群Gに対して、H、KはGの部分群とします
このとき
H∩KもGの部分集合になることを示したいです

∵）任意にH∩Kから元をとり、それをｘとします
ｘ∈H∩Kより　ｘ∈Hであり、Hは部分群であるから
ｘ^(-1)∈H・・・Ⅰ

任意にH∩Kから元を２つとり、それをｘ、ｙとします

ｘ、ｙ∈H∩Kであることより
ｘ、ｙ∈HであってHが部分群であるから
ｘｙ∈H・・・Ⅱ

Ⅰ　ⅡよりH∩Kの任意の元ｘ、ｙについて
ｘ^(-1)∈H∩K
ｘｙ∈H∩K

よってH∩Kも部分群である

これは正しいですか？