の自然数とする
[1] P(2)を示せ
[2] P(2^k)を示せ
[3] P(m)が成立すればP(m-1)が成立することを示せ
[4] n≧2の自然数nに対してP(n)が成立することを示せ
0400１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:19:04相加相乗ってほざいたらブチ殺すぞ
0401１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:22:28ｘａ＋ｙｂ＝（ａ，ｂ）である整数ｘ，ｙをそれぞれ見つけよ。
（１） １４ と ３５
（２） ２５２ と １８０
（３） ６６４３ と ２８７３
（４） ２７２８２８２８２ と ３２４２
0402１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:23:36ｂ^ｎ－ａ^ｎ＝（ｂ－ａ）（ｂ^(ｎ－１)＋ｂ^(ｎ－２)ａ＋ｂ^(ｎ－３)ａ^２＋・・＋ａ^(ｎ－１)）
ｎ＞ｍを正の整数とする。ｎをｍで割ったときの余りをｒとする。このとき、
２^ｎ－１を２^ｍ－１で割ったときの余りが２^ｒ－１であることを示せ。
0403１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:30:450404１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:33:29どこにでもある問題だ
つーか 単なる道具だよね？
問題じゃなくね？
互除法＆帰納法
0406１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:35:48彼はその一生の1/6を少年、1/12を青年、さらにその後は、一生の1/7を独身で過ごした。
結婚してから5年後に子供が生まれ、その子は彼より4年前に、彼の寿命の半分でこの世を去った。
彼の寿命を求めよ。
解説1：生きていた年齢をxとすると、(1/6)x+(1/12)x+(1/7)x+5+(1/2)x+4=x となり、これを解けば、x=84となる。
解説2：方程式を使わない解き方として、分数から「5年と4年」の確定している数字を目標にして考える。
分数を全部足すと、1/6 + 1/12 + 1/7 + 1/2 = 25/28となる。残りの 3/28 が、4年＋5年＝9年 だから、
1/28 が3年に相当する。全体は、28×3＝84年 になる。
解説3：もっと簡単には、彼の年齢は、6と7と12の公倍数だ。
最小公倍数は84となり、この2倍は考えられないから、彼の寿命は84歳になる。
（問題）
解説3に対するツッコミと、新たな解説4を示せ
>>378
「気の利いたオリジナル問題」ってこんなの？（笑）
0407１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:37:37>>1が出てくるなら話は別だけど
0408１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:41:401から8までの8つの数字を並べて、8桁の数を作る。その数の各位に、アイウエオカキクと名前をつける。
2桁の数「アイ」は2で割り切れ、3桁の数「アイウ」は3で割り切れる。
4桁の数「アイウエ」は4で割り切れ、5桁の数「アイウエオ」は5で割り切れる。
6桁の数「アイウエオカ」は6で割り切れ、7桁の数「アイウエオカキ」は7で割り切れ, 8桁の数「アイウエオカキク」は8で割り切れる。
8桁の数を答えよ。
0409１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:42:00は？解けないと思ってるのはお前だけ
0410１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:44:29次の7つの条件を満たす4つの整数を求めよ。
① すべて2000以上4000未満である。
② 4つのうち1つだけは偶数である。
③ 3つは3で割りきれ、残り1つは3で割ると1余る。
④ 各位の数の和は3であるものが2つ、4であるものが1つ、9であるものが１つである。
⑤ 4つのうちの2つの数の差は、最も小さい組が9、最も大きい組が1000である。
⑥ 最も大きい数を除く3つの数の差は、どの2つをとっても200より小さい。
⑦ 4つのうち1つの数は、81で割ると36余る数である。
0411１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:45:16>>1くらい読んどけボケ
0412１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:52:010413１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 11:06:39相加≧相乗の面白い証明方法を紹介しているだけだよね？
0414１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 11:14:06どの問題を解いて欲しいの？
0415１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 11:14:330416１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 11:16:36>>406
0417１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 11:18:500418１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 11:21:29このような正の整数のうち最小のものを答えやがれり
0419１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 11:23:35このうち３つの数は４つの数の和の約数になっている
このような４つの数の組を求めればいいじゃない
0420１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 11:31:40問題: 各正整数nに対して、s(n):= nの各桁の和 (10進法において)
このとき s(a-b)=s(a)=s(b) かつ s(a+b)=s(a)+s(b)
を満たす100桁の正整数a,b(a＞b)は存在するだろうか。
0421１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 11:55:57>>414
>>406の解答は？逃げた？
0422１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 11:59:53ちゃんとレス追ってね
0423１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 12:09:47だいたいの方針を公開して それでしばらく批判がないようならば
解けたとおもっていいのではないでしょうか。
0425１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 12:12:13たとえば
a=5454545454.......
b=4545454545.......
0426１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 12:14:41数時間たてば 誰かが(それは私かもしれないし)解答を書くとおもいます。
いまのところ 誰も解けていない(または解いていない)ようです。
(誰が解けるかどうかなんて客観的にはどうでもいいことで、
重要なのは解答・方針が実際に書かれるかどうかというのは言うまでもないでしょう)
0427１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 12:15:310428１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 12:16:02(x^{m+n}＋y^{m+n}＋z^{m+n})/(m＋n)＝(x^m＋y^m＋z^m)(x^n＋y^n＋z^n)/mn
が成り立つことが分かっている
他に整数解(m,n)が存在するか？
あれば全て求めよ
0429１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 12:19:22だから解ける言ってんだろ
0430１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 12:20:52有名な問題です
わざわざ解答を書く必要はないでしょう
0431１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 12:29:45S_(q)＝1/(2･3･4)＋1/(5･6･7)＋…＋1/q(q＋1)(q＋2) とおく
このとき、1/p － 2S_(q)＝m/n ※ただし m,n は整数 ならば、
m－n は p で割り切れることを証明せよ
0432１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 12:38:36ただし x_(1) は正の整数である
このとき、x_(2006) が 2006 を割り切るような最小の x_(1) を求めよ
0433１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 12:39:24100, 200, 300
101, 202, 303
102, 204, 306
103, 206, 309
197, 394, 591
198, 396, 594
199, 398, 597
200, 400, 600
201, 402, 603
202, 404, 606
203, 406, 609
297, 594, 891
298, 596, 894
299, 598, 897
300, 600, 900
301, 602, 903
302, 604, 906
303, 606, 909
0434１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 12:48:07を満たす自然数(x,y,z,w)の組をすべて求めよ
0435１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 12:48:52＞４つの数の組
0436１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 13:00:12を満たす正の整数(x,y,z)の組をすべて求めよ
0437１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 13:03:18(a^2＋1)(b^2＋1)＝(c^2＋1)
を満たす自然数(a,b,c)の組をすべて求めよ
0438１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 13:09:51a_(n+1)＝a^2_(n)－ka_(n)＋k
m≠n ならば a_(m) と a_(n) は互いに素であることを示せ
0439１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 13:13:480440１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 13:18:0581 / 401 = 0.201995012
0441１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 13:27:53a_(1)＝1/2
a_(1)＋a_(2)＋…＋a_(n)＝n^2・a_(n)
n≧1
0442１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 13:36:06ただし、n＞1 とする
0443１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 13:50:15おいコンピュータで解いてんじゃねーよ(笑)
0444１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 14:42:38a[1] ≡ 1 (mod k)
a[n+1] ≡ a[n]^2 (mod k)
よりa[n] ≡ 1 (mod k) (n≧1)が分かる。…(1)
次に、数列A[n]を
A[1] ＝ 1
A[n] ＝ a[1]a[2]…a[n-1] (n≧2)
と定義する。(1)よりA[n] ≡ 1 (mod k) (n≧1) …(2)
である(n＝1のときは(1)が使えないので直接確かめる)。
また、1≦m＜nのとき A[n] ＝ A[m]*a[m]…a[n-1]
となることに注意する。問題文の漸化式を変形して
a[n+1]-k ＝ a[n](a[n]-k)
∴ a[n] ＝ a[1]a[2]…a[n-1] + k (n≧2)
となるから、特にa[n] ＝ A[n] + k (n≧2)と表せる。
この式はn＝1でも正しい。
gcd(x,y)を(x,y)と略記することにする。1≦m＜nのとき
(a[n],a[m]) ＝ (a[n]-a[m],a[m]) ＝ (A[m]*(a[m]…a[n-1]-1),a[m])
となる。
(A[m],a[m]) ＝ (A[m],A[m]+k) ＝ (A[m],k) ＝ 1 ((2)より)
(a[m]…a[n-1]-1,a[m]) ＝ 1
以上より、a[n]とa[m]は互いに素である。
0445１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 14:48:44n は 7 で割り切れることを証明せよ
0446１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 14:56:32n=12
0447１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 14:58:38>>406の答え書けよ
0448１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 14:59:200449１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 15:01:12を満たす正の整数(x,y,z)の組をすべて求めたい
0450１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 15:22:57a(x^n－x^m)＝(ax^m－4)y^2
m≡n (mod 2)
ax は奇数
0451１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 15:32:04このときの素数(p,q)の組をすべて答えなさい
0452１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 15:35:23レスをちゃんと追おうね
0453１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 15:46:04x=1で満たすy, zを求めたらいい
0454１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 15:46:41>>406を解いてください
0455１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 15:46:57この多項式の係数の合計を求めなさい
0456１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 15:48:05なぜ x=1 なんでしょうか？
0457１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 15:49:46なんでやねん
0458１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 15:52:33a[n+2]＝1/(a[n+1])＋a[n] ※nは正の整数
a[2010]を求めなさい
0459１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 15:54:03>>457は書かれた問題にケチをつけながら解くマシーンに過ぎず
>>1が提唱した(ただ、拡張については考える余地があることが多いかもです^^)を考えられない恥ずかしい数学科卒
0460１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:00:200461１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:12:11(a) p≡5 (mod 6)
(b) nはpで割り切れない
(c) n≡m^3 (mod p)
0462１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:13:46108,117,135,180
0464１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:16:491, 1しか見つかんない
0465１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:17:26ただし、ｍ，ｎ は正の整数とする
(ア) a＞5
(イ) a＝m[1]^2＋n[1]^2
(ウ) a^2＝m[2]^2＋n[2]^2
(エ) m[1]－n[1]＝m[2]－n[2]
0466１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:17:41n=3
0467１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:18:10レスを追ってね
0468１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:20:510469１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:21:43ほれ
405 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2010/10/29(金) 10:35:07
>>398
>>399
>>401
有名
407 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2010/10/29(金) 10:37:37
解けてなくても>>403-405みたいに書けば全部済むから、このスレいらなくね？
>>1が出てくるなら話は別だけど
409 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2010/10/29(金) 10:42:00
>>407
は？解けないと思ってるのはお前だけ
0470１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:23:03スパコン
0471１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:31:39集合S[n]の要素のうち、1の位の数字が3であるものは高々半数であることを証明せよ
0472１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:33:59((n-1)^2+8)^2=m^2+63
a=(n-1)^2+8とおくと、
(a+m)(a-m)=63
nが正の整数ならaは正の整数なので、
(a+m,a-m)=(63,1),(21,3),(9,7)
(a,m)=(32,31),(12,9),(8,1)
このうち、a=(n-1)^2+8を満たす正の整数nが存在するのは
a=12,8のときで、それぞれn=3,1
0473１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:35:110474１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:44:02なるほど、平方完成を2回やるのか
その発想はなかったわ
0475１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:49:18(b^n－1)/(b－1) が平方数となる整数ｎ＞1が存在するとき
ｂは８で割り切れることを証明せよ
0476１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:52:060477１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:00:37(x^2＋y^2＋2z^2)/(xy＋yz)
0478１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:04:41xは5で割り切れることを証明せよ
ただし、xは正の整数とする
0479１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:04:50というかコンテストの問題の貼り付けばっかり。
しかもおそらく同一人物による貼り付け。
オリジナル問題はどこにある？
もしかして、全部、勝手に拡張してくれっていう問題？
あらかじめ拡張した問題うｐれよ たこ。
自分であたまつかって問題つくれよ。
(以上はコンテスト問題を貼り付けまくっているタコに向かって言っています)
0480１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:06:03おまえのことだよ。
おまえなりに拡張した問題をうｐれよ。
コンテストの問題そのままだとしたら出典ちゃんと書けよ。
0481１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:10:33中国のコンテストの問題やね。出典かこうね？？
でもこの問題 ほんとあたまわるすぎ。
あまりにもあきらかすぎる。
F_p*からF_p*への射:x→x^3 を考えれば明らか。
ルーマニア人にいわせると 中学校の問題だよ。
0482１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:10:57nσ(n)≡2 (mod φ(n))
0483１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:11:54先代の整数論問題スレにて既出。
v_2を計算すればいいだけ。はい終わり。
0484１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:14:320485１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:16:020486１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:20:3138165472
0487１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:21:16たしかロシアのコンテストの問題だっけな？
すくなくともコンテストの問題だ。
この問題では mod 5 でみるのは ほとんど役に立たない。
y^15＝2x^2－1 が成立してたとする。(x,yは正整数で x＞1とする)
(y^3+1)(y^12-y^9+y^6-y^3+1) = 2x^2
xが5で割り切れないならば 左辺の2つの因子は互いに素である。
ということは y^12-y^9+y^6-y^3+1が平方数であるといえる。
しかしこれが矛盾であることは簡単に示せる。 おわり。
0488１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:21:540489１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:25:44御法度だとおもう。そして出典かくのは礼儀。
コンテストの問題をつくったのは投稿した人とは別である。
拡張・改良すれば(程度によるけど)オリジナルだといっても差し支えない。
0490１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:26:54Find all prime numbers p,q＜2005 such that q|p^2＋8 and p|q^2＋8
