２封筒問題
１、２つの封筒があり、中にそれぞれお金が入っている。入っている金額の比は１：２とする。
２、一方を選ぶ。このとき金額が高いほうを選ぶか、低いほうを選ぶか、それぞれの確率は1/2であるとする。
３、選んだ封筒の中を見ると10000円だった。
４、このとき他方の袋に入っている金額は5000円か20000円である。
５、それぞれの確率は1/2である。
６、よって他方の袋の金額の期待値は12500円となり、選んだ封筒の金額の1.25倍。
７、初めに選んだ金額がいかなる場合においても、他方の封筒が2倍、1/2倍である確率はそれぞれ1/2である。
８、初めに選んだ封筒の金額がいかなる場合にいおても他方を選べば1.25倍になる。
Ｐ、よって封筒の金額を見なくても、交換した封筒の期待値は選んだ封筒の金額の1.25倍になる。本当？
Ｑ、一人が一方の封筒、別の一人が他方の封筒選んだ。彼らは中身も見ずに互いに交換することによって期待値が1.25倍になる。本当？
Ｒ、中身を見ずに、やっぱりこっちにする。やっぱりこっちにする。と交換するだけで期待値が1.25倍、1.25倍と増える。本当？
答え
Ａ、５は誤り。それぞれの確率は「初めにどのような確率分布でお金を入れたのか？」に依存する。それが分からないので「確率は分からない」が正解。もちろん６以下も誤り。
Ｂ、しかしそれでは話がつまらないので、５が正しいとしよう。つまり、１において５が正しくなるような確率分布でお金を入れたものとしよう。その場合には６は正しい。
Ｃ、しかしながら、７を正しいとすることは不可能である。つまり、７が正しくなるような確率分布は存在しない（ただし、余白が足りないのでこのことの証明はここには書けない。）。８以降は誤った仮定の下での考察であり無意味である。