>>232
小粒の良い問題ありがとうでした^^

(補題)
任意の奇素数pに対して、
((p-1)/2)^2≡(-1)^((p+1)/2) (mod.p)が成立する。

これは良く知られています^^
証明はテクニカルですがどこにでもあるので略します^^

[解答]
p≧3(p:素数)を任意に固定する。以下、主にmod pで計算します^^
N=(2!)(3!)…(p-1)!　とおきます^^ (まずはNの簡単な表示を得たい^^)
(2!)(3!)…(p-1)! = Π_[k=1,p-1]k^(p-k)
= Π_[k=1,(p-1)/2]k^(p-k)*(p-k)^k≡Π_[k=1,(p-1)/2]k^(p-k)*(-k)^k
(ここからはΠ_[k=1,(p-1)/2]を略して単にΠとします^^)
= Πk^p*(-1)^k = Π(-1)^kΠk^p (2つのΠを別々に計算します^^)
Π(-1)^k = (-1)^(Σ_[i=1,(p-1)/2]k) = (-1)^((p^2-1)/8)
Πk^p = (Πk)^p ≡ (Πk) = ((p-1)/2)!
以上より、N≡(-1)^((p^2-1)/8)*((p-1)/2)! が得られました^^
両辺を2乗し、補題を適用することで、
N^2≡(-1)^((p^2-1)/4)*(-1)^((p+1)/2) = (-1)^((p+1)^2/4)
これから、 N^2≡(-1)^((p+1)^2/4) が得られました^^
これの両辺を2乗すれば直ぐに N^4≡1 が得られます^^