0491１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:28:380492１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:35:04very easy 以下道筋
q|p^2＋8 and p|q^2＋8 ⇒ pq|8p^2+8q^2+64
8p^2+8q^2+64 = kpq
p,qがともに奇素数であるときを主に考える。
このときは 16|k であるといえるから、k=16n とすれば、
p^2+q^2+8 = 2npq が得られる。
ヴィエタジャンピングという手法により、
nの候補を簡単に絞ることができて、
あとは簡単な2元2次の不定方式を解くだけになる。
非常にルーチン。あたまは全く使わない。
0493１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:44:470494１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 17:49:15そのルール あんまり実用性がなくね？
日本人ばかりが見ているならば日本語のほうが通じる割合多いじゃん。
0495１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 18:09:23p,qが奇素数で、どれも5でないとする。
このとき、pq|5^p+5^q が成立しないことを示す。
v_2(q-1)≠v_2{(p-1)/2} と仮定しても一般性を失わない。
(∵v_2(q-1)=v_2{(p-1)/2}ならば v_2(p-1)≠v_2{(q-1)/2}であるから
このあとの議論をみればわかるとおり respectivelyである)
pq|5^p+5^q ⇒ p|5^q+5 ⇒ p|5^(q-1)+1
よって、とくに gcd(5^(q-1)+ 1,5^((p-1)/2)+1)＞2がいえる。
しかしながら 仮定より これはありえない。
(v_2が一致していないときは このような形の数のgcdは自明(1or2)である)
したがって、あとは pまたはqの片方が2の場合とか
5の場合を考えればよい。 おわり。
0496495
2010/10/29(金) 18:23:40p-1,q-1のv_2を考える太刀筋はＯＫ
v_2(q-1)＞v_2{(p-1)/2} と仮定しても一般性を失わない。
p|5^(q-1)+1 まで いえたら、 5の半位数をsとするとき、
とうぜん s|(p-1)/2 かつ s|q-1 がいえて、v_2(s)=v_2(q-1)である。
ということは s|(p-1)/2 から とくに v_2(s)≦v_2{(p-1)/2}
がいえるので あわせて v_2(q-1)≦v_2{(p-1)/2} となる。矛盾。
これで完璧だとおもう。 v_2(q-1)≦v_2{(p-1)/2} のときは
v_2(p-1)＞v_2{(q-1)/2} がいえるので respectively である。
0497１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 18:28:53a=bで与えられるものだけである。
(a^4＋a^3＋1)/(a^2･b^2＋ab^2＋1) が整数ならば、
{(a^4＋a^3＋1)-(a^2b^2+ab^2+1)}/(a^2･b^2＋ab^2＋1)
も当然で整数であるが、これの分子は (a^2-b^2)(a^2+a)となる。
a^2+aと分母が互いに素であることは容易に示すことができる。
a^2-b^2と分母の絶対値の大きさを比較することで a=bがいえる。
0498１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 18:32:310499１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 18:34:231, 1しかない
0500１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 18:47:14前スレ既出とかどうでもいいから、どんどん日本語に訳して貼れや！
酒のつまみが足りねんだよ
0501１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 18:58:30九九
0502１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 19:01:272*(2/3)^(1/2)
0503始末屋
2010/10/29(金) 19:20:27p=a^2+1, q=b^2+1 とおく。p＞q≧2と仮定しておく。
pq=c^2+1 より c＜pがいえる。
p|(c+a)(c-a) であるから c＜pとあわせて p|c+a がいえる。
c+a＜p+a＜2p であるから、c+a=p がいえる。
q＞2ならば a,c,pのパリティに矛盾がみえる。
q=2 のときは c+a=pを主に用いることで p=5がすぐにわかる。
0504始末屋
2010/10/29(金) 19:36:48(x,y)=(1,1)を除く範囲で考える。このとき、x,y＞1である。
つぎの②パターンが考えられる。
①x-y＞y, ②x-y＜y
x^y＝y^{x-y}
の両辺にv_pを取ると、
y*v_p(x) = (x-y)*v_p(y)
①の場合 v_p(x)＞v_p(y) がいえるので、x=ky (k:正整数)が取れる。
この場合、 x^y＝y^{ky-y} から k=y^(k-2) が得られて、
k≧2^(k-2)となるので k≦4 がいえる。
k=4のとき、y=2, k=3のとき、y=3, k≦2では矛盾。
②の場合は y=kx となり x^k＝y^{1-k} となる。これは矛盾。
解のすべては (x,y)=(8,2),(9,3),(1,1)
0505１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 19:43:11(b^n-1)/(b-1)=[b^(n-1)+b^(n-2)+...+b]+1
自然数kに対してb^kとbの偶奇は一致
[]内は奇数項の和
つまり[]は偶数
よって[b^(n-1)+b^(n-2)+...+b]+1は奇数
奇数となる平方数は～...と思ったけど
nが偶数じゃなくてbが偶数か
勘違い
0506始末屋
2010/10/29(金) 19:46:18(x－y)^z＝xy
z≧2と仮定する。
d:=gcd(x,y), x=ds, y=dtなる正整数s,tを取る。
d^(z-2)*(s-t)^z=st が得られる。
{d^(z-2)/(st)}*(s-t)^z=1 であり、{ }内は整数であるから、
(s-t)^z≦1 が得られる。
これから |s-t|=1が得られる。あとは簡単である。
0507１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 19:50:06(b^n-1)/(b-1)=[b^(n-1)+b^(n-2)+...+b]+1
で奇数
奇数の平方数は4m+1
よって[{b^(n-1)+b^(n-2)+...+b^2}+b]が4の倍数
つまりbが4の倍数
0509始末屋
2010/10/29(金) 20:00:00b≡2のとき (2^n-1)/(2-1)=2^n-1
2^n-1≡3,-1 である。ありえない。
b≡4のとき (4^n-1)/3≡-1/3 ありえない。
b≡6のとき、(6^n-1)/5≡ -1/5 ありえない
証明おわり。
0510始末屋
2010/10/29(金) 20:01:30-1/3, -1/5 が mod 8で平方数とならないことは
逆元を実際に計算することで 即座に確認できる。
0511１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 20:04:09a=1しかねーぞボケ
0512始末屋
2010/10/29(金) 20:05:08しかしそのときは -1になるから 結局矛盾。ＯＫ牧場。
0514１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 20:12:430515始末屋
2010/10/29(金) 20:18:08Σ[n=1,103]n^{p-1} ≡ 103-[103/p] ≡ 0 (mod p)
p|103-[103/p] を満たす奇素数pを全て求めればよい。
p＜103 であるのは明らかで、その範囲で探索すると p=3しかない。
>>445
n|3^n＋4^n を満たす正整数nを任意に取る。
nの最小の素因数をp＞3とすると、
(3/4)^n ≡ -1 (mod p) がいえる。
3/4の半位数をsとすると s|gcd((p-1)/2,n) がいえる。
pの最小性から s=1がいえるが、そのときは p=7となる。
0516始末屋
2010/10/29(金) 20:34:55x≧y≧1とする。
(x＋y)(1＋xy)＝2^z
y=1のとき (x+1)^2=2^z で、zは偶数で x=2^(z/2)-1 である。以下y＞1とする。
x,yはともに奇数であり、1+xy,x+yはともに2の巾で、指数は1+xyのほうが大。
x+y|1+xy がいえるから、x+y|(x+1)(x-1) がいえる。
4|x+1 か 4|x-1 である。 4|x+1 のときは
x+y|2(x+1) がいえる。(x+yが2の巾であることも使っている)
しかしこれは矛盾である。(∵k(x+y)=2(x+1)を満たす正整数mが取れないから)
4|x-1 のときは x+y|2(x-1) がいえて x+y=2x-2 ⇔ y=x-2 となる。
このとき xy+1=(x-1)^2 となるから x-1=2^mとなる。(m:正整数)
以上より求める全ての正整数x,y(x＞y)の組は
(x,y)=(2^m+1,2^m-1),(2^m-1,1)
0517始末屋
2010/10/29(金) 20:41:05正の約数のうち mod10で ±1になるものは ±3になるものより
多いか、または同じであることは良く知られている。それから直接従う。
0518始末屋
2010/10/29(金) 20:44:54問題文で意味がわからないところがある。
x,y,zは固定されているの？
それとも x+y+z=0を満たす任意の実数x,y,zで
等式が成立するような自然数m,nの組を求めろってこと？
0519１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 20:57:07ツッコミ： そもそも寿命がきっぱし整数値とは限らない
0520１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 21:01:51後者じゃね？
0522１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 21:16:01じゃあおやすみ～
0523１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 21:20:280524１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 22:21:16どんどん問題載せてもらう方がスレの趣旨に合ってるだろ
おまえらみたいに問題貼らないやつはどっか行けよ
0525１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 22:24:060526１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 22:25:470527１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 22:28:440528１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 22:29:550529１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 23:58:50与式 =k とおく。
x^2 +y^2 +2z^2 -ky(x+z) = {x -(k/2)y}^2 + 2{(k/4)y -z}^2 + {1 - (3/8)k^2}y^2,
が常に≧0 だから |k| ≦√(8/3),
>>478
y^15 + 1 = (y+1)(y^2 -y+1)(y^4 -y^3 +y^2 -y+1)(y^8 +y^7 -y^5 -y^4 -y^3 +y+1),
を使えないか？
0530１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 00:21:04(3) ∫[0,1] {1/x}^3 dx
ただし
Σ[k=1,N] log(k) = log(N!) = (N +1/2)log(N) -N +(1/2)log(2π) +1/(12N) + O(1/N^3),
Σ[k=1,N] k･log(k) = (1/2)(N^2 +N +1/6)log(N) -(1/4)N^2 + (3/8)log(2π) -(10+γ)/24 +…,
0531１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 00:37:160532１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 03:53:50解答の検討も必要で 負担量増大。
0533１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 04:18:36それからkの最小値でるかね？
kの絶対値を上から抑えてもあまり嬉しくないとおもう。
0534１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 05:59:01r=(p-1)/2 とおくと p=2r+1, q=3r-1
一般に 2/{a(a+1)(a+2)} = 1/a -2/(a+1) +1/(a+2)
よって 2S(q)= -1 +Σ[a=1,q+2] 1/a -Σ[b=1,r] 3/(3b) = -1 +Σ[a=r+1,3r+1] 1/a
(m-n)/n
= 1/p - {S(q)+1}
= -Σ[a=r+1,2r] 1/a -Σ[a=2r+2,3r+1] 1/a
= -Σ[c=1,r] {1/(r+c) +1/(3r+2-c)}
= -Σ[c=1,r] (2p)/{(r+c)(3r+2-c)}
最後の和の各項の分母はpで割り切れず、分子はpの倍数だから、結局m-nはpの倍数となる （証明終）
0535１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 06:08:19フィボナッチ数列F[n+2]=F[n+1]+F[n],F[1]=F[2]=1において
任意の自然数kにおいてkの倍数の項が
0536１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 07:09:11a=bで無限個
a=b以外にはない
0537１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 08:54:510538１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 08:55:400539１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 15:09:41Σ（k＝1⇒n）1／X（k）＝r
を満たすX（k）∈Nの組
｛X（1），X（2），・・・X（n）｝
の個数は有限であることを示せ
0540１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 16:17:39X（1）＋X（2）＋・・・＋X（n）＝X（1）・X（2）・・・X（n）
の正の整数解〔X（1）、X（2）、・・・、X（n）〕を考える
任意のnに対して解は少なくとも一つ存在し、
かつ有限個しかないことを示せ
0541１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 17:03:10各正整数nに対して命題P(n)を以下のように定める。
[命題P(n)]
どんな有理数rに対しても、
Σ[k=1,n]1/X(k)=r を満たす
X(1),X(2),..,X(n)∈Z+の個数は有限である。
任意の正整数nに対して命題P(n)が真であることをnに関する帰納法で示す。
n=1 のとき、P(n)は明らかに正しい。
ある正整数dが存在して、P(d)が真であると仮定する。
任意に有理数rを与え、あるX(1),X(2),..,X(d+1)∈Z+に対して、
(ただし、X(1)≧X(2)≧...≧X(d+1) であるとしておく)
Σ[k=1,d+1]1/X(k)=r が成立していたと仮定する。
このとき、すぐわかるように rは正の有理数である。(とくに0でない)
r≦Σ1/X(d+1)=(d+1)/X(d+1) だから、
X(d+1)≦(d+1)/r であることがいえる。
そして Σ[k=1,d]1/X(d) = r-1/X(d+1)∈Q であること、
および、P(d)が真であることから、P(d+1)が真であるといえる。
0542１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 17:40:39どんな整数n≧2に対しても
X(1)=n,X(2)=2,X(3)=X(4)=...=X(n)=1
(n=2のときは X(1)=X(2)=2 とする)
が方程式の解の1つを与える。
各整数n≧2に対して命題P(n)を以下のように定める。
[命題P(n)]
どんな正整数s,非負整数tに対しても、
sΠX_i-ΣX_i=t を満たす
X(1),X(2),..,X(n)∈Z+の個数は有限である。
任意の正整数nに対して命題P(n)が真であることをnに関する帰納法で示す。
n=2 のとき sX(1)X(2)-X(1)-X(2)=t ⇔ (sX(1)-1)(sX(2)-1)=st+1
であるから 明らかに真である。
ある正整数d≧2が存在して、P(d)が真であると仮定する。
任意に正整数s,非負整数tを与え あるX(1),X(2),..,X(d+1)∈Z+に対して、
(ただし、X(1)≧X(2)≧...≧X(d+1) であるとしておく)
sΠX(i)-ΣX(i)=t が成立していたと仮定する。
z=X(d+1)とおくと すぐわかるように ΠX(i)-ΣX(i)≧z^(d+1)-dz がいえる。
ということは dのみに依存するある定数Cが存在していて、z＜C である。
そして szΠ[i=1,d]X(i)-Σ[i=1,d]X(i)=t+z であることから、
P(d+1)も真であるといえる。よって帰納法は完成したといえる。
0543１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 17:44:33より強いものを示すことを考えるということだろうか。
0544１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 17:48:20しかしながら X(1)からX(d)の取り方に依存していないので問題なし。
0545１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 23:36:19① Π[p＜n]p ＜ e^n これは正しいかどうか。
② 非負整数全体の集合をXと書くことにする。
a1，a2，…，an 及び b1，b2，…，bnは正の実数とする。
f：X^n→X を f(x1，x2，…，xn)＝Σ[i＝1,n] [ai*(xi)^bi] で定める。
Σ[i＝1,n]1/bi＜1のとき、X－Im(f)に無限個の素数が含まれていることを示せ。
③自然数Nの10進表示を a[1]a[2]..a[n] 等とする。
N = (a[1]+2)*(a[2]+2)*...*(a[n]+2)
を満たすような自然数Nを全て求めよ。
④下に与えられた整数a，bのそれぞれに対し，最大公約数を計算し，
ｘａ＋ｙｂ＝（ａ，ｂ）である整数ｘ，ｙをそれぞれ見つけよ
(1)14と35 (2)252と180 (3)6643と2873 (4)272828282と3242
⑤次の7つの条件を満たす4つの整数を求めよ。
1) すべて2000以上4000未満である。
2) 4つのうち1つだけは偶数である。
3) 3つは3で割りきれ、残り1つは3で割ると1余る。
4) 各位の数の和は3であるものが2つ、4であるものが1つ、9であるものが１つである。
5) 4つのうちの2つの数の差は、最も小さい組が9、最も大きい組が1000である。
6) 最も大きい数を除く3つの数の差は、どの2つをとっても200より小さい。
7) 4つのうち1つの数は、81で割ると36余る数である。
⑥ 21個の連続した自然数であって、
どの数も13以下の1個以上の素数で割り切れるものは存在するか？
0546１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 23:39:26⑦(m,n)＝(2,3),(2,5),(3,2),(5,2)のとき、
x+y+z=0を満たす任意の実数x,y,zに対して
(x^{m+n}＋y^{m+n}＋z^{m+n})/(m＋n)＝(x^m＋y^m＋z^m)(x^n＋y^n＋z^n)/mn
が成り立つことが分かっている。他に整数解(m,n)は存在するか？全て求めよ
⑧以下の条件を満たす正の整数(a,x,y,n,m)の組をすべて求めよ
a(x^n－x^m)＝(ax^m－4)y^2
m≡n (mod 2) かつ ax は奇数
⑧a^2005＋b^2005 は a＋b と ab の多項式で表すことができます
この多項式の係数の合計を求めなさい
⑨以下の条件を満たす最小のａを求めよ
ただし、ｍ，ｎ は正の整数とする
(ア) a＞5
(イ) a＝m[1]^2＋n[1]^2
(ウ) a^2＝m[2]^2＋n[2]^2
(エ) m[1]－n[1]＝m[2]－n[2]
0547１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 23:39:29④はa,bの最大公約数で割るといいだけのカス
0548１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 23:40:19⑩ ∫[0,1] {1/x}^3 dx を計算せよ。
⑪以下の条件を満たす a_(n) を求めよ
a_(1)＝1/2, a_(1)＋a_(2)＋…＋a_(n)＝n^2・a_(n) (∀n∈Z+)
⑫ ある6桁の回文数は95で割り切れ、
しかもその数も回文数になるという。このような数をすべて求めよ。
⑬ (2^a+4^b)/(2^b+4^a)が整数となるような自然数(a,b)の組を求めよ
⑭ gcd{abcd|a,b,c,d,e∈Z,a^4+b^4+c^4+d^4=e^4} を計算せよ。
⑮ 次の条件を満たすようなP∈Z[X]は存在するか。
[条件]
P(n)=4 を満たすn∈Zが少なくとも4つ存在していて、
しかも P(n)=6 を満たすようなn∈Zも存在している。
0549１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 23:43:30Bは
a=bだって
0550１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 23:46:120551１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 23:47:34というのも まず あきらかに b≧a であり、
(分子-分母)/分母 も整数でないといけないけど、
(2^(b-a)-1)(2^b+2^a-1)/(2^(b-a)+2^a) が整数だから、
もし b＞aとすると、分子は奇数で、分母が偶数となって不適。おわり。
0552１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 23:51:47バカは死んでください
0553１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 23:58:188-1, 8-2 などと区別しておいてください^^;;
0554１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 00:20:178-2
a^n+b^n=Σ[i,j≧0]x_[i,j]{(a+b)^i}*{(ab)^j}
としたとき、a=(1+i√3)/2 , b=(1-i√3)/2 とおけば
a+b=1 ab=1 より
Σ[i,j≧0]x_[i,j]=Σ[i,j≧0]x_[i,j]{(a+b)^i}*{(ab)^j}=a^n+b^n
0555１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 00:43:190556１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 01:10:08④
