■0＜a＜1 ならば lim_{n→∞}a＾n＝0 であること■

b＞1とする
δ＝b-1 とおくと b＝1+δ

b＾n＝(1+δ)＾n＝1 + n*δ + n(n-1)/2*n＾2 + … + δ＾n
. ＞1 + n*δ　　　δ＞0 であることに注意


さて 0＜a＜1 をとり b＝1/a とおくと b＞1 なので
1/a＾n ＝ (1/a)＾n ＝ b＾n ＞ 1 + n*δ

ここで、任意に、（小さい）正の数εをとる
ある番号（それをNとおこう）から先は常に 1 + n*δ＞1/ε となるので
（Nとして、(1/ε-1)/δよりも大きい自然数をとればよい）

n≧N ならば 1/a＾n ＞ 1 + n*δ＞ 1/ε

ゆえに
n≧N ならば a＾n＜ε

εはどれだけ小さくてもよいのだから lim_{n→∞}a＾n＝0 でなければならない