>>716
a(n)が上に有界でなければ,任意のk∈Nに対しk＜a(n)となるn∈Nが存在するの部分が

a(n)が上に有界でない⇒(∀k∈N∃n∈N (a(n)＞k))のことを言っているのだとしたら分かるのですが、
a(n)が上に有界でない⇒(∃n∈N∀k∈N (a(n)＞k))のことを言っているのだとしたら分かりません。どちらの意味に解釈したら良いのかも分からないです。

それなので当然　

任意のk∈Nに対しk＜a(n)となるn∈Nが存在するから,＋∞に収束する部分列が存在する

の部分も分かりません。