5n-2, 1-2n
7n+3, -5n-2
511 n+37, -221n-16
36414141n-58655556, 697-1621n
0557１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 01:16:54なんか面白い性質見つかった？
それともただ大きい数字なだけ？
0558１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 01:30:2720連続なら存在することが簡単に示せる。
21連続で存在しない証明は非常にドカタ的にできる。
一瞬で ズバリと切り裂く方法は知らない。
ドカタ的でもいいなら公表しよう。できれば頭の良い方法が知りたいｗ
0559１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 01:41:370560１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 01:44:11簡単すぎー
0561１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 01:46:420562１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 01:48:53どこが難しんだよ
a=5
b=3
0563１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 01:48:56一応解いてみては？
0564１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 01:51:21それが全ての解であることの根拠は？
0565１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 01:52:341) すべて2000以上4000未満である。
2) 4つのうち1つだけは偶数である。
4) 各位の数の和は3であるものが2つ、4であるものが1つ、9であるものが１つである。
5) 4つのうちの2つの数の差は、最も小さい組が9、最も大きい組が1000である。
6) 最も大きい数を除く3つの数の差は、どの2つをとっても200より小さい。
7) 4つのうち1つの数は、81で割ると36余る数である。
1),2),4),5) より、最大の数は3001, 最小の数は2001であるといえる。
もう2つの数のうち 片方は2010であることがわかる。
最後の1つを81k+36 とおく。|2001-(81k+36)|＜200 だから、
22≦k≦26 がいえる。k=22,23,24,25,26 をすべて試すと、
1818, 1899, 1980, 2061, 2142 となる。
この中で 奇数かつ 各桁の和が9であるのは 2061だけである。
以上より求める4数は 2001, 2010, 2061, 3001 といえる。
0566１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 01:54:18え？わかんないの？
0567１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 01:55:23お前は素で馬鹿のようだな。
0568１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 01:57:51その問題は初等数論の方法は一応知られているけど、(テクニカル過ぎる)
君は そこに書き込んだからには それを想定しているのかな？
一番の頭を使わない方法は
整数環Z[√-2]がUFDであることを用いる方法。
Z[√-2]の単数は±1しかないから、この方法で 瞬殺できるわけ。
てか、それオリジナル問題じゃないよね？
拡張を考えろってこと？
どういう拡張を考えるつもり？
この手の問題の拡張に 無理があることは承知のはず。
0569１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:01:27うん。一応オリジナルの問題ではない。すまない。
だけど、こういう簡単そうな問題に限って、難しいというのが印象的だった。
拡張が無理だというのは承知してます
0570１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:08:460571１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:11:4810は2を素因数としてもつことに注意し、
mod 1000で考えればいい。つまり 2^n≡888 (mod 1000)を解けば良い。
これは まさに 単純労働。
0572１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:12:37おいおいどんな数列になるんだよ
0573１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:15:39というか 2^nの下3桁が 888になることはないようだね。
というのも 888は16で割り切れないから。 ふぁっくゆう！
0574１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:21:340575１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:24:26ただし、⑥については >>558 がコメントしているので注意。
0576１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:26:122^39
はい論破
0577１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:26:31x=Σ[n=1,3] a[n]{10^(n-1) +10^(6-n)}
95|xだから5|x よって5|a[1], 0<a[1]<10より a[1]=5
19|xだから 3*5+6a[2]+12a[3]+5a[3]+10a[2]+5≡0 mod 19
3a[2]+2a[3]≡1 mod 19
a[3]≡10-11a[2] mod 19
a[2], a[3]は1桁の非負整数なので
(a[2],a[3])=(2,7),(4,4),(6,1),(7,9),(9,6)
527725=95*5555
544445=95*5731
561165=95*5907
579975=95*6105
596695=95*6281
よって求める回文数は527725
0578１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:29:590579１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:31:030580１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:31:58(解いたわけではない。直感で判定)
[ぶっちぎりで難しい]
①と③
[かなり難しい]
②と⑧ (8-1のこと)
[難しい]
⑨, ⑩, ⑭, ⑮,
[ふつう]
⑦, ⑫
0581１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:34:33失礼。 1000=2^3*5^3 やったね。
1000=2^4*5^4 に脳内変換されていた。
まあ解きますから 見守ってくださいね。
0582１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:39:34たとえば、gcd{2,4,10,12} = 2 であることはすぐわかるだろう。
問題に近い例だと gcd{xyz|x,y,z∈Z, x^2+y^2=z^2} が計算できる。
x^2+y^2=z^2の整数解は無限にあるけど、
xyzという数がそれの整数解に対応して動くとき、
gcdは実は60であることがよく知られている。
きちんと証明するならば まず 3^2+4^2=5^2 に着目する。
これから 当然 gcdは60以下であることがいえる。
あとは x^2+y^2=z^2 ならば 60|xyz を示せば gcd=60 が示されたことになる。
0583１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:41:46そんなことは知っている
0584１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:44:15下k桁の場合は？
0585１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:44:32>>579 に対してのレスのつもり。
だから問題の意味は たぶん はっきりしている。
実際 a^4+b^4+c^4+d^4=e^4 は非自明な整数解を持っているゆえ
gcdはきちんと有限な数として定まっているから。
0586１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:46:57え？はっきりしてるの？たぶんなの？
0587１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:51:39わたしが挙げた問題じゃないんで
たとえば abcd は abcde の入力ミスかどうかは わからない。
ただ 私的には どちらでもあまり問題は変わらないように思える。
そういう意味で "たぶん" ということｗ
0588１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:54:12条件よりP(X)-4=(X-a)(X-b)(X-c)(X-d)*Q(X) (a,b,c,dは整数でa<b<c<d, Q∈Z[X]) 右辺をR(X)とおく。
nがa,b,c,dのいずれも異なるときn-a, n-b, n-c, n-dは4つの異なる0でない整数であるから、
その積の絶対値は|(n-a)(n-b)(n-c)(n-d)|≧|2*1*(-1)*(-2)|=4
一方、Q(X)∈Z[X]は整数nに対してQ(n)=0でなければ|Q(n)|≧1
よって、R(n) (n：整数)は0でなければ絶対値4以上なので、P(X)-4=2となることはない。
以上より、条件を満たすようなP∈Z[X]は存在しないことがわかった。
0589１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:56:591つは 2^n≡888 (mod 5^3), 2つは 2^n≡888 (mod 2^3)
前者は 2^n≡13 (mod 125), 後者は 2^n≡0 (mod 2^3) に同値。
後者は n≧3ならば 自動的に満たされる。
ゆえに 前者についてだけ考えれば十分である。
しかし 2はmod 5での原始根の1つであり、v_5(2^4-1)=1なので、
2^x≡13(mod 125)を満たすxは mod 100の範囲にただ１つだけ存在する。
>>576 が言ってくれているように x=39は１つの解を与える。
ということは自動的に x≡39 (mod 100)が求める解である。
したがって求める数列は初項39,公差100の等差数列である。
>>570 こんな感じでどうでせうか。
0590１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 03:06:59しかも 5と互いに素であるかぎり、存在がいえて、
求める数列は とにかく公差 4*5^(k-1)の等差数列。
初項を一般の場合で求めるのは
いわゆる離散対数問題となり 一般に未解決である。
0591１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 03:08:280592１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 03:09:290593１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 03:10:540594１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 03:18:46頭が良い方法ですね！ すばらしい。
ただ、たとえば P(n)=6 ではなくて =9 だとしたら
その解答は そのままでは通用しないでしょう。
というのも 9-4=5＞4 ですからね。
なにがいいたいかというと
9-4が素数であるとみるのも1つの見方だとおもうということです。
(少なくとも4つが意味するところの本質だということ。本題では6-4が素数)
そういう見方でみるならば、たとえば
P(X)=4+(X-a)(X-b)(X-c)(X-d)*Q(X) と書くとして
P(n)=9 を満たす整数nが存在したとしたら、
(n-a)(n-b)(n-c)(n-d)*Q(n) = 5
整数環Zの単数は±1だけですから Zの分解の一意性より矛盾です。
0595１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 03:40:04n^4 mod 5 =0 or 1
n^4 mod 100 = 0, 1, 16, 21, 25, 36, 41, 56, 61, 76, 81, 96
0596１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 03:46:33うおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおお
ひらめいた
0597１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 04:02:450598１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 04:39:360599１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 04:40:590600１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 04:51:590601１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 04:52:500602１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 05:36:16簡単のため、B ＝ Σ[i＝1,n]1/bi と置く。仮定から0＜B＜1である。
Mを自然数とする。集合A_Mを
A_M ＝ Im(f)∩{ 1,2,…,M }
と定める。すなわち、Im(f)の元でM以下であるものの集合がA_Mである。
｜A_M｜を評価する。m∈A_Mならば、m ＝ f (x1，x2，…，xn)を満たす
非負整数x1,…,xnが取れる。m≦Mだから、各iごとに ai*(xi)^bi≦M が
成り立つ。特にxi≦(M/ai)^{1/bi} である。この条件を満たすxiは
xi ＝ 0,1,2,…,[ (M/ai)^{1/bi} ] の[ (M/ai)^{1/bi} ] + 1 個しか無い。
よって、
｜A_M｜≦Π[i＝1～n]( [ (M/ai)^{1/bi} ] + 1 )
が成り立つ。右辺はM→∞のときＯ(M^B)であるから、0＜B＜1に注意して、
lim[M→∞]｜A_M｜/{M/log(M)} ＝ 0 …(*)
が成り立つことになる。
もしX－Im(f)に素数が有限個しか含まれてないとすると、
そのような素数を小さい方から順番にp1,p2,…,pkとすれば、
Im(f)はp1,p2,…,pk 以外の全ての素数を含むことになる。特に、
pk＜M のとき常に
π(M)－k ≦ ｜A_M｜
が成り立つ。ただし、M以下の素数の個数をπ(M)と置いた。
上の不等式の両辺を{M/log(M)}で割ってM→∞とすると、
左辺は素数定理により1に収束するが、右辺は(*)によって
0に収束するから、矛盾する。
0603１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 05:44:290:0:0:0, 0
0:0:0:1, 1
0:0:0:16, 16
0:0:0:21, 21
0:0:0:25, 25
0:0:0:36, 36
0:0:0:41, 41
0:0:0:56, 56
0:0:0:61, 61
0:0:0:76, 76
0:0:0:81, 81
0:0:0:96, 96
0:0:16:25, 41
0:0:25:36, 61
0:0:25:56, 81
0:0:25:76, 1
0:0:25:96, 21
1:25:25:25, 76
21:25:25:25, 96
25:25:25:25, 0
25:25:25:41, 16
25:25:25:61, 36
25:25:25:81, 56
0604１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 06:15:13誤差の範囲内で実数の組の自然数比 n1,...,nK を求めるアルゴリズムはありますか？
(例) 14.5, 28.2, 7.1 → 2:4:1
連分数展開(互除法)のような発想かもと思ったのですが違う気もします。
一応、相対誤差を使って問題を定式化してみました。
定式化の仕方が悪い可能性もあります。
"条件ε > max[i]{ |ri-αni|/α } を満たす
正の実数αと自然数n1,...,nKで
max[i]{ni}を最小にするものを求めよ。"です。
0605１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 06:18:40. 1,. 2,. 3,. 4,. 5,. 6,. 7,. 8,. 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21
. 2, .. ,. 2, .. ,. 2, .. ,. 2, .. ,. 2, .. ,. 2, .. ,. 2, .. ,. 2, .. ,. 2, .. ,. 2, .. . ,2
. 2,. 3,. 2, . .,. 2, .. ,. 2,. 3,. 2, .. ,. 2, .. ,. 2,. 3,. 2, .. ,. 2, .. ,. 2,. 3,. 2
. 2,. 3,. 2, . .,. 2,. 5,. 2,. 3,. 2,. . ,. 2, .. ,. 2,. 3,. 2,. 5,. 2, .. ,. 2,. 3,. 2
. 2,. 3,. 2,. 7,. 2,. 5,. 2,. 3,. 2,. . ,. 2, .. ,. 2,. 3,. 2,. 5,. 2,. 7,. 2,. 3,. 2
. 2,. 3,. 2,. 7,. 2,. 5,. 2,. 3,. 2,11,. 2,13,. 2,. 3,. 2,. 5,. 2,. 7,. 2,. 3,. 2
x≡0 mod 2 ,x≡2 mod 3 ,x≡0 mod 5 ,x≡4 mod 7 ,x≡2 mod 11 ,x≡2 mod 13
x≡9440 mod 30030
9440～9460の連続した21個の整数はすべて2,3,5,7,11,13のどれかで割り切れる。
上の表の最下段で、11と13を逆にすると、対応するのは20570～20590の21個。
mod 30030=2*3*5*7*11*13 ではこの2種類しかない。 続く。
0606１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 06:23:5622個連続の場合がありえないのは次のように示せる。
ある22個の連続した自然数の集合をAと置く。
また、Aに含まれる自然数のうち、最小の素因数がpのものの個数をA(p)とする。
Aには13の倍数が1～2個含まれるが、うち1つは必ず2の倍数なのでA(13)≦1。
11についても同様にして、A(11)≦1。
Aには7の倍数が3～4個含まれるが、4個あった場合、うち2つは2の倍数で、3の倍数も1つ含まれる。
2の倍数のうち1つを6の倍数と取れば、最小の素因数が7のものは多くても2個。
7の倍数が3個含まれた場合も同様にして最小の素因数が7のものは多くても2個。よってA(7)≦2。
Aには5の倍数が4～5個含まれるが、5個の場合、うち少なくとも1つは3の倍数。
これが6の倍数の場合、5の倍数5個には2の倍数が3つ含まれるので最小の素因数が5のものは多くても2個。
その他の場合も2と3の倍数を数えることで、A(5)≦2とわかる。
Aには3の倍数が7～8個含まれるが、2の倍数を除けばA(3)≦4
2の倍数は11個なので、A(2)=11
以上からA(2)+A(3)+A(5)+A(7)+A(11)+A(13)≦11+4+2+2+1+1=21
よってAには最小の素因数が13より大きいものが必ず1つ含まれる。
0607１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 06:24:54つまり ⑥は存在する が答えか。
0608１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 06:45:14先生は多分「ランチ」と答えさせたかったのだろうが、Sには分からないようだった。
先生は「お前がいつも食ってるヤツや。それを英語っぽく言うてみい」とヒントを出してくれた。
十数秒後、Sの口から「ヴェントゥー（弁当）」という誰も予想しなかった核爆弾級の言葉が発射された。
0609１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 07:29:17> 実際 a^4+b^4+c^4+d^4=e^4 は非自明な整数解を持っている
うそつきーーーーーーーー
しねーーーーーーーーーー
0610１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 09:00:000611１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 09:33:390612１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 09:48:360613１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 09:49:229時ジャストをお知らせしますん
0615１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 10:26:51くわしくーーーーーーー
0616１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 11:00:00１５３０＾４＋８０１０＾４＋９４９８＾４＋１３３５５＾４＝１４４８９＾４。
0617１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 11:24:16だから求めるのは1000の約数である必要が
0618１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 11:29:49つまり候補は
125
250
375
500
625
750
875
1000
0619１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 11:35:11125
250
500
1000
0620１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 11:40:00ｘ＾４≡０，１（ｍｏｄ．５）。
0621１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 11:41:570622１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 11:47:150623１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 11:50:280624１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 15:01:53０も許せば
0^4 + 95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4, (R.Frey,1988)
0^4 + 2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4, (N.D.Elkies,1987)
> 実際 a^4 + b^45 +c^5 = d^5, も非自明な整数解を持っている.
