>>275

(略証)
eについての帰納法による。
左辺を f(e) とおくと、f(0) = r で,
f(e) = Π[k=1,p^e] {p^e･(r-1) +k}/k
　= Π[k≠0 (mod p)] {p^e･(r-1)+k}/k　*　Π[k≡0 (mod p)] {p^e･(r-1) + k}/k
　= Π[k≠0 (mod p)] {p^e･(r-1)+k}/k　*　Π[k'=1,p^(e-1)] {p^(e-1)･(r-1) +k'}/k'　(←k=pk')
　= Π[k≠0 (mod p)] {p^e･(r-1)+k}/k　*　f(e-1),
ここで　k≠0 (mod p)　⇒　{p^e･(r-1)+k}/k ≡ 1　(mod p) だから
　f(e) ≡ f(e-1),　　(mod p)
(終)