>>718
上に有界　の定義と、論理の基礎をちゃんと理解してるのかな。
{ a[n] } が上に有界ってのは、
　ある実数Bが存在して、任意のnに対してa[n]≦B
ってことだよね。じゃこれを否定したら、{ a[n] }が上に有界でないってのは
　任意の実数Bに対して、あるnが存在して a[n]＞B
ってことだ。だから君の書いているうち
　a(n)が上に有界でない⇒(∀k∈N ∃n∈N (a(n)＞k))
のほうだ。

>>719
ということは、
　任意の自然数kに対して、a[n]＞kとなるnが存在する
というわけだ。そこで、そのようなnのうち最小のものをn[k] と書こうか。
(別に最小のものでなくてもいいが、そのようなnのうち何か1つ選べ、ってこと)
すると、{ a[n] } の部分列{ a[ n[k] ] } (添え字はkね) が ここでお望みの部分列だ。