0625１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 15:18:45整数は0を含んでいるから 許されている。
しかしながら その解自体は 解答に役に立たない。
0626１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 15:33:400627１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 15:56:17∫(1/(n+1),1/n) {1/x}^3 dx = ∫(1/(n+1),1/n) (1/x - n)^3 dx
= ∫(1/(n+1),1/n) （1/(x^3) -3n/(x^2) +3(n^2)/x - n^3）dx
= （-1/(2x^2) +3n/x +3(n^2)log(x) - (n^3)x）(x=1/(n+1),1/n)
= (1/2)(n+1)^2 -(1/2)n^2 -3n +3(n^2)log(n+1) -3(n^2)log(n) -(n^2)/(n+1)
= (3/2)(n-1)^2 -(3/2)n^2 +3(n^2)log(n+1) -3(n^2)log(n) -1/(n+1),
∫(1/N,1) {1/x}^3 dx = (n=1,N-1)∫(1/(n+1),1/n) {1/x}^3 dx
= -(3/2)(N-1)^2 +1 +(3N^2 -1)log(N) -6(k=1,n) k･log(k) +3log(N!) -(1 + 1/2 + 1/3 + …… +1/N -log(N))
→ 2 - (3/4)(γ+log(2π))
= 0.1886804515168412418746213278300…
(4) m≧1 のとき
I_m = ∫[0,1] {1/x}^m dx < 1/(m+1),
0628１３２人目の素数さん
2010/11/01(月) 00:08:24①,③,⑧(8-1),⑨, ⑦
このうちの⑨,⑦以外は異様に難しきがする。
8-1は問題の精神が理解できない。
これはデタラメに作成したの？ (8-1の作者宛て)
0629１３２人目の素数さん
2010/11/01(月) 00:20:050630１３２人目の素数さん
2010/11/01(月) 00:20:270631１３２人目の素数さん
2010/11/01(月) 00:29:54おそらく >>545 のことを指しているのだとおもう。
つまり番号付けされた問題の一覧のことだとおもう。
⑨のaは存在している。最小のaはだいたい200前後だとおもう。
⑨は見掛け倒しで実は大して難しくない。体育会系の問題。
段違で難しいのは 明らかに ①,③,8-1
0632１３２人目の素数さん
2010/11/01(月) 01:04:59a^2=m[2]^2+n[2]^2=4m+4n
m[1]-n[1]=m[2]-n[2]
m=n
a=2n
a^2=8n=4n^2
n=2
a=4
0633１３２人目の素数さん
2010/11/01(月) 01:15:220634１３２人目の素数さん
2010/11/01(月) 01:35:5610^2=8^2+6^2, 8-6=2
0635１３２人目の素数さん
2010/11/01(月) 01:55:080636634
2010/11/01(月) 04:05:40a^2=m[2]^2+n[2]^2 の正整数解は a=s^2+t^2, m[2], n[2] の一方が s^2-t^2, 他方が 2st (s,tは正整数でs>t>0) だから、
m[1]=s, n[1]=t としてよい。このとき条件から ±(s-t) = (s^2-t^2)-2st、変形して {2(s-t)±1}^2-2(2t)^2=1
つまり (x,y)=(2(s-t)±1, 2t) は x^2-2y^2=1の正整数解。これは良く知られているように(1-√2)^(2n)の展開から得られる。
n=1: s=2 or 3, t=1; a=5 or 10 ←⑨の答
n=2: s=14 or 15, t=6; a=232 or 261
n=3: s=84 or 85, t=35; a=8281 or 8450
n=4: s=492 or 493, t=204; a=283680 or 284665
n=5: s=2870 or 2871, t=1189; a=9650621 or 9656362
等々。
0637１３２人目の素数さん
2010/11/01(月) 04:21:281/x は下に凸だから
1/(n+1) < x < 1/n のとき {1/x} = 1/x - n < (n+1)(1-nx),
∫[1/(n+1),1/n] {1/x}^m dx = ∫[1/(n+1),1/n] (n+1)^m･(1-nx)^m dx
= ∫[1/(n+1),1/n] (n+1)^m･(1-nx)^m dx
= 1/{(m+1)n(n+1)} [ -(n+1)^(m+1)･(1-nx)^(m+1) ]（1/(n+1),1/n）
= 1/{(m+1)n(n+1)}
= {1/(m+1)}{1/n - 1/(n+1)},
∫[1/N,1] {1/x}^m dx = {1/(m+1)}納n=1,N-1] {1/n - 1/(n+1)}
= 1/(m+1) (1 - 1/N)
< 1/(m+1),
>>530 (3) は >>548 ⑩
0638１３２人目の素数さん
2010/11/01(月) 09:28:26⑨は多分, x,yは互いに素が抜けている。
その場合は a=10は不適となる。
なぜそう思うかというと もとの問題はコンテストの問題で、
互いに素が抜けている以外まったくおなじだから。
、
m[1]=s, n[1]=t としてよいとかいってしまうと、
最小のaを取り逃す危険性がある。
0639638
2010/11/01(月) 09:29:340640１３２人目の素数さん
2010/11/01(月) 21:23:33なんだから
m[2]=m×[2]=2m
0641１３２人目の素数さん
2010/11/01(月) 21:45:440642shin hattori
2010/11/01(月) 22:22:30コンピュータで弾き出した。
32043^2 = 1026753849
32286^2 = 1042385796
33144^2 = 1098524736
これで全て。
0643１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 15:49:5915^2010 を 128 で割った余りを正の数で答えよ。
＜解答案＞
15^k≡1 (mod 128) となる自然数 k を探すと k＝8 が見つかる。従って、
15^2010≡15^2≡225≡97 (mod 128)
これだと k＝8 まで地道にやんないといけないよね？
何かもっといい方法ないかね？
0644１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 16:27:102010 ≡ -6, (mod 16)
二項展開により
15^2010 = (16-1)^2010
≡ -2010*16 + 1 (mod 16*16)
≡ 6*16 + 1 (mod 16*16)
= 97
とか
0645１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 16:36:00Σ[k=1,N] k･log(k) = (1/2)(N^2 +N +1/6)log(N) -(1/4)N^2 +0.2487544767… +0.00141/N^2 - …
>>627
I_3 = 0.1870730745…
0646１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 16:44:4516と1に分けるのか
その発想はなかったわ・・・常套手段なのか？ 覚えておこう
0647shin hattori
2010/11/02(火) 17:13:29君の方法は頭がいいとおもう。
実はk=8はほぼ一瞬で見つかるからね。
次の定理は良く知られている。証明は簡単。よく使うので要記憶。
aが奇数, kが偶数のとき v_2(a^k-1)=v_2(a^2-1)+v_2(k)-1
(注意:もう少し一般化が可能である)
これを使えば v_2(15^2-1)=5 より 15^8≡1 (mod 128)がいえる。
0648１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 17:23:070649１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 17:31:03(a^2-1が2で割り切れる回数)+(kが2で割り切れる回数)-1
例) 3^88-1が2で何回割り切れるかを求めたいとする。
3^2-1は2で3回割り切れて 88は2で3回割り切れるから、
3+3-1=5 となり 3^88-1 は 2で5回割り切れるとなる。
0650１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 19:56:26（ただしn≧3）
このn枚のカードから無作為に同時に三枚のカードを取り出す
書かれた数字の積の期待値をE（n）で表す
このときlim［n→∞］E（n）／n＾3を求めよ
おもろい問題見つけた
0651１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 20:30:270652１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 20:34:33スレチ。
lim［n→∞］(1/n^3)(1/n^3)(1+2+...+n)(1+2+...+n)(1+2+...+n) = 1/8
0653１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 20:36:23それは復元抽出の場合である。
0654１３２人目の素数さん
2010/11/03(水) 00:37:40出た数字を i, j, k とする。
納i=1,n] 納j≠i] 納k≠i,j] ijk
= 納i=1,n] i*{納j≠i] j*{納k≠i,j] k} }
= 納i=1,n] i*{納j≠i] j*{n(n+1)/2 -i -j} }
= 納i=1,n] i*{n(n+1)[(n-1)(3n+2)/12 -i] + 2i^2}
= (1/8)(n-2)(n-1)n^2･(n+1)^2,
E(n) = {1/(n-2)(n-1)n} 納i=1,n] 納j≠i] 納k≠i,j] ijk
= (1/8)n(n+1)^2,
>>653
復元の影響は O(1/n) で効いて来るが、nが大きいときは無視できるかも。
0655１３２人目の素数さん
2010/11/03(水) 00:50:26なんでここにΣの計算問題を挙げたのかｗ 意図がわからないｗ
0656１３２人目の素数さん
2010/11/03(水) 12:06:150657１３２人目の素数さん
2010/11/03(水) 16:21:02a^4+b^4+c^4+d^4=e^4となるものを見つけ出せ
0658１３２人目の素数さん
2010/11/03(水) 16:42:45n!がn^2の倍数となるような自然数nを全て求めよ
0659１３２人目の素数さん
2010/11/03(水) 16:45:24610, 616 のレスにいくつかの正整数解があるんだけど。
それを使わないとしても d=0に固定してから
エルキースがみつけたオイラー予想の反例を用いればいい。
全て見つけるのは未解決問題。
なにがしたい？？
0660１３２人目の素数さん
2010/11/03(水) 16:54:094または素数でない自然数すべて
0661１３２人目の素数さん
2010/11/03(水) 16:54:37なんつうか投げやりな入試問題やね。オリジナル性のカケラすらない。
n^2|n! ⇔ n|(n-1)! (n:正整数) に注意すればよい。
n=1のとき これは成立している。
nが素数であるとき あきらかにこれは成立しない。
nが合成数であるとき nの最小の素因数pを取ると
当然、1＜p≦n/p＜n がいえる。
もし、n/p＞p であるならば あきらかに n=p*n/p|(n-1)^2 である。
n/p=p であるときは n=p^2 である。
p≧3であるならば、1＜p＜2p＜p^2=n であるから
p*2p|(n-1)^2 がいえるので とくに p^2|(n-1)^2 がいえる。
p=2 であるとき n=4 で このときは n|(n-1)! は成立していない。
したがって、 n|(n-1)|! ⇔ nが4を除く合成数である
0662訂正
2010/11/03(水) 16:56:18(n-1)^2 ではなくて (n-1)! が正しい。
0663１３２人目の素数さん
2010/11/03(水) 17:36:59http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2011/11tokoAO.htm
0664１３２人目の素数さん
2010/11/03(水) 17:40:394または素数でない自然数すべて
1=<与式<2
n=2^k (k=1,2,3,......,)
3,4,6,9,18
簡単すぎんこ
0665１３２人目の素数さん
2010/11/03(水) 19:29:23n=2p,3p,...,p^2
0666１３２人目の素数さん
2010/11/03(水) 20:44:398!=87654321/88
10!=10987654321/1010
9!=987654321/99
0667cat bites dog
2010/11/03(水) 22:13:37720\/7}, {8, 630}, {9, 4480}, {10, 36288}, {11, 3628800\/11}, {12,
3326400}, {13, 479001600\/13}, {14, 444787200}, {15, 5811886080}, {16,
81729648000}, {17, 20922789888000\/17}, {18, 19760412672000}, {19,
6402373705728000\/19}, {20, 6082255020441600}, {21,
115852476579840000}, {22, 2322315553259520000}, {23,
1124000727777607680000\/23}, {24, 1077167364120207360000}, {25,
24817936069329577574400}, {26, 596585001666576384000000}, {27,
14936720782466875392000000}, {28, 388888194657798291456000000}, {29,
304888344611713860501504000000\/29}, {30,
294725399791323398484787200000}}\)
0668１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 01:38:21自然数nについて、
Π(n) = Π(n-1) + 1
を満たすnの条件を求めよ。
0669１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 01:39:54つまんね
0670１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 01:55:160671１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 01:57:030672１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 02:01:030673１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 02:03:190674１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 02:04:01あきらかに nが素数のときに成立し またそのときに限る。
ちょっとひどくない？？
0675１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 02:07:42様子を待ってよう
0676１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 02:49:28ありがとう
0677１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 03:21:55F(0) = 0, F(1) = 1, F(n+2) = F(n+1) + x^n F(n).
このとき、任意の自然数nに対して、
F(5^n) は 1 + x + x^2 + … + x^(5^n - 1) で割り切れる
ことを示せ。
0678１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 09:25:030679１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 10:58:29a[n+1] ≦ 2n (∀n≧M)
を満たすとする。このとき、a[M]≦mなる任意のm∈Nは
m ＝ a[k] (∃k∈N)
と表せるか、または
m ＝ a[k]＋a[l] (∃k,∃l∈N)
と表せることを示せ。
0680１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 11:48:17そういう意味で 日本は発展途上国である。
そういう意味で、ニダとの共通点を持っている。
0681１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 12:57:29【1998年 東京大学】
ｎを正の整数とする。連立方程式
x＋y＋z≦n
－x＋y－z≦n
x－y－z≦n
－x－y＋z≦n
を満たすxyz空間の点P(x,y,z)で、x,y,z がすべて整数であるものの個数を f(n) とおく。
極限 lim[n→∞]f(n)/n^3 を求めよ
0682１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 13:02:15【1998年 京都大学】
f(x)＝x^2＋7 とおく
〔１〕nは3以上の自然数で、ある自然数aに対してf(a)は2^nの倍数になっているとする。
このときf(a)とf(a＋2^{n-1})のうち少なくとも一方は2^{n+1}の倍数であることを示せ。
〔２〕任意の自然数nに対してf(a[n])が2^nの倍数となるような自然数a[n]が存在することを示せ。
0683１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 17:33:28多項式に関するhenselの定理より明らか。
0684１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 17:50:29z＝k上において（ｋ∈Ｚ）
各不等式で表される領域における格子点の個数をg（k）とする
g（k）は一辺の長さがn±kn±k＋1の平行四辺形より
g（k）＝2n＾2＋2n＋1－2k＾2
したがってf（n ）＝Σ〔k＝－n→n〕g（k）となる
よって f（n ）＝1／3（2n＋1）・（4n＾2＋4n＋3）
ここでf（n ）／n＾3の三次の項は高々3／8である
ゆえに求める極限値lim〔n→∞〕f（n ）／n＾3＝3／8
0685１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 18:01:55簡単すぎるから方針だけ書く
（1）
与えられた条件より
f（a）＝a＾2＋7＝2＾n×mとおける
mの偶奇で場合分けして示す
（2）
帰納法で示す
（Q.E.D）
0686１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 18:05:350687１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 18:48:17① Π[p＜n]p ＜ e^n これは正しいかどうか。
② (m,n)＝(2,3),(2,5),(3,2),(5,2)のとき、
x+y+z=0を満たす任意の実数x,y,zに対して
(x^{m+n}＋y^{m+n}＋z^{m+n})/(m＋n)＝(x^m＋y^m＋z^m)(x^n＋y^n＋z^n)/mn
が成り立つことが分かっている。他に整数解(m,n)は存在するか？全て求めよ
③ 以下の条件を満たす正の整数(a,x,y,n,m)の組をすべて求めよ
a(x^n－x^m)＝(ax^m－4)y^2
m≡n (mod 2) かつ ax は奇数
④ 自然数Nの10進表示を a[1]a[2]..a[n] 等とする。
N = (a[1]+2)*(a[2]+2)*...*(a[n]+2)
を満たすような自然数Nを全て求めよ。
⑤フィボナッチ数列類似の多項式列{F(n)}を次のように定義する：
F(0) = 0, F(1) = 1, F(n+2) = F(n+1) + x^n F(n).
このとき、任意の自然数nに対して、
F(5^n) は 1 + x + x^2 + … + x^(5^n - 1) で割り切れることを示せ。
0688１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 18:49:32⑥自然数列a[n]は狭義単調増加とし、あるM∈Nが存在して
a[n+1] ≦ 2n (∀n≧M) を満たすとする。
このとき、a[M]≦mなる任意のm∈Nは
m ＝ a[k] (∃k∈N) と表せるか、
または m ＝ a[k]＋a[l] (∃k,∃l∈N) と表せることを示せ。
⑦m=gcd{f(n)|n∈Z}を満たすモニックなf∈Z[X]が存在しないような
正整数mは存在するか。存在するならば全て求めよ。
⑧次の条件を満たす正整数nは存在するか。
[条件]
φ(x)=n を満たす正整数xは存在しているが、
λ(x)=n を満たす正整数xは存在していない。
(λはCarmichael_functionです^^ 定義がわからない人は下記URLを参考に^^
http://en.wikipedia.org/wiki/Carmichael_function )
⑨f^3=g^2+1 を満たすf,g∈C(X)＼C は存在するか。
(C(X)は複素係数の有理関数体のことです^^)
0689１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 19:19:38ナウ受験生の質問に答える立場に回ってもいいと思うぞｗ
0690１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 19:21:300691１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 19:25:29どこがおかしい？
0692１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 19:26:33そのほうが広い見解が得られることはよくあること。
0693１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 19:28:54あんな単純でありきたりな整数問題は文系でも解けなきゃ受験生失格
一橋の整数問題のがむずいよ
0694１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 19:29:47したがって 使えそうな道具は 大抵は貴重なもの。
良く知られていない道具があったとしたら それ自体が既に大変に貴重。
良く知られた道具を単純にアプライして解ける問題はゴミ問題といえる。
単純にアプライすることができない問題がふつうは問題になるはずである。
0695１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 19:33:44問題文100回読め
0696１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 19:39:1210回読んだけど なにがおかしいかわからない。教えてくれない？
0697１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 19:39:220698１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 19:43:07F(n)ってないんじゃいタコスケ
0699１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 19:48:58F(0)=0, F(1)=1, F(n+2) = F(n+1) + x^n F(n) により
帰納的に多項式の列{F(n)}を定めるという意味だろうから、
正整数nが1つに決まれば F(n)は1つの多項式として定まっている。
自分は問題を書いた人( >>677 )ではないのでなんともいえないけどｗ
0700１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 19:51:37F(3)=F(2)+x*F(1)=x+1
F(4)=F(3)+x^2*F(2)=x+1+x^2*1=x^2+x+1
F(5)=F(4)+x^3*F(3)=(x^2+x+1)+x^3(x+1)=x^4+x^3+x^2+x+1
......
