>>960
アー、ゴメン。でも、一つ思いついたよ。スマートじゃないけど。

x = a + b i , y = c + d i と置くと、>>749は次のように言い換えられる。
x^3 - y^3 = 1 - i となる複素整数 x, y は存在するか？
ただし、Re(x), Im(x), Re(y), Im(y) は全て 0 でないとする。

そのような x, y が存在したとして、
まず、直ちに x≠y が解る。

|x-y||x^2+xy+y^2|=√2
が成り立ち、|x-y| ≧ 1 なので、| x^2 + xy + y^2 | ≦ √2
x^2+xy+y^2 もまた複素整数なので、

x^2+xy+y^2 は、0,±1, ±i, ±1±i の 9個のうち、どれか。

あとは、地道にそんなことがあり得ないこと示せばいいと思う。
±1±i になる時は、|x-y|=1 であることを使えば、そう難しくないと思う。