表記が分からないようなので自分でわかりやすくして問題もわかりやすく変えてみました。

S=[0,1]

A_n={ [ (j-1 ) / ( 2^n) , (j )/( 2^n) ] } ( 1≦j≦2^n )

A=∪A_n (1≦n≦∞)
で
A_n⊂AだからAからl_n ∈A_nを選んで

l_1⊃l_2⊃...⊃l_n....

にできるから
区間縮小法でl_nに共通する点が一つがあるから{a}∈Aになるけど
高々加算な集合の加算和は高々加算だから
加算集合でSを覆うことになって矛盾するからどこが間違ってますかということです。