とても高校生風に記すならば F(n)(x)などと書くべきだったのかな。
0701１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 19:55:010702１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 19:56:410703１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 19:57:53>高校生風に記すならば
あ？多項式をF(n)って書いたら別の意味になるだろ
0704１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 20:02:110705１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 20:02:54たぶんF(n)というのはF_nのことでしょう。
0706１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 20:08:402010/11/04(木) 19:21:30
⑤は問題はおかしい
695:１３２人目の素数さん[]
2010/11/04(木) 19:33:44
>>691
問題文100回読め
698:１３２人目の素数さん[]
2010/11/04(木) 19:43:07
>>696
F(n)ってないんじゃいタコスケ
703:１３２人目の素数さん[]
2010/11/04(木) 19:57:53
>>700
>高校生風に記すならば
あ？多項式をF(n)って書いたら別の意味になるだろ
0707１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 20:09:42それがどうした
0708１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 20:09:580709１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 20:12:34コピペする暇があったら言い返してみろよクズ
0710１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 20:15:32問題はほとんどの場合にて 誤解なしに解釈されるとおもわれ。
はい。くだらない問題解釈の話はおわり。解ける問題を解こう！
0711１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 20:17:06そしたら本気だす
0712１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 20:23:09を満たす0以上の整数a,b,c,d,e,f,g,h,i
0713１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 20:31:17十七条憲法も絶対17の不思議さに気づいたことによるものだよね
0714１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 20:43:100715１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 20:56:220716１３２人目の素数さん
2010/11/04(木) 21:01:02かかってこいや
0717１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 03:16:56別のどういう意味になるのかkwsk
0718１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 06:25:21バカは死んどけ
0719１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 09:54:010720１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 09:55:18お前も死んどけ
0721１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 10:02:02だが高校までの段階では こういう写像は習わず、かわりに
F_n(x)という書き方で代用する
>>703 は F：N → Map(C,C)という種類の写像を知らないので、
F自体が既に多項式に見えるんだろう(つまりF(x)＝a0＋a1x^1＋…＋akx^k )
だからF(n)と書かれると意味が分からなくなる
0722１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 10:03:16え？
0723１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 10:05:48お前バカすぎ
0724１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 10:07:540725１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 10:08:58多項式F(n)ってなんじゃいボケカス
0726１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 10:16:340727１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 10:17:180728１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 10:21:11詐欺じゃね？
0729１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 10:34:240730１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:13:31相手にしないように
0731１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:19:38正当な反論が思いつかないので、人格攻撃でごまかしています。
0732１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:24:41なにいってんだ
0733１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:30:58死ね糞
0734１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:34:44黙れアホ
0735１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:43:57バカ
0736１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:44:58しねはげ
0737１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:45:56何もわかってないのお前じゃん
0738１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:47:11あぼーん
0739１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:48:10マヌケやろう
0740１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:50:24ｗｗｗ
0741１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:51:40こいつ何様だよ
0742１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:53:34きも
0743１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:54:48さらしあげ
0744１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:56:13まじうんこ
0745１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:56:50もう死んだほうがいいよｗｗｗ
0746１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:58:02うざい
0747１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 11:59:47あ？
0748１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 12:03:58ブチ殺すぞタコ
0749１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 12:07:20これは完全にAUTO
0750１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 12:08:16で？
0751１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 12:09:15はいはいわろすわろす
0752１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 12:10:09しね
0753１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 12:10:18何こいつ
0754１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 12:11:22死ね
0755１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 12:11:34へー
0756１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 12:14:08いきろｗｗｗｗ
0757１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 12:15:53あほ
0758１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 12:16:58きもすぎｗｗｗｗｗｗｗ
0759１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 12:19:45うんうん
0760１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 12:21:23死ねくず
0761１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 12:23:20これはしぬしかないなｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
0762１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 12:26:40一度氏ね
0763１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 12:29:03低能乙
0764１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 14:13:05しね
0765１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 14:38:27相手にしなくてもいつまでもやってるようだよ。
0766１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 14:39:21死ねハゲ
0767１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 14:43:13あほ
0768１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 15:13:04愉快、愉快。
0769１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 15:20:05しね
0770１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 15:32:43ボケカス
0771１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 16:00:14死ねゴミクズ
0772１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 16:12:32死ね
0773１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 16:24:37なんで生きてるの？
0774１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 16:42:10>>729
>>729
0775１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 16:44:480776１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 16:53:00ｎを自然数とする。1から2nまでの2n個の整数の中からn+1個の整数を選ぶと、
一方が他方を割り切るような2数が必ず含まれていることを証明せよ。
＜解説＞
見るからに受験数学っぽい問題で、高校数学で証明可能（というか中学生でも証明可能）ですが、
例えば大学入試の問題として出題されたら正解率はかなり低くなると思われる難問です。
この問題の背景には数論的な性質が見え隠れしていて、数学科の学部２～３年生程度の数学を
理解しているとカラクリがわかるという問題だと思います。
最終的には鳩の巣原理を使いますが、それに持ち込むまでに一工夫必要です。
要するに、2で割れるだけ割った後で鳩の巣原理を用いているということです。
つまり、本問は
整数を自然な埋め込みによってＺ[1/2]の元とみなすと、{1,2,…,2n}は単元倍を除いてｎ個の元に一致する。
という当然の性質を言い換えたものにすぎません。
問題文のように記述されると「おお、そんな性質があるのか」と非自明に感じてしまうのが不思議です。
代数的には何てことのないことも、こういうふうに書くと受験問題になるのれす＾ｐ＾
0777１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 16:53:58しね
0778１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 17:01:43［問１］
以下は、それぞれ8,800円の品物がいくつか売れたときの金額である。[?]に入る一桁の数字を答えよ。
(a) [?],860,000円
(b) [?],012,000円
［問２］
以下は、8,800円の品物がいくつか売れたときの金額である。[?]には一桁または二桁の数字が入る。
以下の金額は100万円を超えるか？
[?]82,400円
……
実は数秒で判断する方法があります＾ｐ＾
0779１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 17:04:59パクり問題などどうでもいい。
比較的簡単なオリジナル問題は？
番号がついているのは1つも解けそうにない。
0780１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 17:11:35>>778
で、あなたのオリジナル問題は？
0781１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 17:12:57自分が解ける問題を自分で考えればいいじゃない
0782１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 17:16:21一般人にとっては
> 整数を自然な埋め込みによってＺ[1/2]の元とみなすと、{1,2,…,2n}は単元倍を除いてｎ個の元に一致する。
は象牙の塔に住む魔物が使うわけのわからない暗号か呪文で、これを
> ｎを自然数とする。1から2nまでの2n個の整数の中からn+1個の整数を選ぶと、
一方が他方を割り切るような2数が必ず含まれている
と書き直しただけで、わかりやすくて親切な記述になったと思うらしいです。
昔少しの間、ネット百科事典だというウィキペディアというサイトに関わったことが
あったのですが、こういう論調ばかりですぐに辟易して近づくことすらなくなりました。
0783１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 17:21:45だって、環Z[1/2]の性質を使って
即解決できるわけじゃないんだからｗ
2で割り切れるだけ割った後を考えるの別表現にすぎないｗ
そもそもそう考えたあと Z[1/2]の言い換えを思いつくわけで、
問題解決に役に立っているとは言い難い。
代数を初等数論にアプライする良い例とは全くいえないｗ
もっと良い例(もちろんwell-knownなものじゃなくて)をみつけましょうｗ
0784１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 17:24:56x^2＋bx＋a＝0 が正の整数を解に持つとき、
a, b の値を求めなさい。
f(x)=0 の二解をα,βとすると、(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ
なので 1=a^2-4b が成り立つみたいな感じで解いていけばいい？
0785１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 17:25:281/x_1+1/x_2+...+1/x_n=を満たす有理数x_i (i=1, 2, ...., n)の組
0786１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 17:30:25ええ、お好きに解いていただいて構いませんよ。
0787１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 17:31:12x^2＋ax＋b の2根をα,α+1 とすると、
b=α(α+1), -a=2α+1 ・・・☆
x^2＋bx＋a が整数根をもつならば
b^2-4aが平方数である必要がある。
☆をつかえば b^2-4aはαに関するモニックな4次の多項式とみれる。
ということは それが平方数になるようなαを見つけるのはルーチンワーク。
おわり。
0788１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 17:34:28しね
0789１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 17:46:44あほ
0790１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 17:49:57クズ
0791１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 17:54:05カス
0792１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 17:54:08x^2+ax+b, x^2+bx+a がともに整数根をもつような整数a,bの組を全て求めよ。
0793１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 17:58:54ばか
0794１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 18:00:33むり
0795１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 18:00:41整数a, bとして任意の整数xに対して
x^2+ax+b>0ならば
すべての実数でx^2+ax+b>0となるか？
0796１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 18:01:26なる
0797１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 18:03:25a=b=0 がある。
0798１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 18:04:33はやく全て求めろよ
0799１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 18:14:56死ねくず
0800１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 18:28:47ぎりぎりそれはいえる。まず b＞0がわかる。
つぎに aの候補が a=0,1,-1 であるとわかる。
しかしながら このとき a^2-4a＜0 が確認される。
0801１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 18:43:19x^3+y^3-3xy=n
を満たす整数の組(x, y)が無限個ある場合のnを求めよ
0802１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 18:50:57カス
0803１３２人目の素数さん
2010/11/05(金) 18:53:23アイデアが既出。同じ人？
x^3+y^3-3xy=n
⇔ x^3+y^3+1-3xy1=n+1
⇔ (x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-x-y)=n+1
任意に整定数A,Bを与えたとき、
x+y+1=A かつ x^2+y^2+1-xy-x-y=B を満たす
整数x,yの個数は有限であることがルーチンに示せる。
ということは n+1が0でないかぎり、
整数解の個数は有限であるといえる。
n+1=0 ⇔ n=-1 のときは明らかに無限にある。
0804１３２人目の素数さん
2010/11/06(土) 06:04:00死ね
0805１３２人目の素数さん
2010/11/06(土) 06:18:07簡単な性質のわりには知らなかった
n次式まで拡張したら？
0806１３２人目の素数さん
2010/11/06(土) 06:39:04あほ
0807１３２人目の素数さん
2010/11/06(土) 07:41:02ゴミクズ
0808１３２人目の素数さん
2010/11/06(土) 08:04:12糞
0809１３２人目の素数さん
2010/11/07(日) 23:03:400810１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 00:10:50n=1 のとき 3
n=2 のとき 11
n=4 のとき 205
n=6 のとき 3745
0811１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 00:21:510 < B = x^2 + y^2 + 1 -xy -x -y = (x-1)^2 + (y-1)^2 -(x-1)(y-1),
から
| x-1 | ≦ 2√(B/3),
| y-1 | ≦ 2√(B/3),
∴ この領域に含まれる格子点は有限個。
あるいは軸を45ﾟ回して
(x+y) /√2 = u,
(x-y) /√2 = v,
とおくと
x^2 + y^2 + 1 -xy -x -y = (1/2)(u-√2)^2 + (3/2)v^2,
これを = B とおくと
B=0 のとき 点(x,y)=(1,1)
B>0 のとき 楕円で、中心(x,y)=(1,1), 長半径√(2B), 短半径√(2B/3).
∴ この領域に含まれる格子点は有限個。
0812１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 00:22:53コンテストの問題は自重汁。
せめてオリジナルエッセンス(投稿者が解ける程度)を加えてから投稿汁。
それはJAPAN2009の本選の問題。
露骨な容易問題で有名。
ここにスリーラインソリューションを与えておく。
2^n+n|8^n+n ⇔ 2^n+n|(2^n)^3+n^3+n-n^3 ⇔ 2^n+n|n^3-n
⇒ n=1 or 2^n+n≦n^3-n ⇒ n≦9, T＆Eで n=1,2,4,6が得られる。
0813１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 00:24:290814１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 00:31:20(旧①は長い間解決されなかったのでリストから排除しました^^)
① (m,n)＝(2,3),(2,5),(3,2),(5,2)のとき、
x+y+z=0を満たす任意の実数x,y,zに対して
(x^{m+n}＋y^{m+n}＋z^{m+n})/(m＋n)＝(x^m＋y^m＋z^m)(x^n＋y^n＋z^n)/mn
が成り立つことが分かっている。他に整数解(m,n)は存在するか？全て求めよ
② 以下の条件を満たす正の整数(a,x,y,n,m)の組をすべて求めよ
a(x^n－x^m)＝(ax^m－4)y^2
m≡n (mod 2) かつ ax は奇数
③ 自然数Nの10進表示を a[1]a[2]..a[n] 等とする。
N = (a[1]+2)*(a[2]+2)*...*(a[n]+2)
を満たすような自然数Nを全て求めよ。
④ フィボナッチ数列類似の多項式列{F(n)}を次のように定義する：
F(0) = 0, F(1) = 1, F(n+2) = F(n+1) + x^n F(n).
