>>443はよく考えたらおかしかったですね・・・。
S_3とS_5は巡回群だからその部分群も巡回群になるので、
a∈S_3、b∈S_5、c∈S_3∩S_5のとき、
c=a^n=b^m　と表示さるので、
(a^n)^10=a^n=b^10m=1
から　a^n=1　がわかり　a^n=c=1
よって　S_3∩S_5={1}

ダメ押し。