■0.999…＝1 であること■

数列:0.9 0.99 0.999 … を考える
「…」で省略するのが気色悪いというのならば
a[n]＝1-(1/10)＾n として、数列{a[n]}を考えればよい

0＜1/10＜1 であるから lim_{n→∞}(1/10)＾n＝0

よって
lim_{n→∞}a[n] ＝ 1 - lim_{n→∞}(1/10)＾n ＝ 1

つまり
0.999… ＝ 0.9 + 0.09 + 0.009 + … ＝ lim_{n→∞}(0.9+0.09+…+0.00…09)(小数第n位が9)
. ＝ lim_{n→∞}0.999…9(9がn個)
. ＝ lim_{n→∞}a[n]
. ＝ 1