このとき、任意の自然数nに対して、
F(5^n) は 1 + x + x^2 + … + x^(5^n - 1) で割り切れることを示せ。
⑤自然数列a[n]は狭義単調増加とし、あるM∈Nが存在して
a[n+1] ≦ 2n (∀n≧M) を満たすとする。
このとき、a[M]≦mなる任意のm∈Nは
m ＝ a[k] (∃k∈N) と表せるか、
または m ＝ a[k]＋a[l] (∃k,∃l∈N) と表せることを示せ。
0815１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 00:33:40⑥m=gcd{f(n)|n∈Z}を満たすモニックなf∈Z[X]が存在しないような
正整数mは存在するか。存在するならばそのようなmを全て求めよ。
⑦次の条件を満たす正整数nは存在するか。
[条件]
φ(x)=n を満たす正整数xは存在しているが、
λ(x)=n を満たす正整数xは存在していない。
(λはCarmichael_functionです^^ 定義がわからない人は下記URLを参考に^^
http://en.wikipedia.org/wiki/Carmichael_function )
⑧f^3=g^2+1 を満たすf,g∈C(X)＼C は存在するか。
(C(X)は複素係数の有理関数体のことです^^)
⑨123456a+234567b+345678c+456789d+567890e+678901f+789012g
+890123h+901234i=123456789 を満たすような
0以上の整数a,b,c,d,e,f,g,h,iを求めよ。
⑩x_1+x_2+...+x_n=1/x_1+1/x_2+...+1/x_n=n
を満たす有理数x_i (i=1, 2, ...., n)の組を全て求めよ。
⑪x^2+ax+b, x^2+bx+a がともに整数根をもつような整数a,bの組を全て求めよ。
0816１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 01:43:32任意の正整数mに対して、多項式f_m(x)を
f_m(x)={Π[k=0,m-1](x-k)}+m
と定めると、これはモニックなZ[x]の元で、整数nについて
①0≦n≦m-1のときf_m(n)=m
②m≦nのとき f_m(n)=P(n,m)+m
③n≦-1のとき f_m(n)={(-1)^m}*P(m-n,m)+m
ここでP(n,m)=Π[k=0,m-1](n-k)
n≧mのときP(n,m)は連続するm個の正整数の積であるのでmで割り切れる。
よって上記①～③のどの場合においてもf_m(n)はmで割り切れるので
gcd{f_m(n)|n∈Z}はmで割り切れる。
またf_m(0)=mよりgcd{f_m(n)|n∈Z}はmを割り切るので
gcd{f_m(n)|n∈Z}=mが示される。以上から
「m=gcd{f(n)|n∈Z}を満たすモニックなf∈Z[X]が存在しないような正整数m」
は存在しない。
0817１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 02:50:48自然数mがm≧a[M]で、なおかつm=a[k]となるようなkが存在しないとする。
{a[n]}は狭義単調増加なので、a[h]≦m＜a[h+1]となるh∈Nが存在する。
このときh≧Mなので条件よりm＜a[h+1]≦2h。
A={m-a[i]|1≦i≦h}、B={a[j]|1≦j≦h}、C={n∈N|1≦n≦m}とおくと|A|=|B|=h、A∪B⊂C
もしA∩Bが空だとすれば、2h=|A|+|B|≦|C|=mとなるが、これはm＜2hと矛盾する。
これはA∩B∋∃a[l]であることを示している。このときあるkについてm-a[k]=a[l]である。
0818１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 07:04:50n=9196が条件を満たす。
まず、φ(9637)=φ(23)*φ(419)=22*418=9196である。
次に、λ(x)=nを満たす整数xが存在すると仮定する。
x=Π[i=1,m] p[i]^v[i] (ただしp[1]=2)と素因数分解するとき
λ(x)=lcm{λ(2^v[1]), φ(p[2]^v[2]), …, φ(p[m]^v[m])}
であることは中国剰余定理からわかる。
λ(2^v[1])は2の累乗であるから、λ(x)の奇の素因数は
xの奇の素因数pに対するφ(p^v)に由来するものでなければならない。
φ(p)|φ(p^v)なので、xの奇の素因数pはφ(p)|nを満たす。
つまり、nの正の約数dのうちd+1が奇素数となるなら、その奇素数がxの素因数の候補である。
n=9196=2^2*11^2*19であるから、(nの正かつ偶の約数)+1が素数となるか調べると
2^1*11^0*19^0 +1 = 3 (素数)
2^2*11^0*19^0 +1 = 5 (素数)
2^1*11^1*19^0 +1 = 23 (素数)
2^2*11^1*19^0 +1 = 45 = 3^2*5
2^1*11^2*19^0 +1 = 243 = 3^5
2^2*11^2*19^0 +1 = 485 = 5*97
2^1*11^0*19^1 +1 = 39 = 3*13
2^2*11^0*19^1 +1 = 77 = 7*11
2^1*11^1*19^1 +1 = 419 (素数)
2^2*11^1*19^1 +1 = 837 = 3^3*31
2^1*11^2*19^1 +1 = 4599 = 3^2*7*73
2^2*11^2*19^1 +1 = 9197 = 17*541
以上からxの奇の素因数の候補は3,5,23,419である。これらはn=9196の素因数でないので、
xの因数として2乗以上では含まれないことになる。
しかしφ(3)=2,φ(5)=2^2,φ(23)=2*11,φ(419)=2*11*19であり、
これら4つの奇素数のいかなる組み合わせでもλの値に11^2は現れない。
このことは、「λ(x)=nを満たす整数xが存在する」という仮定が間違いであったことを示している。
0819１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 19:36:27GJ！ 条件を満たす正整数nが存在しないと思った俺は解けない組ｗ
n=9196=2^2*11^2*19 が条件を満たすことの素早い確認法ｗ
λ(x)=2^2*11^2*19 を満たす正整数xが存在したと仮定する
このとき、11^2|λ(p^k)を満たすnを割り切る奇素数冪p^kが取れる。
p=11だとすると 5|λ(p^k) となり xの取り方に反する。
よって、k=1がいえるので p=2*11^2*d+1＞17＞5＞3 なる正整数dが取れる。
(p＞3であるから d≡1(mod 3) でないことがここで確認できる)
ここで、xの取り方より p-1=2*11^2*d|2^2*11^2*19 がいえる。
だからdは38の正の約数であり mod 3で1と合同になるものを除くと
候補としては d=2,38の2つ挙げられるが d=2のとき 5|p がいえ、
d=38のときは 17|p がいえて、どの場合も矛盾が生じてしまう。
0820１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 19:46:45だから改変
自然数x_1, x_2, ..., x_nが
1/x_1+1/x_2+...+1/x_n=1
を満たす
このとき
x_1+x_2+...+x_nの最大値
0821１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 19:55:590822１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 20:03:22785自体が既におかしいｗ
そのせいか何かしらの補正がなされて転載されているねｗ
>>820 が >>785 の中の人なら 問題がおかしいというの納得できるｗ
0823１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 20:33:280824１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 20:39:30というか⑩は純粋に難しくない？ ノーアイデアなんだけどｗ
820=785 なら 改変すべきかとｗ
というのも もしかしたら解けない問題になっているかもだからｗ
個人的には ②が気になるｗ 問題の背景が全くつかめないｗ
ものすごく異質なきがするｗ カットされた宝石の中に角ばった石がある感じｗ
0825１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 20:41:150826１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 22:06:37任意の整数x,yをとったときに
2^x+3^yが5で割り切れる確率を求めよ
0827１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 22:11:46死ねゴミクズ
0828１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 22:41:49そのままでは計算不能。分布は定義できるの？
Z上の一様分布？？？ それは不可能だよ(確率の公理に基づいては)
0829１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 23:32:52>>826のものです。
2^xのxに1から順番に1,2,3,4,5,・・・を代入していくと
2^xの1の位の数字は2,4,8,6,2,・・・となり、
(2,4,8,6)の並びが続くことがわかります。
3^yのyに1から順番に1,2,3,4,5,・・・を代入していくと
3^yの1の位は3,9,7,1,3,・・・となり、
(3,9,7,1)の並びが続くことがわかります。
ここで、2^x+3^yが5で割り切れるためには
2^x+3^yの1の位の値が0か5の
いずれかになればよく、
2^xの1の位が2のときには3^yの1の位は3になればよい。
このようなyは正の整数全体のうち4分の1を占める。
同様にして
2^xの1の位が4のときには3^yの1の位は1に、
2^xの1の位が8のときには3^yの1の位は7に、
2^xの1の位が6のときには3^yの1の位は9
になればよい。
以上から任意の整数xに対して
2^x+3^yが5で割り切れるようなyは正の整数全体の
4分の１を占めているので
求める確率は1/4
0830１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 23:47:54確率という言葉を使った瞬間、>>828 のようなツッコミがきてしまう。
ドカタ的には次のように問題を書くのが無難か。
各正整数nに対して A_n:={(x,y)∈N×N; x,y≦n, 5|2^x+3^y}
lim_[n→∞]A_n/n^2 を求めよ。
0831１３２人目の素数さん
2010/11/08(月) 23:59:532と3はmod 5での原始根とみれるから
任意のx∈Sに対して、2^x+3^y≡0 なるy∈Sが唯一つ存在していて、
また、任意のy∈Sに対して、2^x+3^y≡0 なるx∈Sが唯一つ存在している。
ということは 感覚的に 4/16 = 1/4 の成立がいえる。
nから はみ出ることも考えなければならないが 4の剰余で分けることで
それは誤差であることがすぐに了解される。1/4は簡単に形式化できる。
0832１３２人目の素数さん
2010/11/09(火) 00:17:082^x+3^yが19で割り切れるような正整数x,yの組は
どのくらいの割り合いで存在するか。
(正確な問題文は >>830 の類似で書けるが省略)
0833１３２人目の素数さん
2010/11/09(火) 00:56:51このような自然数nのうち、最小のものと最大のものを求めよ。
0834１３２人目の素数さん
2010/11/09(火) 01:40:25まず100!がn^10で割り切れるような正整数nが満たす条件を調べる。
100!の各素因数pの指数をv_pとおくとき、
v_pはpに対して広義単調減少するとみれる。
v_pを指数公式{n-s_p(n)}/(p-1)で計算する。(n=100)
v_2=97, v_3=48, v_5=24, v_7=16
v_11=9であるから p≧11に関しては v_p＜10がいえる。
以上より n^10|100! となるnに関する必要十分条件は
次の(1)～(5)を全て成立することであるといえる。
1)nは11以上の素因数を持たない。
2)nは高々1回7で割り切れるといえる。
3)nは高々2回5で割り切れるといえる。
4)nは高々4回3で割り切れるといえる。
5)nは高々9回2で割り切れるといえる。
n^10|100! を満たす最大のものは n=2^9*3^4*5^2*7 といえる。
このとき n^11 の2の指数は 99(＞97)であるから
これは求める自然数の中でも最大のものであるといえる。
一方、求める自然数の中で最小のものは n=2^9 である。
(∵nの2の指数が8以下であり n^10|100! であるときは
かならず n^11|100! が成立していることがすぐに確認できるから)
0835１３２人目の素数さん
2010/11/09(火) 09:15:32問題：各桁の数字が相異なり、どれも０でないような3桁の正の整数ｎがある。
ｎの各数字を並べてできる６つの数の最大公約数をｇとする。
ｇとして考えられる最大の値を求めよ。
※2010年 日本数学オリンピック予選問題
解答は省略しますが、環とか群とかの知識がある人はニヤニヤできる問題れす＾ｐ＾
今回の問題で言えば、6つの数の倍数や倍数どうしの和や差……それらが全部「g」の倍数になっている。
これら全部の集まりを「イデアル」という概念で括ってしまおうということですな
{いくつかの整数の倍数とそれらの和}＝{最小公倍数の倍数}＝gＺ(※Ｚは全ての整数)
と定義する。で、今回の問題の解答をイデアル風に書くと、
（6つの数を含む最小のイデアル）＝18Ｚ
となり、何だかありがたく見えるでしょ？ 見えない？ あぁ、そうれすか＾ｐ＾
何でイデアルで考えるのー？っていうのは、例えば図形で考えるとき、
図形の原点(x=0,y=0)を満たす関数は「x+y=0」や「x-y=0」だけでなくいろいろあるよね。
でも、イデアルでは、{f(0,0)=0となる関数全部}と定義してしまうのら。
これは1とおりになるので、図形はイデアルで考えたほうが良い。
これを発展させたのがフランスの数学者アレクサンドル・グロタンディーク。
現在、図形を研究するときには直接方程式を使うのではなく、厳密に出来るイデアルを使うそうです。
初等整数論と関係あるようで関係ないチラ裏れした＾ｐ＾
0836１３２人目の素数さん
2010/11/09(火) 17:45:10『と定義する。で、今回の問題の解答をイデアル風に書くと、
（6つの数を含む最小のイデアル）＝18Ｚ』
飛躍がありすぎる。イデアルの言葉に直したからといって、
いきなり18がでてくるわけがない。
だから解答という言葉を使うのではなく"結果"が正しい。
イデアルの言葉に翻訳しようが、結局のところ、
100a+10b+c-(100+10c+b)などを計算する必要性がある。
まあ、そういう計算を考えるのはイデアルの考え方だね。
そこだけはフォローできるね。しかしながら、
問題の本質(桁の問題)に肉薄しているとは言い難い。
一般に桁の問題は非常に難しく 使える定理等はほとんど無い。
0837１３２人目の素数さん
2010/11/09(火) 18:05:32gcd(a,b,c)=dとおく。abc-acbなどを計算することで、
abcを並べ替えてできる整数達の最大公約数は9dの約数であるとわかる。
1≦a,b,c≦9なので d=1,2,3のいずれかである。
d=3のとき、{a,b,c}={3,6,9} にならざるをえない。
369=9*41, 396=9*44 より 6つの数の最大公約数は9以下である。(実際は9)
なので6つの数の最大公約数が18になるような組を見つければ
それが求める最大値であるといえる。
実際それは存在していて たとえば n=468 がある。
(たとえばと書いたが並べ替えを除いて一意的に決まる)
結論としては 求める最大値は18であり、n=468がmaxを与える。
0838１３２人目の素数さん
2010/11/09(火) 20:33:23「コンテストの問題」は既出で嫌われるので、あえて解答説明を省略したんですが＾ｐ＾
「解答は省略しますが、」って書きましたよね？
0839１３２人目の素数さん
2010/11/09(火) 20:39:19ただ問題を解くだけじゃなく、こういうところを議論するのが大切
0840１３２人目の素数さん
2010/11/09(火) 21:12:46言葉遣いの誤り(?)を指摘した部分はあんまり気にするな。重要でない。
解答を書くと じゃなくて 結果を書くと のほうが良いかなという程度。
100a+10b+c-(100a+10c+b)等を計算しないで
すんなりと最大公約数を求められるなら
イデアルの概念を前面で出すことに価値があるとおもうけど、
でも実際はそうじゃないでしょ？ それが言いたかったこと。
0841１３２人目の素数さん
2010/11/09(火) 21:20:02足した数をガウスの記号を用いずに表せ．
みたいな問題があったらしいのですが，
どなたかご存知の方いらっしゃいますか？
0842１３２人目の素数さん
2010/11/10(水) 10:14:09例えばクレジットカードの会員番号は全くのランダムに考えられたものではなく、
ある手続きのもと生成された「正当な番号」です。
ですから入力された番号が「正当な番号」かどうかの判定を行うことができます。
それが「Luhnのアルゴリズム」と呼ばれる判定方法です。
【Luhn のアルゴリズム】
Step1：一の位から数えて奇数番目の数はそのままにして、偶数番目の数を2倍にします。
Step2：2倍にした偶数番目の数が10以上の場合は、その各桁を足した数（1桁）に置き換えます。
Step3：このようにして得られたすべての桁の数をすべて足します。
Step4：その合計が10で割り切れれば「正当な番号」、そうでなければ「不当な番号」と判定されます。
会員番号が10桁の場合、「Luhnのアルゴリズム」によって「正当な番号」と判断される番号は
全部で幾つあるでしょうか？ ただし、会員番号は 0000000000から9999999999までとします。
＾ｐ＾
0843１３２人目の素数さん
2010/11/10(水) 22:38:55N = 12, 24, 35, 56.
0844１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 00:44:283桁以上の解が存在しない証明を求む
0845１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 05:49:020846１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 06:59:27明らかに違うわｗ
0847１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 08:25:00明らかに１／１０。
0848１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 12:36:12コンテスト問題は「既出」「面白くない」
＾＾の問題は「難しくてやる気をなくす」
>>842みたいなオリジナル問題（）も答えだけ書き逃げ
＾ｐ＾が話題を振ってもふくらまない
何なのこのスレｗ
こんなんじゃもう貼る問題ねーよｗ
0849１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 15:39:18ようじょです
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284198452/239
>239 ：１３２人目の素数さん ：2010/11/07(日) 21:22:19
>>>234
>ちがいます！しょうがくせいです！
>
>おねえちゃんがことしじゅけんせいなんですが、このもんだいがわからないといっていました
>
>
>n!がn^2の倍数となるような自然数nをすべて答えよ
>
例えば自然数kにおいてn!がn^kの倍数となるような自然数nを分類せよ
どうすか？
0850１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 16:48:21何を以って違うと言ったんだか
0851１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 17:27:450852１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 17:33:14あなたはその問題の解答をもっているのですか？
kを1つ固定したときに nを全て求める(分類する)のはとてもルーチンです。
一方、kが今正整数全体を動くとなると これはかなり厳しいきがします。
問題は当然、後者を指しているのですよね。じゃないと簡単すぎる。
しかし先程いったように後者を指しているならば かなり難しそうです。
あなたはその場合の解答をもっているのですか？
0853１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 17:36:15のSTEP1とSTEP2の間に
「得られた数に9の数字が含まれていたらそれらすべてを0に置き換える」
の1文を追加したら正当な会員番号は何通りになるか
0854１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 17:48:44① 既出の問題を微妙を変える。
(不定方程式の問題などはこれでいくらでもできる。
ただし、当然、作成者は解けなければいけないので
解けるようにうまく調整しなければならない)
② 道具から問題をつくる。
あらかじめいくつかの道具を想定しておき、
それらを組み合わせて問題をつくる。
③ そのほか。
たとえば なんとなく思いついたなど。
0855１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 18:36:00>>852みたいな馬鹿がこのスレを詰まらなくしてる元凶
0856１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 18:41:090857１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 18:55:24おまえ正真正銘の屑だな
いつもはこんな簡単な問題書くなみたいな口調で書いてるくせに、
いざ自分が解けない問題がきたら出題者を問い詰めるのな
マジあり得ねーって
0858１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 18:58:01解答が未解決問題分野にまで発展しても、それはそれで面白いから
0859１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 18:59:48自分自身でエクセレントに解ける問題が見つからない
ことこそに文句があるんでしょう
１年早いんじゃないか
0860１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 19:02:57どんどん発想して問題をつくっていきなさい。ギブアンドテイクだよ。
0861849
2010/11/11(木) 19:20:37k=1 で 0を除く全ての自然数
k=2 で 0・4・素数を除く全ての自然数
一般的に k ＜ lim_{n→∞} log[n](n !) （スターリングの近似公式よりどのくらいか？）
で n の中で（素数）^1～（素数）^k がどのくらい除外になるか
というけっこう綺麗に解けそうな問題だと思うんですがどうすか？
解けんでもこういうネタであーでもないこーでもない話しできるなら素敵やん
0862１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 19:44:19全てのkに対してnを分類するのは極めて難しいとおもう。
kを固定したときの解法は >>661 に挙げられている。
kがいくつだろうが すべてほぼ同様の方法で解けるわけなので、
(kが大きくなるほど細部の計算が面倒になってきて、
nの異なる素因数の個数が大きくなることが許容されてくる。
いつも素数冪(素数含む)だけが解を与えるとは限らない)
一般のkの場合はまさに問題だね。完全に分類はおそらく不可能に近い。
じゃあどういう問題文にすべきだろうか。それ自体がまさに問題になってくる。
0863１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 20:14:08「STEP1とSTEP2の間に 」は
「STEP2とSTEP3の間に 」の間違いでした。
0864849
2010/11/11(木) 20:19:09nの下限がkで決まるんだった
>>862
じゃあ n ! = n^k に一番近くなるようなだいたいの自然数 n を自然数 k で表せ
という問題に変更。逆Γ関数とかすかねー
0865１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 21:32:21Σlogi^1/n=k
0866１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 21:36:25Σlogi/logn=k
n=e^p
(1/p)Slogxdx=k
0867１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 21:37:06-1はどこから？
0868１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 21:59:25① (m,n)＝(2,3),(2,5),(3,2),(5,2)のとき、
x+y+z=0を満たす任意の実数x,y,zに対して
(x^{m+n}＋y^{m+n}＋z^{m+n})/(m＋n)＝(x^m＋y^m＋z^m)(x^n＋y^n＋z^n)/mn
が成り立つことが分かっている。他に整数解(m,n)は存在するか？全て求めよ
② 以下の条件を満たす正の整数(a,x,y,n,m)の組をすべて求めよ
a(x^n－x^m)＝(ax^m－4)y^2
m≡n (mod 2) かつ ax は奇数
③ 自然数Nの10進表示を a[1]a[2]..a[n] 等とする。
N = (a[1]+2)*(a[2]+2)*...*(a[n]+2)
を満たすような自然数Nを全て求めよ。
④ フィボナッチ数列類似の多項式列{F(n)}を次のように定義する：
F(0) = 0, F(1) = 1, F(n+2) = F(n+1) + x^n F(n).
