■0＜a＜1 ならば lim_{n→∞}a＾n＝0 であること■

b＞1とする
δ＝b-1 とおくと b＝1+δ

b＾n＝(1+δ)＾n＝1 + n*δ + n(n-1)/2*n＾2 + … + δ＾n
. ＞1 + n*δ　　　δ＞0 であることに注意

lim_{n→∞}(1 + n*δ)＝∞ であるから lim_{n→∞}b＾n＝∞ であることもわかる


さて 0＜a＜1 をとり b＝1/a とおくと b＞1 なので
lim_{n→∞}1/a＾n ＝ lim_{n→∞}(1/a)＾n ＝ lim_{n→∞}b＾n ＝ ∞

ここで、任意に、（小さい）正の数εをとる
lim_{n→∞}1/a＾n＝∞ であるから、ある番号（それをNとおこう）から先は常に 1/a＾n＞1/ε となる　……★
このNをどれだけ大きくとればよいか、それはaとεにのみ依存して決まることに注意

★を言い換えると
n≧N ならば 1/a＾n＞1/ε

ゆえに
n≧N ならば a＾n＜ε

εはどれだけ小さくてもよいのだから lim_{n→∞}a＾n＝0 でなければならない