f(x) =
{ x ( x = 0.9, 0.99, 0.999, …)
{ 0 (それ以外)
g(x) =
{ 1-x ( x = 0.9, 0.99, 0.999, …)
{ 0 (それ以外)
x→1-0辺りで微分してもよさそうで
f'(x) = 1 (x→1-0)
g'(x) = -1 (x→1-0)
f(x) = x (x→1-0)
g(x) = 1-x (x→1-0)
f(x) + g(x) = 1 (x→1-0)
g(1)=0は明らかなので
f(x) = 1 (x→1-0)
0.999…=1

(2進法で議論する)
f(x) = 2^-[x]
g(x) = ln2*2^-x
任意の自然数jについて
∫_j^j+1 f(x) = ∫_j^j+1 g(x) (となるようにg(x)を定めた)
0.111… = ∫_0^∞ g(x) = 1