このとき、任意の自然数nに対して、
F(5^n) は 1 + x + x^2 + … + x^(5^n - 1) で割り切れることを示せ。
⑤f^3=g^2+1 を満たすf,g∈C(X)＼C は存在するか。
(C(X)は複素係数の有理関数体のことです^^)
0869１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 22:01:060870１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 22:01:29⑥123456a+234567b+345678c+456789d+567890e+678901f+789012g
+890123h+901234i=123456789 を満たすような
0以上の整数a,b,c,d,e,f,g,h,iを求めよ。
⑦自然数x_1, x_2, ..., x_nが
1/x_1+1/x_2+...+1/x_n=1 を満たすとき
x_1+x_2+...+x_n の最大値を求めよ。
⑧x^2+ax+b, x^2+bx+a がともに整数根をもつような整数a,bの組を全て求めよ。
⑨2^x+3^yが19で割り切れるような正整数x,yの組は
どのくらいの割り合いで存在するか。
⑩会員番号が10桁の場合、「Luhnのアルゴリズム」によって「正当な番号」と判断される番号は
全部で幾つあるでしょうか？ ただし、会員番号は 0000000000から9999999999までとします。
⑪Luhnのアルゴリズムにおいて STEP2と3の間に
得られた数に9の数字が含まれていたらそれらすべてを0に置き換える」
の1文を追加したら正当な会員番号(10桁の場合)は何通りになるか
⑫n!=n^k に一番近くなるようなだいたいの自然数nを自然数kで表せ
⑬(問題) (これは今までと比較して一番簡単かも^^)
次の条件を満たす素数p,qの組を全て求めよ。
[条件]
pq+1 は平方数であり、p+q は矩形数である。
⑭a^a*b^b=c^c を満たす整数a,b,c＞1の組は無限に存在するか。
0871１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 22:02:31どっちにしろ分からん
0872１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 22:11:14G=x+y+r(1/x+1/y-1)
Gx=1-rx^-2=0
Gy=1-ry^-2=0
Gr=(1/x+1/y-1)=0=2r^.5-1=0
x=r^-.5=y
x+y=2r^-.5=2*(1/2)=1
0873１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 22:12:23x=n
Zx=n^2
0874１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 22:13:260875１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 22:15:42G=x+y+r(1/x+1/y-1)
Gx=1-rx^-2=0
Gy=1-ry^-2=0
Gr=(1/x+1/y-1)=0=2r^-.5-1=0
x=r^.5=y
x+y=2r^.5=2*2=4
0876１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 22:21:31-nm=p+q
-pq=n+m
x^2+nmx-(n+m)=0
nm=(n+m)
n(m-1)=m
n=m/(m-1)
0877１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 22:22:220878１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 22:27:07どうやって証明するの？
0879１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 22:27:18nm=(n+m) は何故？
>>877
互いに可逆の関係のある元は打ち消えていくから
±1になることはほとんど明らか。
0880878
2010/11/11(木) 22:28:060881１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 22:28:201,3,5,7,..., は素数を無数に含む等差数列だね。
0882849
2010/11/11(木) 23:06:52関係者各位すまんこ
0883１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 23:14:200884１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 23:16:400885１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 23:25:21これだと素数も偶数も1つも持たない。
0886１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 23:27:36矩形数をぐぐってみた。
矩形数: 2つの連続する正整数の積で表現される数
i.e. 1*2, 2*3, 3*4, 4*5, ..., n(n+1)
0887１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 23:38:14⑩
a[1],a[2],・・・,a[n]を0以上9以下の整数とする
Σ[k=0,n](a[k])を10で割った余りが
kとなる場合の数をP(n,k)とおく。
このとき、
P(1,0)=P(1,1)=・・・=P(1,9)=1
P(n+1,L)=Σ[k=0,n](P(n,k)) (0≦L≦9)…(1)
が成り立つ
(1)のLを0から9まで変化させそれらすべてを足し合わせると
Σ[k=0,n](P(n+1,k))
=10Σ[k=0,n](P(n,k))
=10^n
これと(1)から
P(n,0)=10^(n-1)
会員番号は10桁なのでn=10
正当な会員番号は
P(10,0)=10^9(通り)
0888１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 23:40:35「Σ[k=0,n]」
を
「Σ[k=0,9]」
に直しておいてください。
書き間違えました。
0889１３２人目の素数さん
2010/11/11(木) 23:51:50ややこしいのでもう一度書き直します。
⑩
nを正の整数とする
a[1],a[2],・・・,a[n]を0以上9以下の整数とする
Σ[k=0,n](a[k])を10で割った余りが
kとなる場合の数をP(n,k)とおく。(0≦k≦9)
このとき、
P(1,0)=P(1,1)=・・・=P(1,9)=1
P(n+1,L)=Σ[k=0,9](P(n,k)) (0≦L≦9)…(1)
が成り立つ
(1)のLを0から9まで変化させそれらすべてを足し合わせると
Σ[k=0,9](P(n+1,k))
=10Σ[k=0,9](P(n,k))
=10^n
これと(1)から
P(n,0)=10^(n-1)
会員番号は10桁なのでP(n,0)に10を代入すればよい
正当な会員番号は
P(10,0)=10^9(通り)
0890１３２人目の素数さん
2010/11/12(金) 00:56:34君あたまいいね。各桁の和が10で割り切れるものの個数だけを
求めれば十分っていうことを知っての方法なんだね。
なぜなら、2つの異なる数があったとして、
その2つの数にLuhnのアルゴリズムのstep1,2を適用したら、
2つの数は必ず異なることが示せるから、
(∵2つの異なる数A,Bが操作を通じて ともに一致(A'=B')した仮定する。
まず、操作の仕方より、A,Bの各奇数桁は共に一致しているといえる。
任意に正の偶数kを取る。仮定よりA',B'のk桁目は一致している。
Aのk桁目の桁をa, Bのk桁目の桁をbとするとき、操作の仕方より、
2a=2b または 2a-9=2b-9 または 2a=2b-9 または 2b=2a-9
のいずれかが成立している。後者の2つはパリティが一致しないので
ありえなくて、結局、前者の2つのどれかがいえるが、そのときは a=bである。
kは任意であったから A=Bがいえる。これは矛盾である)
君の方法は正当化されるわけだ。素晴らしい。
0891１３２人目の素数さん
2010/11/12(金) 05:27:50> ① Π[p＜n]p ＜ e^n これは正しいかどうか。
の答えは「正しくない」だろう。
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_function
↑のPropertiesのところにあるErhard Schmidtの結果
「任意の正定数Kに対して ψ(x) - x ＞ K √ｘ を満たす実数xが存在する」
と ψ(x) = θ(x) + Ｏ(√x) を合わせればθ(x)＞xを満たすxがとれるから。
0892１３２人目の素数さん
2010/11/12(金) 06:58:51スターリング公式から
n ～ k／{1 - 1/log(k)}
0893１３２人目の素数さん
2010/11/12(金) 08:57:59なるほど、それは頭が良い方法だなぁ
0894１３２人目の素数さん
2010/11/12(金) 11:23:37１０桁の数字の１桁目を仮に０としLuhnの方法で２１０で割ったあまりを判定すれば0～９のどれかになる。
１桁目に１０からそのあまりを引いた数に変更した数は正当な番号であり
１桁目がそれ以外の数だと正当な番号ではない。
以上の論議は１桁目に限らず奇数桁ならどれでも同じ。
偶数桁の場合「２倍～」というルールが付け加えられるが
その操作は「0123456789」をそれぞれ「0246813579]に１対１に対応付けるだけなので
先の論議は偶数桁にも適応できる。
結局どの桁の数字も、他の桁の数字によって一意に決定される。
他の桁は９桁あるので他の桁の数字の自由度は（組み合わせ数は）10^9になる。
0895１３２人目の素数さん
2010/11/12(金) 11:24:34○ １０桁の数字の１桁目を仮に０としLuhnの方法で、１０で割ったあまりを判定すれば0～９のどれかになる。
0896１３２人目の素数さん
2010/11/12(金) 13:17:18問題「a^(a*n)≡1 (mod n) となるようなa,nの条件は何か？」
必要条件はaとnが互いに素であることだと（実験的に）わかっています。
aとnの最大公約数をmとすると、a^(a*n) mod n は、(mの倍数)mod(mの倍数)なのでmの倍数になります。
これが1になるってことは m=1しかありませんが、これでは必要条件のみを示したにすぎません。
例えばa=3,n=5は互いに素だけど1にならないのね。
一般にa^n≡a (mod n)っていうのが成り立つので、それを使ってa^a≡1 (mod n) にはなるね。
ただ単に十分条件っていうなら、a=n*(0以上の整数)+1なんかを提示してみるわけですが、
それが成り立つのはnが素数の時だけだと思う。（フェルマーの小定理。それを拡張したものは一般には成り立たない）
で、答えを書くと、条件は「aとnが互いに素であり、かつa^k≡1(mod n)を満たす最小のkに対してa*nがkで割り切れること」
必要条件の証明：
aとnが互いに素になることは証明済み。従ってオイラーの定理より a^φ(n)≡1 (mod n) となる。
これよりa^x≡1(mod n)なる整数xが存在することが言えるから、そのうちで最小のものをkとする。
kの定義よりk≦φ(n)となる。φ(n)＜nよりφ(n)＜a*n、よってk＜a*nとなる。
a^k≡a^(a*n)≡1(mod n)と併せて考えると、a*nはkで割り切れる。
十分条件の証明：
a^k≡1(mod n)であり、a*nはkの倍数であることから、a^(a*n)≡1(mod n)
ただ、このようなkが存在するかどうかに依存するから、実際使うためにはkを割り出さないといけなくて、
それは全数チェックになるのかな？ a^k≡1となる最小のkを求める定理があれば良さそうだねぇ。
kはφ(n)の約数でもあるので、φ(n)とa*nの最大公約数を求めてからその値の約数を調べていけば
全数探索よりはよさそうな気がしますが、じゃあφ(n)は楽に求まるかと言えばそうでもない感じですよね。
結局、因数分解の困難性に帰着するってことでしょうか。
＾ｐ＾
0897１３２人目の素数さん
2010/11/12(金) 14:30:13何かありそうな予感がするけど、どうだろう
0898１３２人目の素数さん
2010/11/12(金) 19:29:50必要条件の証明は蛇足があるね。
なぜなら a^(an)≡1(mod n)が成立していると仮定した時点で、
a^x≡1(mod n)なる整数xが存在しているじゃんｗ
もっというと 両方ともほとんど明らかのことを
長々と書いてあるだけだとｗ 他の人もたぶんそう思っているｗ
君の書いたステートメントは初等数論的な表現でいうと、
いわゆる位数の法則より明らかで。また、
群論的な表現でいうと ラグランジュの定理(の系)より明らか。
0899１３２人目の素数さん
2010/11/12(金) 19:37:28いやいや、彼は問題のネタを提供してくれているんだよ。
決して くだらないステートメントを押し付けているわけではない。
ネタと それをネタとおもえるよう入り口を提供しているだけ。
わかったかい？ わかったなら 文句をいわずに問題を考えなさいｗ
⑬さえ解けないオレは知的障害者かもしれん。
0900１３２人目の素数さん
2010/11/12(金) 19:55:560901１３２人目の素数さん
2010/11/12(金) 22:10:090902１３２人目の素数さん
2010/11/12(金) 22:12:010903１３２人目の素数さん
2010/11/12(金) 23:09:26{a,b} = {n-1,-n} {0, -n^2} {4,4} {5,6}
>>870 ⑬
{p,q] = {m+1, m-1}, m=n(n+1)/2, m:自然数
0904１３２人目の素数さん
2010/11/13(土) 01:27:3313って
素数p,qの組み合わせは具体的に全て決定されるんじゃね？
0905１３２人目の素数さん
2010/11/13(土) 05:42:39x+y+z = -3n + k 上において、(0≦k≦4n)
各不等式を満たす格子点の個数を h(k) とする。
これは一辺の長さが k/√2 の正三角形より
・kが偶数のとき、k=2k' (0≦k≦2n)
h(k) = (1/2)(k'+1)(k'+2) = (1/6){(k'+1)(k'+2)(k'+3) - k'(k'+1)(k'+2)},
・kが奇数のとき、k=2k'+1 (0≦k'≦2n-1)
h(k) = (1/2)k'(k'+1) = (1/6){k'(k'+1)(k'+2) - (k'-1)k'(k'+1)},
∴ f(n) = 納k=0,4n] h(k)
= 納k'=0,2n] h(2k) + 納k'=0,2n-1] h(2k+1)
= (1/6)(2n+1)(2n+2)(2n+3) + (1/6)(2n-1)(2n)(2n+1)
= (1/3)(2n+1)(4n^2 +4n+3),
0906１３２人目の素数さん
2010/11/13(土) 06:10:13結論だけじゃ他の人は理解できないぞ。
それと⑬の結論は間違っている気がするぞ。
0907１３２人目の素数さん
2010/11/13(土) 08:02:30アルゴリズムを再掲する：
Step1 ：一の位から数えて奇数番目の数はそのままにして、偶数番目の数を2倍にする。
Step2 ：2倍にした偶数番目の数が10以上の場合は、その各桁を足した数（1桁）に置き換える。
Step2.5：得られた数に9の数字が含まれていたらそれらすべてを0に置き換える。
Step3 ：このようにして得られたすべての桁の数をすべて足す。
Step4 ：その合計が10で割り切れれば「正当な番号」、そうでなければ「不当な番号」と判定される。
Step1～Step2.5による変換は、{1,…,8}の（偶数番位・奇数番位で別の）置換になる。
さらに、どの位においても、0と9は0に変換される。
S(n,k)を、n桁の番号すべてのうち、Step3まで行なって得られた和が
10を法としてkと合同であるものの集合とする。（ k≡k' mod 10なら S(n,k)=S(n,k') ）
|S(1,0)|=2, |S(1,k)|=1 (k=1,…,8), |S(1,9)|=0である。
n≧2のとき、S(n,k)の元aの下n-1桁を1つの番号a'とみると、これはあるS(n-1,i)の元であり、
さらにjをStep1～Step2.5によってaの最高位の数が変換された数とすると、i+j≡k (mod 10)となっている。
j=9となることはないので、a'はS(n-1,k+1)の元とは成りえない。
a'∈S(n-1,k)ならj=0、つまりaの最高位の数は0または9の2通りで、
a'∈S(n-1,i) (i≠k or k+1 mod 10)なら、i+j≡k (mod 10)をみたすj (1≦j≦8)がただ一つ
存在するから、aの最高位の数もただ1通りに決まる。
以上の議論を逆にたどることで、各S(n-1,i) (i≠k+1 mod 10)からS(n,k)の元を構成できる。したがって
|S(n,k)| = Σ[i=0,9] |S(n-1,i)| + |S(n-1,k)| - |S(n-1,k+1)| = 10^(n-1) + |S(n-1,k)| - |S(n-1,k+1)|
T(n,k) = (-1)^k * {|S(n,-k)| - 10^(n-1)} とおくと T(1,0)=T(1,1)=1, T(1,k)=0 (2≦k≦9)で T(n,k) = T(n-1,k-1) + T(n-1,k)
これは二項係数C(n,k)の漸化式とほぼ同じで、実際n≦9ならT(n,k)=C(n,k) (0≦k≦n)である。
T(10,0) = T(9,-1)+T(9,0) = T(9,9)+T(9,0) = C(9,9)+C(9,9) = 2 であるから、
|S(10,0)| = (-1)^10*T(10,0) +10^9 = 2 + 10^9、つまり1000000002個の番号が正当となる。
0908１３２人目の素数さん
2010/11/13(土) 09:39:570909１３２人目の素数さん
2010/11/13(土) 13:27:49pを素数、nを正の整数とするとき、p^nはpで何回割り切れるか（京都・文理）
0910１３２人目の素数さん
2010/11/13(土) 13:31:390911１３２人目の素数さん
2010/11/13(土) 13:35:050912１３２人目の素数さん
2010/11/13(土) 13:45:22なにが難問なのかわからん。
指数公式計算するだけじゃん。
指数公式自体はどこにでも証明があり
単なるツールだよ
大学入試の整数問題はすべて一様にオリジナリティがない。
指数公式より、
vp((p^n)!)=(p^n-sp(p^n))/(p-1)
=(p^n-1)/(p-1)
0913１３２人目の素数さん
2010/11/13(土) 13:53:590914１３２人目の素数さん
2010/11/13(土) 14:03:36誰も難問とは言っていないよ。
まあ大学入試問題乙だわ。
0915909
2010/11/13(土) 14:51:00(p^n) ! を p^n と書いてしまったのに，>>912 さんに脳内変換してもらい
しかも一瞬で解かれてしまいました．本当にありがとうございました．
0916１３２人目の素数さん
2010/11/13(土) 15:27:500917１３２人目の素数さん
2010/11/13(土) 15:28:43数学は出来るのかもしれないが、人としてなってない
0918１３２人目の素数さん
2010/11/13(土) 15:45:280919１３２人目の素数さん
2010/11/13(土) 16:56:57⑬はp,qが共に素数であることを2回使う必要がある。
0920１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 03:06:41(p,q)=(7,5)が条件を満たしていることを確認できる。
(∵ 7*5+1=6^2, 7+5=3*4 と計算できるので)
任意に条件を満たす素数p,q(p≧q)の組を取る。
pq+1 は平方数であるから pq+1=m^2 を満たす正整数mが取れる。
pq+1≧2*2+1=5 であるから m＞2 ⇔ m-1＞1 がいえる。
pq+1=m^2 ⇔ pq=(m+1)(m-1) であるから、m+1＞m-1＞1
であること、および、p≧q であることをあわせて、
p=m+1, q=m-1 の成立がいえる。
よって とくに p-q=2 ⇔ p=q+2 がいえる。
p+qは矩形数であるから p+q=n(n+1) を満たす整数n＞1が取れる。
q=p+2を代入することで (q+2)+q=n(n+1) ⇔ 2q=(n+2)(n-1)
n=2のとき q=2 となるが このときは p=4 となり 矛盾である。
よって、n＞2 ⇔ n-1＞1 であるといえる。
n+2＞n-1＞1, q≧2 と 2q=(n+2)(n-1) より、
とくに n-1=2 ⇔ n=3 の成立がいえる。
このとき q=5 であり、p=q+2=7 である。
0921１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 09:26:18その議論は、良くわからないが、おかしい気がする。
３は成立して、e は成立しないのだから、もっと具体的な話しないと、理解できない。
もっと詳しく示してよ。
0922１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 09:50:170923１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 10:13:180924１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 10:14:530925１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 10:17:520926１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 10:28:12p+q=b(b+1) mod p
pq=(a+1)(a-1) mod p
(a+1)=p,(a-1)=q,(a+1)=pq,(a-1)=1
p+q=2a,(a+1)=b(b+1) mod p
b=2,b+1=a->a=3
p+q=6->p,q=1,5,3,3
0927１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 11:02:35仕事柄解き尽くしてるから出すな
数オリやJMOの問題も出すな
0928１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 12:18:460929１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 12:49:120930１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 13:26:32おまえ、問題も作れないのか？
0931１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 13:35:18面白いネタも書けなくて、提供すべき問題も持ってない奴が、
構ってもらうために唯一できること、
それは、「他者を批判すること」だからね。
0932１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 14:21:51出題ネタはいくらでもつくれるけど
ここのスレの人達にとって
そういう問題は退屈だろう
また、入試問題は一通り目を通してるし
典型的かつ定石的な解放で一発ってのが多い
0933１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 14:32:49大事にする・しなければならない体系だからな
0934１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 14:32:52彼は正しいとおもうよ。代わりに説明してみる。
ψ(x) = θ(x) + Ｏ(√x) より、(これはψ,θの定義よりすぐ確認できる)
|ψ(x)-θ(x)|＜C*√x が全ての正整数xで成立するような定数Cが取れる。
ψ(x)≧θ(x) であるから、ψ(x)-θ(x)＜C*√x
⇔ ψ(x)＜θ(x)+C*√x が全ての正整数xで成立となる。
ここで、Erhard Schmidtの結果より、とくに、
ψ(x)-x ＞ C*√x を満たす正の実数xが取れるので、
そのようなxに対して C*√x＜ψ(x)-x＜θ(x)+C*√x-x が成立している。
この不等式から とくに C*√x＜θ(x)+C*√x-x ⇔ x＜θ(x) がいえる。
ということでした。
小さなxに対しては いかにも①は正しいようにおもえるけどねｗ
0935１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 14:36:30|ψ(x)-θ(x)|＜C*√x が全ての正の実数xで成立するような定数Cが取れる。
が正しい。謎のタイプミスだ。
0936１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 14:41:010937１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 14:42:16どんどん問題載せろ
0938１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 14:49:16不定方程式の問題って 多項式型に限定しないのならば
いくらでも気の利いた問題がつくれそうだね。
変数の種類(整数,正整数,非負整数,素数,合成数etc..)と個数も
いくらでも変化させることができるしね。
ただ、式の美しさを保ちながら ありがちでない気の利いた問題を
作成するのはやはり難しいとおもうよ。
相当頭よくないと無理だとおもう。
(もう１ランク下げて)美しさをある程度損ねるかわりに、
単に気の利いた問題(解法が一筋縄・ルーチンではいかない)
を作るだけでも難しいとおもうけどね。
不定方程式っては問題の宝庫だけど つくる側は頭がおかしくなるとｗ
不定方程式に興味のない人は少ない(このスレでも)と思うけど、
実際はそれすら作るのは難しい。私は１題も浮かばない。
なによりも 不定方程式という題材は 動機が一番の問題になるでしょうｗ
0939１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 14:52:47皆で道具を共有すれば すこしはマシになる。
なによりも ほぼ道具それ自体を出題する馬鹿を減らせるしなｗ
0940１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 15:26:240941１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 15:27:18おまえは数学できるんだから問題作る側に回れやクズ
0942１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 19:12:130943１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 19:13:510944１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 20:16:210945１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 20:32:220946１３２人目の素数さん
2010/11/14(日) 20:43:17ノインマンも変態だった
0947１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 00:57:031*3*5*...*(2n-1) / (1+3+5+...+(2n-1))
が整数となるnの条件を求めよ。
0948１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 02:22:57>>661 とほぼ同じ方法が通用する。(＆少し計算が面倒)
まあでもイケメンな問題なので良いよ。
(解答)
問題は n^2|(2n-1)!! ・・・☆ を満たす正整数nを全て求めることである。
すぐわかるようにnが素数のとき ☆は成立しない。
n=p^2 を満たす奇素数pが取れるとき ☆が成立することを示す。
(2n-1)!!=(2n)!/(2^n*n!) であるから v_p(2n-1)!! = v_p(2n)!-v_p(n!)
v_p(2p^2-1)!! = v_p(2p^2)!-v_p(p^2!) = p+1 (∵階乗の指数公式)
pは奇素数であったから p+1≧4 である。したがって☆は成立している。
☆を満たす正整数nは明らかに奇数である。n=1のとき☆は成立する。
素数の2乗でない合成数n＞1を任意に取る。nの最小の素因数qを取る。
このとき n/q＞q の成立がいえて、q＜n/q＜n＜2n-1 であるので、
☆は明らかに成立しているといえる。
(∵ qもn/qもnも2n-1より小さい相異なる奇数であり q*n/q*n=n^2 だから)
[結論]
求める条件は 「n=1 または nは奇数の合成数」
0949１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 02:26:230950１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 02:38:09n=p^2 の部分の確認計算が 少し面倒になっているから
そこの部分で違いがでてくる。p,3p,5p,7p とかいうふうにやれば
楽そうだけど 7p≦2p^2-1 はp≧5で成立するので p=3は別にやる必要がある。
p=3で場合を分けたくない場合はたとえば指数公式で計算するのが楽。
0951１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 02:49:01階乗の指数公式とは何だろうか。
http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html
における(5),(6)の2つを意味している。
リンク先をわざわざ見たくない面倒な人のために書いておくと・・・
(以下、各正整数nと素数pに対して、
v_p(n):=(p^e|n を満たす最大の整数e) と定める)
(5) v_p(n!) = Σ_[k=1,∞][n/p^k] ([・]はガウスの記号)
(6) v_p(n!) = (n-s_p(n))/(p-1)
(s_p(n)はnのp進展開したときの各桁の和である)
この2つをもって (階乗の)指数公式と呼んでいる。
大抵は (6)だけで済んでしまい、(5)はそういう意味で不要である。
しかも 突っ込んだ議論をするときこそ (6)はより有用であるから、
なおさら(5)は不要なのである。
(5)はだから (6)を知らない人に対して説明するときに使う程度である。
両方とも証明は簡単であり
(5)は初等数論におけるルジャンドルの等式と呼ばれる。
(5)を示せば (6)を示すことは非常にルーチンである。
以上。初学者(私含む)の参考になれば幸いです。
0952１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 02:55:230953１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 03:04:33nが偶数でないのは明らかで、
nが奇数なら(2n-1)!!≡n! mod nなんだから
結局n|(n-1)!を調べる問題になって
あとは>>661だろ。やり方を変えたきゃ変えればいいが
変える必要性はないし、面倒にしてるのは貴方自身。
0954１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 03:10:14v_p((p^n)!) = (p^n-s_p(p^n))/(p-1)
p^nをp進展開したとき 100..00になるので s_p(p^n)=1
よって v_p((p^n)!) = (p^n-1)/(p-1)
2p^2のp進展開したとき 200 になるので s_p(2p^2)=2
よって v_p(2p^2)!-v_p(p^2!) = (2p^2-2)/(p-1)-(p^2-1)/(p-1)
= (p^2-1)/(p-1) = p+1 と計算できる。
2^(n-1)|n! を満たす正整数nを全て求めよ。
v_2(n!)≧n-1 を満たす正整数nを求めることと等価である。
v_2(n!) = n-s_2(n) より、 n-s_2(n)≧n-1 ⇔ 1≧s_2(n)
を満たす正整数nを全て求めればよい。
nを2進展開したとき 100...00 となるのは これはnが2の冪乗のときである。
だから答えとしては nが2の冪乗 になるとき である。
0956１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 03:21:05>>661でどうやってるかなんてことは関係ないよ。
>>948で>>661より少し面倒だといってるから
そんなわけないだろといってるだけ。
0957948
2010/11/15(月) 03:32:51えーとね
>>661 はnが素数の2乗のときは p, 2pで対処しているけど
それは この問題の素数の2乗の場合では通用しない。
というのも 2pを取り出すことができないから。
じゃあ p,3pと取り出せばＯＫじゃないとおもうかもしれないけど
そうすると p=3のときを別に考える必要がでてくる。
そこで 指数をより細かく計算する必要がでてくる。
事実、v_p(2p^2-1)!! = p+1 と求まってしまうわけなので、
これは本当に繊細であることがわかる。(p=3で等号が成立)
ここだけに違いがある。素数の2乗の場合がちょっと違う。
これでわかってもらえなかったら ごめんね。
0958948
2010/11/15(月) 03:40:14ちなみに v_p((p^2-1)!) = p-1 だからね。
違いをまとめると n=p^2の場合において、
片方は細かくv_pを求める必要がある(効率的にやるならば)のに対して、
もう片方はその必要性がないというところ。
0959１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 03:42:11いや、だから議論の詳細なんかどうでもいいんだって。
貴方が言いたいのは>>661と同じ論法でやろうとすると
>>947の方が多少面倒なんだってことでしょ。
俺が言いたいのは、>>947はちょっと言い換えるだけで
>>661のnが奇数の場合のみの問題に帰着するのに
わざわざ寄り計算方法が多い方法でやるのは
「面倒」なんではなくて「手際が悪い」だけだといってるの。おわかり？
0962１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 03:48:060963948
2010/11/15(月) 03:51:47nが素数の2乗の場合の計算が異なるところが違うので、
帰着と言ってしまうのはかなり乱暴だよ。だからダメ。
とくに n=3も解を与えることをかなり繊細な理由によるから。
0964948
2010/11/15(月) 03:53:410965１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 04:00:06なぜなら 偶数も奇素因数を含むことがあるから。
たぶん具体例で説明したほうがいいんじゃないかね。
たとえば 27|9! だけど、27|9!! はいえないわけだ。
0966訂正
2010/11/15(月) 04:01:3181|9! だけど 81|9!! はいえないわけだ。
0967１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 04:07:47俺もちょっとテンションが上がってしまって申し訳ないが
ちょっと落ち着いて考えてくれよ。>>961の指摘はもっともだから
それに従うよ。
問題はn^2|(2n-1)!!を満たすnを見つけること。
(2n-1)!!は奇数なのでnが偶数の場合はありえない。
以下nが奇数の場合を考える。nが奇数なので
(2n-1)!!=1*3*5*…n*(n+2)*･･･*(2n-1)
(2n-1)!!/n=1*3*5*…(n-2)*(n+2)*･･･*(2n-1)
これがnで割り切れるかどうかを調べればよい。
(2n-1)!!/n=1*3*5*…(n-2)*(n+2)*･･･*(2n-1)
≡1*3*5*…(n-2)*2*4*･･･*(n-1) mod n
だから(2n-1)!!/n ≡(n-1)! mod n
よってn|(n-1)!を調べればよい。>>661の結果(n=1が結論にないが)と
nが偶数でないことから、求めるnは1と奇数の合成数となる。
0968948
2010/11/15(月) 04:08:05ああなるほど！
>>962 の人はそこの部分を勘違いしてたわけね。
彼は偶数は奇素因数を持たないと思ってたわけね。
だから彼は帰着されると再三言っていたわけね～
0969948
2010/11/15(月) 04:13:27(2n-1)!!≡n! (mod n) は役に立たないけど、
(2n-1)!!/n ≡(n-1)! (mod n) は役に立ってるね。
素晴らしい
0970１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 04:14:420972１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 04:18:49>>967 と >>948 は全然方法が違うね。
こりゃ話噛み合わなくても仕方ないｗ
片方(948)は機械的で、もう片方(967)は
(2n-1)!!/n ≡(n-1)! mod n が核の頭のよい方法。
0973948
2010/11/15(月) 04:24:26と (2n-1)!! ≡n! (mod n) ・・・② は同値でない。
②から①はいえない。①から②はいえる。
②は問題の解法に役に立つけど、①は役に立たない。
>>949 はズバリ②のことを指しているので、
それゆえ私は帰着されることが理解できなかったのだろう。
0974１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 04:30:400975１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 04:38:140976１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 07:01:45あんがと。理解できた。
0977１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 15:09:47誰あろう元公明党委員長による告発本。
サブタイトルは日本占領計画の全記録とある。
amazonに書評がでてるからスレ住人は検索するべし。
『憚りながら』
武闘派団体・山口組系後藤組の後藤忠政組長の半生の記録。
創価学会の用心棒であったことを赤裸々に告白している。
ちなみに伊丹を殺してやったぜ当然だガハハとも述べている…
ここまでカルトっぷりが暴露された団体が国家中枢にいていいのかよ！
すくなくとも議論を起こさないとだめだろ。
0978猫は馬鹿釣り ◆MuKUnGPXAY
2010/11/15(月) 15:30:20従って論理は無視しても誰も咎めないという理想郷。
お客さ～ん、いらっしゃ～い
猫
0979１３２人目の素数さん
2010/11/15(月) 21:06:12>>295
(10+1)^100として二項定理で展開する
298 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2010/11/15(月) 20:43:27
小中学校範囲でうまい方法はないかな
とのことなので、早い者勝ちで答えてあげてください
小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ Part 40
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1289275411/
0980１３２人目の素数さん
2010/11/16(火) 21:44:23次スレのためのまとめサイトいかがすかー
0981１３２人目の素数さん
2010/11/16(火) 23:43:50http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1289917753/
>>980
そういうのがあればいいかもですね＾^
0982１３２人目の素数さん
2010/11/17(水) 00:27:10まとめサイトは http://atwiki.jp/ とかどうすか？
とりあえず，新スレ１乙
0983１３２人目の素数さん
2010/11/17(水) 01:10:20そこにまとめWIKIつくろうぜ
0984１３２人目の素数さん
2010/11/18(木) 00:17:180985１３２人目の素数さん
2010/11/18(木) 00:18:580986１３２人目の素数さん
2010/11/18(木) 00:39:210987１３２人目の素数さん
2010/11/18(木) 05:43:37√2=[1;2,2,2,2,....]
0988１３２人目の素数さん
2010/11/18(木) 06:09:54連分数が無限に続く⇒無理数
の証明に結局背理法が入る。>>986 の通り。
0989１３２人目の素数さん
2010/11/18(木) 12:23:090990１３２人目の素数さん
2010/11/18(木) 18:42:442=Πp^{2e_p}の2での付値の偶奇を見るのが見やすいんじゃない？
結局背理法だけど。
直接関係するわけじゃないけど、
構成的に双射Z→Qを作るときは
p^{2n} --> p^n
p^{2n+1} --> p^{-n}
とするのが好き。
0991１３２人目の素数さん
2010/11/18(木) 22:22:44http://www.youtube.com/watch?v=cOwZBmdeyGQ
0992１３２人目の素数さん
2010/11/19(金) 09:31:060993１３２人目の素数さん
2010/11/20(土) 09:37:300994１３２人目の素数さん
2010/11/21(日) 00:21:170995１３２人目の素数さん
2010/11/22(月) 00:21:17レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。